培優(yōu)點1　對稱變換(對稱化構(gòu)造)
典例1　已知函數(shù)h(x)與函數(shù)f(x)=xex(x∈R)的圖象關(guān)于原點對稱,如果x1≠x2,且h(x1)=h(x2),求證:x1+x2>2.
證明:由題意知,h(x)=-f(-x)=xe-x,h′(x)=e-x(1-x),令h′(x)=0,解得x=1.當x變化時,h′(x),h(x)的變化情況如表:
對稱變換,常用來解決題設(shè)中f(x1)=f(x2),且與x1,x2之和或積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下:(1)定函數(shù)(極值點為x0),即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性,進而確定函數(shù)的極值點x0.
(3)判斷單調(diào)性,即利用導數(shù)討論F(x)的單調(diào)性.
(4)比較大小,即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負,并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系.(5)轉(zhuǎn)化,即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0-x之間的關(guān)系,進而得到所證或所求.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;
(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2e.
消參減元在消去參數(shù)后常利用比(差)值換元進行減元,進而建立與所求解問題相關(guān)的函數(shù).就是根據(jù)已知條件首先建立x1,x2之間的關(guān)系,然后利用x1,x2之比(差)作為變量,從而實現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值或差值(一般用t表示)表示x1,x2,繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題求解.其解題要點如下:
觸類旁通2　設(shè)f(x)=ex-mx,m∈R.若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)有兩個零點x1,x2,證明:x1+x2>2.

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