數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可直接根據(jù)它們的通項公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解，體現(xiàn)了化歸思想在數(shù)列中的應用.
2.(2019·上海卷)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋an＝2，則S5＝______.
3.(2020·全國Ⅰ卷)數(shù)列{an}滿足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝________.
因為an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以當n為偶數(shù)時，an＋2＋an＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因為數(shù)列{an}的前16項和為540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因為當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝3n－1，可得an－an－2＝3(n－2)－1，…，a3－a1＝3×1－1，
熱點一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
熱點二　形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b)型
考向1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
在數(shù)列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，則數(shù)列{an}的通項公式為____________.
法一(構(gòu)造法)　由an＋1＝3an－4，設an＋1－λ＝3(an－λ)，即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2，則an＋1－2＝3(an－2)，又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.
法二(不動點法)　令3x－4＝x，解得不動點x＝2，由an＋1＝3an－4，得an＋1－2＝3(an－2)所以數(shù)列{an－2}是以a1－2＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.
已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an－4n－5，a1＝5，求數(shù)列{an}的通項公式.
考向2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
由an＋1＝3an－4n－5，設an＋1＋λ(n＋1)＝3(an＋λn)＋m，即an＋1＝3an＋2λn－λ＋m，
(2024·蘭州質(zhì)測)在數(shù)列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，則an＝_________________.
4·3n－1－5·2n－1
法一　原遞推式可化為an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1).比較系數(shù)得λ＝－4，故an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)，則數(shù)列{an－4·3n－1}是首項為a1－4·31－1＝－5，公比為2的等比數(shù)列，∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1.
考向3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
形如an＋1＝pan＋f(n)的數(shù)列通項公式的求法(1)構(gòu)造法：構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列.(2)不動點法：①形如an＋1＝pan＋q的數(shù)列求通項公式的步驟：a.由x＝px＋q求出數(shù)列{an}的不動點，b.在遞推公式an＋1＝pan＋q兩端同時減去x，化簡使其左、右兩側(cè)結(jié)構(gòu)一致，c.構(gòu)造數(shù)列求通項.②an＋1＝pan＋f(n)可轉(zhuǎn)化為bn＋1＝pbn＋k的形式求解.
(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝________________.
因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，因為1＋a1＝2，所以數(shù)列{1＋an}是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，所以1＋an＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－1.
(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，則an＝________.
熱點二　形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b)型
法一(構(gòu)造法)　∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝7，∴{an＋an－1}是首項為7，公比為3的等比數(shù)列，則an＋an－1＝7×3n－2，①又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13，∴{an－3an－1}是首項為－13，公比為－1的等比數(shù)列，則an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，②①×3＋②得4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1,
已知在數(shù)列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求這個數(shù)列的通項公式.
形如a1＝m1，a2＝m2，an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常數(shù))的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項an，其特征方程為x2＝px＋q，①若①有二異根α，β，則可令an＝c1αn＋c2βn(c1，c2是待定常數(shù))；若①有二重根α＝β，則可令an＝(c1＋nc2)αn(c1，c2是待定常數(shù)).再利用a1＝m1，a2＝m2，可求得c1，c2，進而求得an.
(1)在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為_______________.
由題意知an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}為等差數(shù)列.設公差為d，由題意得2＝8＋3d，則d＝－2，得an＝8－2(n－1)＝10－2n.
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，則an＝___________.
由題意知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a2－a1＝2，∴{an－an－1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，an－an－1＝2n－1(n≥2)，當n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
在正項數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2a，求數(shù)列{an}的通項公式.
lg2an＋1＝1＋2lg2an，設bn＝lg2an，則有bn＋1＝1＋2bn，則bn＋1＋1＝2(bn＋1)，所以{bn＋1}是以b1＋1＝1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以bn＋1＝2n－1，所以bn＝2n－1－1，lg2an＝2n－1－1，an＝22n－1－1.
1.數(shù)列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，則a100＝ A.2100＋1 B.2101 C.2100－1 D.2100
數(shù)列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因為a1＝1，所以a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a100＝2100－1.
2.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10＝A.47 B.48 C.49 D.410
由題意a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
4.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 若Sn＝2an－2n＋1，則S10＝A.211－23 B.210－19C.3×210－23 D.3×29－19
當n＝1時，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，
所以數(shù)列{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3×2n－1，從而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.
5.在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2，若an>980，則n的最小值是A.8 B.9 C.10 D.11
因為an＝2an－1－n＋2，所以an－n＝2[an－1－(n－1)].因為a1＝3，所以a1－1＝2，所以數(shù)列{an－n}是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則an－n＝2n，即an＝2n＋n.因為an－an－1＝2n－1＋1>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.因為a9＝521980，所以滿足an>980的n的最小值是10.
12.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1，a1＝3，則an＝________.
13.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝an＋2n，則{an}的通項公式為________.

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