2025屆高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊三數(shù)列創(chuàng)新點(diǎn)3　數(shù)列中的“三新”問題（課件+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

新高考的命題要求為：創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注意聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題.這些要求反映在數(shù)列試題中，就是出現(xiàn)了數(shù)列的新情境、新定義和新性質(zhì)問題，這些“三新”問題逐漸成為熱點(diǎn)的壓軸題.
題型一　數(shù)列的新情境問題
題型二　數(shù)列的新定義問題
(2024·長(zhǎng)沙模擬)南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第n＋1層球數(shù)是第n層球數(shù)與n＋1的和，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
所以b1＋b2＋b3＋…＋bn310，故新堆疊坊塔的高茺可以超過310米.
(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前m(m∈N*)項(xiàng)的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2a1、3a2、4a3、……、(m＋1)am((m＋1)am表示高度為am的方體連續(xù)堆疊m＋1層的總高度)，請(qǐng)問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.
因?yàn)閍1＝1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－7，所以數(shù)列{an}的“min點(diǎn)”為3，5.
(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，數(shù)列{an}的“min點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為p，證明：a1－am≤p.
①若an≥a1(n≥2)，則數(shù)列{an}不存在“min點(diǎn)”，即p＝0.由am－a1≥0，得a1－am≤0，所以a1－am≤p.②若存在an，使得anlg 2＋2n－1lg 3，即bn>2·32n＋1(n≥2)，所以bn≥2×32n－1.
(2)若函數(shù)f(x)＝b1＋b2x＋b3x2＋b4x3有三個(gè)零點(diǎn)，其中bi>0(i＝1，2，3，4).證明：數(shù)列b1，b2，b3，b4為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
將p，q互換得t＝(q－p)Wr＋(p－r)Wq＋(r－q)Wp＝－t，所以t＝0，令p＝1，q＝2，得－Wr＋(2－r)W1＋(r－1)W2＝0，所以Wr＝(2－r)W1＋(r－1)W2＝W1＋(r－1)(W2－W1)，故數(shù)列{Wn}是等差數(shù)列，
1.解第(3)問的關(guān)鍵是利用賦值法證明數(shù)列{Wn}是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的相關(guān)概念及公式證明.2.數(shù)列的凹凸性是類比函數(shù)的凹凸性得到的，解決此類問題一般要從題目條件中挖掘出一個(gè)特殊的數(shù)列(例如等差數(shù)列、等比數(shù)列)，數(shù)列的凹凸性給出的不等關(guān)系就可以利用這個(gè)特殊數(shù)列的運(yùn)算，結(jié)合不等式放縮加以證明.
1.(2024·泰安三模)對(duì)于m，t∈N*，s∈N，t不是10的整數(shù)倍，則m＝t·10s，則稱m為s級(jí)十全十美數(shù).已知數(shù)列{an}滿足：a1＝8，a2＝40，an＋2＝5an＋1－6an.(1)若{an＋1－kan}為等比數(shù)列，求k；
設(shè){an＋1－kan}的公比為q，則an＋2－kan＋1＝q(an＋1－kan)，即an＋2＝(q＋k)an＋1－qkan，
其中－2＋15(k－1)不是5的倍數(shù)，故若原式能被125整除，需k為偶數(shù)且能被25整除，即k需是50的倍數(shù)，在1，2，3，…，2 024中，50的倍數(shù)有40個(gè)：50，100，150，…，2 000，故在a1，a2，…，a2 024中，3級(jí)十全十美數(shù)的個(gè)數(shù)為40.
2.(2024·深圳二模)無窮數(shù)列a1，a2，…，an，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是an；如果n是奇數(shù)，就對(duì)3n＋1盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是an.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；
根據(jù)題意，a1＝(3×1＋1)÷2÷2＝1，a2＝2÷2＝1，a3＝(3×3＋1)÷2＝5，a4＝4÷2÷2＝1，a5＝(3×5＋1)÷24＝1，a6＝6÷2＝3，a7＝(3×7＋1)÷2＝11.

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