2025屆高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 微專題7　導(dǎo)數(shù)與不等式的證明（課件+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

導(dǎo)數(shù)與不等式的交匯命題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題中，常用的方法有構(gòu)造函數(shù)、適當(dāng)換元、合理放縮、利用最值、不等式及其性質(zhì)等.
(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；
f′(x)＝aex－1，x∈R.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0時(shí)，令f′(x)>0，得x>－ln a；令f′(x)0時(shí)，函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值為f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a.
已知函數(shù)f(x)＝ex＋exln x(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).求證：f(x)≥ex2.
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題的基本方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
(2024·長春調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).求證：(1)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>x；
令g(x)＝f(x)－x＝ex－1－x，則g′(x)＝ex－1，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)＝0，即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>x成立.
(2)ex－2>ln x.
由(1)可得當(dāng)x>0時(shí)，ex>1＋x.要證ex－2>ln x，可證ex－2>x－1≥ln x，即證x－1－ln x≥0.
3.(2024·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－ln x＋1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a≤2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)1時(shí)，ex－1－f(x)＝ex－1－a(x－1)＋ln x－1≥ex－1－2x＋ln x＋1.令g(x)＝ex－1－2x＋ln x＋1，則只需證當(dāng)x>1時(shí)g(x)>0.
法二　設(shè)g(x)＝a(x－1)－ln x＋1－ex－1，只需證當(dāng)x>1時(shí)g(x)0得，x∈(0，a)，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增；由f′(x)f(1)＝0，不合題意.綜上所述，a＝1.

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