2025屆高中數學二輪復習創(chuàng)新點1 以高等數學知識為背景的導數問題（課件+練習）-課件下載-教習網

1.導數解答題與高等數學知識交匯命題，考查考生的知識遷移能力、現場學習能力與現場運用能力，逐漸成為命題的熱點，難度較大，一般作為壓軸題出現；2.常見的高等數學知識除了前面學習過的泰勒公式與洛必達法則、還有拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微積分、帕德近似等.
題型一　拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理
題型三　微積分、洛必達法則
題型一　拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理
令bn＝2ln(n＋1)－2ln n，n∈N*，則an>bn，所以a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln 2－2ln 1＋2ln 3－2ln 2＋…＋2ln(n＋1)－2ln n＝2ln(n＋1)，所以Sn>2ln(n＋1).
羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.羅爾定理描述如下：如果R上的函數f(x)滿足以下條件：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，②在開區(qū)間(a，b)內可導，③f(a)＝f(b)，則至少存在一個ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.據此，解決以下問題：(1)證明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內至少有一個實根，其中a，b，c∈R；
設F(x)＝ax4＋bx3＋cx2－(a＋b＋c)x，x∈[0，1]，則F′(x)＝4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)，所以函數F(x)在[0，1]上連續(xù)，在區(qū)間(0，1)上可導，又F(0)＝0，F(1)＝a＋b＋c－a－b－c＝0，故F(0)＝F(1)，所以由羅爾中值定理可得至少存在一個x0∈(0，1)，使得F′(x0)＝0，所以4ax＋3bx＋2cx0－(a＋b＋c)＝0，所以方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內至少有一個實根.
(2)已知函數f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內有零點，求a的取值范圍.
因為函數f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內有零點，不妨設其零點為x1，則f(x1)＝0，x1∈(0，1)，由f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1可得f′(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，所以函數f(x)在[0，x1]上連續(xù)，在(0，x1)上可導，又f(0)＝e0－0－0－1＝0，f(x1)＝0，由羅爾中值定理可得至少存在一個x2∈(0，x1)，使得f′(x2)＝0，因為函數f(x)在[x1，1]上連續(xù)，在(x1，1)上可導，
又f(1)＝e－a－e＋a＋1－1＝0，f(x1)＝0，由羅爾中值定理可得至少存在一個x3∈(x1，1)，使得f′(x3)＝0，所以方程ex－2ax－(e－a－1)＝0在(0，1)上至少有兩個不等的實數根，設g(x)＝ex－2ax－(e－a－1)，x∈(0，1)，則g′(x)＝ex－2a，
(1)求實數a，b的值；
(2)設h(x)＝f(x)－R(x)，證明：xh(x)≥0；
(2)比較f(x)與R(x)的大?。?br/>(2)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋xln x，其中a，b∈R.①證明：對任意兩個不相等的正數x1，x2，曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))處的切線均不重合；
由函數f(x)＝ax2＋bx＋xln x，可得f′(x)＝2ax＋ln x＋b＋1，不妨設0