極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，解決極值點偏移問題，有對稱化構(gòu)造函數(shù)法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色.
(2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝ －ln x＋x－a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；
由題意知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞).
可得函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝e＋1－a.又f(x)≥0，所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1，所以a的取值范圍為(－∞，e＋1].
(2)證明：若f(x)有兩個零點x1，x2，則x1x20，所以當(dāng)x∈(0,1)時，g(x)0，所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以F(x)1時，g(x)>g(1)＝0，
所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，
(1)求f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；
令f′(x)>0得x>2，令f′(x)g(4－x1)，即證明g(x1)>g(4－x1)，
所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以h(x)>h(2)＝1＋ln 2－1－ln 2＝0，
(2022·六安模擬)已知函數(shù)f(x)＝xln x－ax2＋x(a∈R).若f(x)有兩個零點x1，x2，且x2>2x1，證明：
若f(x)有兩個零點x1，x2，
因為x2>2x1>0，令x2＝tx1(t>2)，
所以ln(x1x2)＝ln x1＋ln x2
則h(t)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝ 化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.
　 (2022·湖北圓創(chuàng)聯(lián)考)已知f(x)＝x2－2aln x，a∈R.若y＝f(x)有兩個零點x1，x2(x10，
(2)若x0是y＝f(x)的極值點，求證：x1＋3x2>4x0.
由a>0，t>1，只需證(3t＋1)2ln t－8t2＋8>0，令h(t)＝(3t＋1)2ln t－8t2＋8，
故n(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，n(t)>n(1)＝0，故h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，h(t)>h(1)＝0，所以x1＋3x2>4x0.
1.(2022·佛山質(zhì)檢)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝aln x－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；
f(x)的定義域為(0，＋∞)，
當(dāng)a≤0時，f′(x)0時，令f′(x)>0，得x∈(0，a)；令f′(x)0時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減.
(2)若f(x)有兩個相異的零點x1，x2且x1>x2>0，求證：x1x2>e2.
由(1)可知，要想f(x)有兩個相異的零點x1，x2，則a>0，因為f(x1)＝f(x2)＝0，所以aln x1－x1＝0，aln x2－x2＝0，所以x1－x2＝a(ln x1－ln x2)，要證x1x2>e2，即證ln x1＋ln x2>2，
所以g(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以x1x2>e2，結(jié)論得證.
2.(2021·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x(1－ln x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；
因為f(x)＝x(1－ln x)，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，
當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)

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