數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再利用公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用.
A項(xiàng)，an＋1－an＝n＋1，∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝20＋19＋18＋…＋2＋2＝211，故A正確；B項(xiàng)，∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是以a1＋3＝4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，故an＝2n＋1－3，故B錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，2(n＋1)an－nan＋1＝0，
∴an＝n·2n，故D正確.
(2)(2023·呂梁模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，則S100等于A.2100－3 B.2100－2C.2101－3 D.2101－2
由an＋1＋an＝3×2n得，an＋1－2n＋1＝－(an－2n).又a1－21＝－1，所以{an－2n}是首項(xiàng)為－1，公比為－1的等比數(shù)列，所以an－2n＝(－1)n，即an＝2n＋(－1)n，所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100
(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(4)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構(gòu)造an＋1＋λ＝p(an＋λ).(5)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構(gòu)造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)].
(2)(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是
因?yàn)閍n－3an＋1＝2an·an＋1，
　　已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝3，且當(dāng)n≥2時(shí)，Sn，　，Sn－1成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
方法一　由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋Sn－1＝nan，∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
a1＝3也滿足an＝3n，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n.方法二　由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋Sn－1＝nan，∴當(dāng)n≥3時(shí)，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1，兩式相減得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)，即(n－1)an＝nan－1，
又由S2＋S1＝2a2得a2＝6，同理可得a3＝9，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n.
在處理Sn，an的式子時(shí)，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式，表面上看應(yīng)該消去Sn，但這會(huì)導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時(shí)需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2).
而a1＝2，a2＝3S1＝3a1＝6，
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)，數(shù)列{2anan＋1}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝______________.
因?yàn)閍1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)，所以a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝2n＋1(n≥2)，兩式相減，可得(2n－1)an＝2，
所以數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，所以a100＝a3×33＋1＝a1＝－1.
2.(2023·洛陽模擬)若數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝0,2an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2，則a2 023＋b2 023等于A.1 B.3C. D.22 023
因?yàn)?an＋1＝3an＋bn＋2,2bn＋1＝an＋3bn－2，所以2an＋1＋2bn＋1＝3an＋bn＋2＋an＋3bn－2＝4(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以{an＋bn}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋bn＝2n，所以a2 023＋b2 023＝22 023.
∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，
∴3a2＝2a1(a1＋a2)，
又3an＋1＝2SnSn＋1，∴3(Sn＋1－Sn)＝2SnSn＋1，
由題意得3Sn＋n2＝3nan＋n，①當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＋(n－1)2＝3(n－1)an－1＋(n－1)，②①－②化簡得3(an－an－1)－3n(an－an－1)＝－2n＋2，即(3－3n)(an－an－1)＝－2n＋2，
8.(2023·商洛模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，則　　 ＝________.
因?yàn)閍n＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2).因?yàn)閍2－2＝－1，所以{an－n}從第二項(xiàng)起是公比為－1的等比數(shù)列，所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)，
所以S2 023＝1＋2＋3＋…＋2 023＝2 023×1 012，S2 024＝1＋2＋3＋…＋2 024－1＝2 023×1 013，
化簡可得2an－an＋1＝anan＋1，
(2)已知bn＝an(an＋1－1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

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