一、選擇題
1. （2024甘肅威武）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到是等邊三角形，結(jié)合，得到，解得即可．
本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
解得．
故選C．
2. （2024四川成都市）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐項判斷即可．
∵四邊形是矩形，
∴，，，則，
∴選項A中不一定正確，故不符合題意；
選項B中不一定正確，故不符合題意；
選項C中一定正確，故符合題意；
選項D中不一定正確，故不符合題意，
故選：C．
3. （2024四川德陽）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數(shù)為（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，假設(shè)存在點，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結(jié)合，然后根據(jù)判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解．
【詳解】如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，
設(shè)，，假設(shè)存在點，且，則，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程無解，即點不存在．
故選：D．
4. （2024黑龍江綏化）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得，進而得出，進而根據(jù)等面積法，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
中，，
∴，
∵菱形的面積為，
∴，
故選：A．
5. （2024廣西）如圖，邊長為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 10
【答案】C
【解析】先證明四邊形是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出，，證明得出，則可得出，同理，得出平行四邊形是矩形，證明，得出，進而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
同理，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，同理，
∴平行四邊形矩形，
∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴矩形是正方形，
在中，，
∴，
∴，
∴正方形的面積為5，
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，明確題意，靈活運用相關(guān)知識求解是解題的關(guān)鍵．
6. （2024重慶市B）如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進一步證明得到，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故選：D．
7. （2024山東煙臺）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵正方形中，點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵點E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
8. （2024陜西?。┤鐖D，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．
【詳解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由題意得，
∴，
∴，即，
解得，
故選：B．
二、填空題
1. （2024黑龍江綏化）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是______．
【答案】或或
【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)交于點，點在線段上，在的延長線上，過點作，的垂線，垂足分別為，進而分別求得垂線段的長度，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，
∴，，
∴
∴，，
如圖所示，設(shè)交于點，點在線段上，在的延長線上，過點作，的垂線，垂足分別為
∵
∴
當在線段上時，
∴
在中個，
∵
在中，；
當E在射線上時，
在中，
∴
∴
∴
∴，
在中，
綜上所述，點到對角線所在直線的距離為：或或
故答案為：或或．
2. （2024四川德陽）如圖，四邊形是矩形，是正三角形，點是的中點，點是矩形內(nèi)一點，且是以為底的等腰三角形，則的面積與的面積的比值是______．
【答案】2
【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確設(shè)出邊長表示出兩個三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
作輔助線如圖，設(shè)，，根據(jù)相關(guān)圖形的性表示出三角形的面積即可得到答案．
【詳解】如圖，找，中點為，，連接，，連接，， 過作交的延長線于點，延長，與交于點．
設(shè)，，
∵是以為底的等腰三角形，
∴上，
∴到的距離即為，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
3. （2024廣西）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長為______．
【答案】
【解析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長，過點作于，于，由題意易得四邊形是平行四邊形，進而由平行四邊形的面積可得，即可得到四邊形是菱形，再解可得，即可求解，得出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過點作于，于，則，
∵兩張紙條的對邊平行，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵兩張紙條的寬度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
在中，，，
∴，
∴四邊形的周長為，
故答案為：．
4. （2024四川眉山）如圖，菱形的邊長為6，，過點作，交的延長線于點，連結(jié)分別交，于點，，則的長為______．
【答案】##
【解析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．
首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，然后勾股定理求出，，然后證明出，得到，求出，然后證明出，得到，求出，進而求解即可．
【詳解】解：菱形的邊長為6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
5. （2024貴州?。┤鐖D，在菱形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，連接，．若，，則的長為______．
【答案】##
【解析】延長，交于點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點性質(zhì)證明，，過E點作交N點，根據(jù)三角函數(shù)求出，，，，在中利用勾股定理求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】延長，交于點M，
在菱形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，
，，，，
在和中
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
過E點作于N點，
，，
，，
，
，
在中
，
即，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，運用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理等，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
6. （2024天津市）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．
（1）線段的長為______；
（2）若為的中點，則線段的長為______．
【答案】 ①. 2 ②. ##
【解析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，熟練運用中位線定理是解題的關(guān)鍵；
（1）運用正方形性質(zhì)對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，
（2）作輔助線，構(gòu)造中位線即可．
【詳解】（1）四邊形是正方形，
，
在中，，
，
，
（2）延長到點，使，連接
由點向作垂線，垂足為
∵為的中點，為的中點，
∴為的中位線，
在中， ，
，
在中，，
為的中位線，
7. （2024吉林?。┤鐖D，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為______．
【答案】
【解析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．
【詳解】∵正方形的對角線相交于點O，
∴，，
∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案為：．
8. （2024北京市）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為___________．
【答案】
【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，得到，結(jié)合，得到,，，求得的長，解答即可.
本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.
【詳解】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，
∴，
∵，
∴,
，
，
∴，
∴，
∴，
∴的面積為；
故答案為：．
9. （2024福建?。┤鐖D，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．

【答案】2
【解析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點的性質(zhì)得到，進而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個小三角形面積求解，即可解題．
【詳解】正方形的面積為4，
，，
點，，，分別為邊，，，的中點，
，
，
同理可得，
四邊形的面積為．
故答案為：2．
三、解答題
1. （2024貴州?。┤鐖D，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：
①，②．

（1）請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；
（2）在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)條件利用兩組對邊平行或一組對邊平行且相等證明是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的定義得到結(jié)論即可；
（2）利用勾股定理得到長，然后利用矩形的面積公式計算即可．
【小問1詳解】
選擇①，
證明：∵，，
∴是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形；
選擇②，
證明：∵，，
∴是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴矩形的面積為．
2. （2024陜西省）如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．
【答案】見解析
【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再推出，利用證明，即可得到．
【詳解】證明：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
3. （2024上海市）如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．
（1）求證：；
（2）線段延長線上一點，且滿足，求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；
（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，， 進而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．
【小問1詳解】
證明：矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
【小問2詳解】
證明：連接交于點，如圖所示：
在矩形中，，則，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．
4. （2024云南?。┤鐖D，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】【分析】（1）連接，，證明四邊形是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到，，利用矩形的性質(zhì)得到，即可證明四邊形是菱形；
（2）利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到，利用lx 面積公式得到，再利用完全平方公式結(jié)合勾股定理進行變形求解即可得到．
【小問1詳解】
解：連接，，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，
，，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，
，，
矩形的周長為22，
，
四邊形是菱形，
即，
四邊形的面積為10，
，即，
，
，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5. （2024四川德陽）如圖，在菱形中，，對角線與相交于點，點為的中點，連接與相交于點，連接并延長交于點．
（1）證明：；
（2）證明：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)定理即可得證．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵點為的中點，
∴，
∴
∵，
∴．
【小問2詳解】
證明：∵是等邊三角形，，，
∴，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
6. （2024四川廣安）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB和BC上的點，且BE＝BF．求證：∠DEF＝∠DFE．
【答案】見解析
【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS證明△ADE≌△CDF得到DE=DF，則∠DEF=∠DFE．
【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
∵BE=BF，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握菱形的性質(zhì)．
7. （2024福建省）如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．
【答案】見解析
【解析】本題考查菱形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．
【詳解】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
．
8. （2024江蘇揚州）如圖1，將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形．
（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）已知矩形紙條寬度為，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時，四邊形的面積為，求此時直線所夾銳角的度數(shù)．
【答案】（1）四邊形是菱形，理由見詳解 （2）
【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，作，可證，可得，由此可證平行四邊形是菱形；
（2）作，根據(jù)面積的計算方法可得，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：四邊形是菱形，理由如下，
如圖所示，過點作于點，過點作于點，
根據(jù)題意，四邊形，四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵寬度相等，即，且，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：如圖所示，過點作于點，
根據(jù)題意，，
∵，
∴，
由（1）可得四邊形是菱形，
∴，
在中，，
即，
∴．
9. （2024江蘇鹽城）如圖1，E、F、G、H分別是平行四邊形各邊的中點，連接交于點M，連接AG、CH交于點N，將四邊形稱為平行四邊形的“中頂點四邊形”．
（1）求證：中頂點四邊形為平行四邊形；
（2）①如圖2，連接交于點O，可得M、N兩點都在上，當平行四邊形滿足________時，中頂點四邊形是菱形；
②如圖3，已知矩形為某平行四邊形的中頂點四邊形，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】（1）見解析 （2）①；②見解析．
【解析】【分析】題目主要考查平行四邊形及菱形的判定和性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點平分線段，推出四邊形，四邊形均為平行四邊形，進而得到：，即可得證；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；
②連接，作直線，交于點O，然后作，然后連接即可得出點M和N分別為的重心，據(jù)此作圖即可．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵點E、F、G、H分別是各邊的中點，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
同理可得：四邊形為平行四邊形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
①當平行四邊形滿足時，中頂點四邊形是菱形，
由（1）得四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴中頂點四邊形是菱形，
故答案為：；
②如圖所示，即為所求，
連接，作直線，交于點O，然后作（或作BM=MN=ND），然后連接即可，
∴點M和N分別為的重心，符合題意；
證明：矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
分別延長交四邊于點E、F、G、H如圖所示：
∵矩形，
∴，，
由作圖得，
∴，
∴，
∴點F為的中點，
同理得：點E為的中點，點G為的中點，點H為的中點．
10. （2024四川達州）在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對角線等于邊長的倍，某數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶蔷€和邊長的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)，具體如下：如圖1．
（1）四邊形是菱形，
，，．
．
又，，
______+______．
化簡整理得______．
【類比探究】
（2）如圖2．若四邊形是平行四邊形，請說明邊長與對角線的數(shù)量關(guān)系．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，對角線，相交于點，點為的中點，點為的中點，連接，若，，，直接寫出的長度．
【答案】（1），，；（2）；（3）
【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理補充過程，即可求解；
（2）過點作于點，過點作交的延長線于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，，證明，
得，，，根據(jù)勾股定理得， ，繼而得出的值即可；
（3）由（2）可得得出，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，根據(jù)勾股定理以及已知條件，分別求得，根據(jù)得出，根據(jù)得出，進而勾股定理，即可求解．
【詳解】解：（1）四邊形是菱形，
，，．
．
又，，
．
化簡整理得
故答案為：，，．
（），理由如下，
過點作于點，過點作交延長線于點，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
∴
，
∴
（）∵四邊形是平行四邊形，，，，
∴由（）可得
∴
解得：（負值舍去）
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，連接，
∵分別為的中點，
∴
∵，
∴，
∵是的中點，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

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