1. 了解垂線的有關(guān)概念、性質(zhì)及畫法，了解點到直線的距離的概念；（重點）2. 能夠運用垂線的有關(guān)性質(zhì)進行運算，并解決實際問題.（難點）
日常生活中，如圖中的兩條直線的關(guān)系很常見，你能再舉出其他例子嗎？
想一想：兩條相交直線在什么情況下是垂直的？
這是兩條直線相交的特殊情況.
探究一：垂直的定義與表示
如圖,已知∠1=60°,那么∠2 = ，∠3= ，∠4= .改變圖中∠1的大小，若∠1=90°,則∠2= ，∠3= ，∠4= ，這時兩條直線的關(guān)系是 .
兩條直線相交成四個角,如果有一個角是直角,那么稱這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.
垂直是兩直線相交的一種特例.
?注意：(1)線段與線段、線段與射線、射線與射線、線段與直線、射線與直線垂直,指它們所在的直線互相垂直;(2)兩條直線互相垂直,則形成的四個角為直角.反之,要說明兩條直線垂直,只要說明這兩條直線相交成的角中有一個角為直角即可.
通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.
如圖：如果直線AB與直線CD垂直，記作：AB⊥CD（或CD⊥AB）；直線l與m垂直，記作l⊥m.其中，點O是垂足.
解：CE⊥CD，理由如下：∵∠ACE=31°，∠DCB=59°,∴∠ECD=180°-∠ACE-∠DCB =180°-31°-59° =90°.∴CE⊥CD.
例1 如圖，C為直線 AB上一點，過點C引兩條射線 CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置關(guān)系是什么?為什么?
(1)如圖,O為直線AB上一點，∠AOC＝∠BOC，那么OC與AB垂直嗎？為什么？
由∠AOC＝∠BOC，且∠AOC+∠BOC＝180°，可得∠AOC＝∠BOC=90°，所以OC⊥AB.
(2)以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎？你知道她每一步的依據(jù)嗎?與同伴進行交流.
(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC＝∠BOC嗎？
因為OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC=90°.
(1)你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎？試試看！
(2)如果只有直尺，你能在方格紙上畫出已知直線的垂線嗎？你還能再畫出兩條互相垂直的直線嗎？
畫已知直線的垂線有三種方法：(1)用三角尺畫垂線;(2)用量角器畫垂線;(3)借助網(wǎng)格紙畫垂線.
例2 下列各圖中,過直線l外的點P畫直線l的垂線,三角尺操作正確的是 (　　)
探究三：垂線的性質(zhì)和點到直線的距離
做一做：(1)畫已知直線l的垂線能畫幾條?
(2)如圖，點A在直線l上, 過點A畫直線l的垂線，你能畫出多少條?
1.放2.靠3.移4.畫
(3)如圖，點A在直線l外, 過點A畫直線l的垂線，你能畫出多少條呢?
根據(jù)以上操作，你能得出什么結(jié)論
同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
?注意：1.“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
（4）如圖所示，P是直線l外一點,PO⊥l,點O是垂足.點A,B,C在直線l上,比較線段PO,PA,PB,PC的長短,你發(fā)現(xiàn)了什么?
直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.
如圖所示，過點A作直線l的垂線,垂足為B,線段AB的長度叫做點A到直線l的距離.
例3 如圖所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.若AC=4 cm,BC=3 cm,AB=5 cm,則點A到直線BC的距離為　　　　cm,點B到直線AC的距離為　　　　cm,點C到直線AB的距離為　　　　cm.?
解析：點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度,而垂線段是該點與直線上各點的連線中最短的,從條件看,PC是三條線段中最短的,但不一定是所有線段中最短的,所以點P到直線m的距離應該是不大于2cm.
例4 P為直線m外一點，A,B,C為直線m上的三點，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,則點P到直線m的距離 (　　)A.等于4cmB.等于2cmC.小于2cmD.不大于2cm
2.P為直線l外一點,A,B,C為直線l上的三點,PA=3 cm,PB=4 cm, PC=5 cm,則點P到直l的距離(　　)A.等于2 cmB.等于3 cmC.小于3 cmD.不大于3 cm
1.如圖所示，直線AB，CD相交于點O，下列條件中，不能說明AB⊥CD的是(　　)A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOCC.∠BOC+∠BOD=180° D.∠AOC+∠BOD=180°
3.如圖所示,已知點O在直線AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,則∠3的度數(shù)為　 .?
4.如圖所示，單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處.他們的做法是:過點C作CD⊥l于點D,將水泵房建在了D處.這樣做最節(jié)省水管,其數(shù)學道理是　　　 　　　.?
解:如圖,過點A畫CB的垂線,交CB的延長線于點E.
根據(jù)點到直線的距離的定義:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫這點到這條直線的距離.可得AE的長度即為點A到直線CB的距離.
5.如圖所示，過點A畫CB的垂線,并指出哪條線段的長度表示點A到直線CB的距離.
解:∵AB⊥CD,∴∠COB=90°.∴∠EOB=90°-∠COE=90°-35°=55°.∴∠BOF=180°-∠EOB=180°-55°=125°.故∠EOB的度數(shù)是55°,∠BOF的度數(shù)是125°.
6.如圖所示，直線AB，CD，EF都經(jīng)過點O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度數(shù).

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1 兩條直線的位置關(guān)系

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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