曲線的切線與公切線問題是高考考查的熱點，一般單獨考查，難度較小，也可與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值綜合考查，難度較大.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝ex＋x在點(0，1)處的切線也是曲線y＝ln(x＋1)＋a的切線，則a＝________.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是______________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln |x|過坐標原點的兩條切線的方程為________，___________.
導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)在某點的導數(shù)即曲線在該點處的切線的斜率.(2)曲線在某點的切線與曲線過某點的切線不同.(3)切點既在切線上，又在曲線上.
由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，設(shè)切點坐標為(t，et－2＋1)，可得切線方程為y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原點(0，0)代入切線方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切線方程為y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.
求過某點的切線方程時(不論這個點在不在曲線上，這個點都不一定是切點)，應(yīng)先設(shè)切點的坐標，再根據(jù)切點的“一拖三”(切點的橫坐標與斜率相關(guān)、切點在切線上、切點在曲線上)求切線方程.
(1)已知曲線y＝xln x＋ae－x在點x＝1處的切線方程為2x－y＋b＝0，則b＝A.－1 B.－2 C.－3 D.0
導數(shù)中的公切線問題，重點是導數(shù)的幾何意義，通過雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零點問題，主要考查消元、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力以及數(shù)學運算素養(yǎng).
考向1　切點相同的公切線問題
(2)已知曲線f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)與y＝g(x)在公共點處的切線相同，則m＝A.－3 B.1 C.2 D.5
設(shè)曲線f(x)＝x2－2m和g(x)＝3ln x－x的公共點為(x0，y0)，
因為函數(shù)f(x)＝ln x與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，所以f(x)＝ln x與g(x)互為反函數(shù)，所以g(x)＝ex，則g′(x)＝ex.
考向2　切點不同的公切線問題
由h(x)＝ex＋1－1，得h′(x)＝ex＋1，設(shè)直線l與函數(shù)g(x)＝ex的圖象的切點坐標為(x1，ex1)，與函數(shù)h(x)＝ex＋1－1的圖象的切點坐標為(x2，ex2＋1－1)，則直線l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，顯然x1≠x2，
(2)(2024·湖北名校聯(lián)考)若直線x＋y＋m＝0是曲線f(x)＝x3＋nx－52與曲線g(x)＝x2－3ln x的公切線，則m－n＝A.－30 B.－25 C.26 D.28
求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.
訓練2 (1)已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，則f(x)和g(x)的公切線的條數(shù)為A.3 B.2 C.1 D.0
(2)已知曲線y＝aln x和曲線y＝x2有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則直線l的方程為__________________________.
1.(2024·開封模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x，則函數(shù)f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程為A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0
函數(shù)f(x)＝2x，求導得f′(x)＝2xln 2，則f′(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切線方程為y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.
2.(2024·茂名模擬)曲線f(x)＝ex＋ax在點(0，1)處的切線與直線y＝2x平行，則a＝A.－2 B.－1 C.1 D.2
因為曲線f(x)＝ex＋ax在點(0，1)處的切線與直線y＝2x平行，故曲線f(x)＝ex＋ax在點(0，1)處的切線的斜率為2，因為f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.
設(shè)切點為(x0，ln x0)，
5.已知直線l為曲線y＝x＋1＋ln x在A(1，2)處的切線，若l與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，則a等于A.0 B.－4 C.4 D.0或4
則兩切點重合，即f(a)＝g(a)，
9.已知函數(shù)f(x)＝ex，則下列結(jié)論正確的是A.曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1B.曲線y＝f(x)的切線斜率可以是－1C.過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條D.過點(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有2條
對于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1，故A正確；對于B，令f′(x)＝ex＝－1，無解，所以曲線y＝f(x)的切線斜率不可以是－1，故B錯誤；
對于C，因為點(0，1)在曲線上，所以點(0，1)是切點，則f′(0)＝1，所以切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1，所以過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條，故C正確；對于D，因為點(0，0)不在曲線上，所以設(shè)切點(x0，ex0)，則切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，因為點(0，0)在切線上， 所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以過點(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條，故D錯誤.
10.(2024·溫州適考)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩個不同的點P，Q，使得f(x)的圖象在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)y＝f(x)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是A.f(x)＝sin x＋cs xB.f(x)＝sin(cs x)C.f(x)＝x＋sin xD.f(x)＝x2＋sin x
當x＝2kπ，k∈Z時，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直線y＝sin 1是函數(shù)圖象的切線，且過點(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B正確；
顯然當m∈(－4e－2，0)時，g(x)＝－m有三個解，即有三條切線，n＝3；當m＝0時，g(x)＝－m有一個解，即有且僅有一條切線，n＝1；當m>0時，g(x)＝－m無解，即不存在切線，不符合題意；當m＝－4e－2時，g(x)＝－m有兩個解，即有兩條切線，n＝2；當m

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