一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．1B．C．D．
2．若圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（ ）
A．B．C．D．
5．若直線：與直線：的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知拋物線，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在斜三棱柱中，底面ABC為正三角形，為AC的中點(diǎn)，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，則（ ）
A．16B．12C．10D．8
二、多選題
9．已知三條直線，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．經(jīng)過定點(diǎn)B．，的交點(diǎn)坐標(biāo)為
C．若，則D．若，則
10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則（ ）
A．的周長為
B．存在點(diǎn)，使得
C．若，則的面積為
D．使得為等腰三角形的點(diǎn)共有4個(gè)
11．如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．是平面的一個(gè)法向量
B．當(dāng)時(shí)，可以作為空間的一個(gè)基底
C．若向量是平面的一個(gè)法向量，則
D．直線與平面所成角的正弦的最大值為
三、填空題
12．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，若，則 .
13．若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為且，則 .
14．已知橢圓的右焦點(diǎn)是，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的射線交橢圓于點(diǎn)，，且三點(diǎn)共線（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為 ．
四、解答題
15．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的面積.
16．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)

(1)證明：平面；
(2)若直線與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
17．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線過定點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
18．中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”.如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中，，交于點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若，且二面角為，求平面與平面所成角的余弦值.
19．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，若點(diǎn)、在橢圓上.
(1)求的方程；
(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線、分別交橢圓于兩點(diǎn)、
（i）證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）求四邊形面積的最大值.
答案：
1．D
【分析】由直線方程確定斜率，結(jié)合斜率與傾斜角關(guān)系求傾斜角.
【詳解】由直線方程知，直線的斜率為，
根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系知，直線傾斜角大小為.
故選：D
2．A
【分析】由圓的性質(zhì)可知，圓心在直線與直線垂直平分線的交點(diǎn)處，聯(lián)立方程組即可求得圓心，半徑則為圓心到圓上任一點(diǎn)之間的距離.
【詳解】由點(diǎn)，在圓上，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則與直線的垂直平分線的直線方程為即，則圓心在直線與垂直平分線的交點(diǎn)處，則聯(lián)立方程組：
，解得，則圓心為，，所以圓的方程為：
.
故選：A
3．B
【分析】根據(jù)雙曲線焦距可得與，進(jìn)而可得漸近線方程.
【詳解】由已知雙曲線的焦距，即，
所以，解得，
即雙曲線方程為，
則其漸近線方程為，
故選：B.
4．D
【分析】由圓E的方程可得圓心E的坐標(biāo)，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，可得P點(diǎn)在圓上，求出直線PE的斜率，得到過P點(diǎn)的切線的斜率，再求出過P點(diǎn)的切線方程.
【詳解】由圓的方程，可得圓心坐標(biāo)為，
將的坐標(biāo)代入圓的方程，得，則點(diǎn)在圓上，
又，所以過點(diǎn)與圓相切的直線的斜率為1，
所以過點(diǎn)的切線方程為，即.
故選：D.
5．A
【分析】聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意聯(lián)立，解得，
即直線：與直線：的交點(diǎn)為，
由題意可得，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：A
6．A
【分析】設(shè)直線的方程為并與拋物線聯(lián)立，由中點(diǎn)坐標(biāo)可得，求得直線方程.
【詳解】易知直線的斜率不為0，設(shè)方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立，整理可得，
，
由中點(diǎn)為可得，可得，
因此直線的方程為，即.
故選：A
7．D
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合夾角公式即可求解．
【詳解】解：，，
，
又，，，
異面直線與所成角的余弦值為，
故選：D．
8．B
【分析】根據(jù)題意可知AD⊥BD，利用拋物線的定義，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
【詳解】因?yàn)锳，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以AB為圓F的直徑，AD⊥BD.
由拋物線定義知，所以∠ABD＝30°.
因?yàn)镕到準(zhǔn)線的距離為6，
所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
故選：B.

9．AD
【分析】分離參數(shù)可得直線過定點(diǎn)，聯(lián)立直線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線間位置關(guān)系可列方程，解得參數(shù)值.
【詳解】A選項(xiàng)：，即，
令，解得，即直線過點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：聯(lián)立直線方程，解得，即直線，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：由，可得，解得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：時(shí)，直線，滿足，即，D選項(xiàng)正確；
故選：AD.
10．AB
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長為判斷A的真假；考慮為短軸頂點(diǎn)時(shí)，焦點(diǎn)三角形的形狀判斷B的真假；結(jié)合橢圓定義和余弦定理，計(jì)算焦點(diǎn)三角形的面積，判斷C的真假；分情況討論，找出使為等腰三角形的所有點(diǎn)，判斷D的真假.
【詳解】對(duì)于，由題意，，，故周長為，所以A正確；
對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，為直角，所以B正確.
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，如圖：
設(shè)，，則.
所以，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)；若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)；同理，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)；故使得為等腰三角形的點(diǎn)共六個(gè)，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB
11．ACD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量定義可判斷A正確，由空間基底的概念可知B錯(cuò)誤，由平面法向量的求法計(jì)算可得C正確，根據(jù)線面角的向量求法利用基本不等式計(jì)算可得D正確.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)正方體棱長為2，則可得，
對(duì)于A，顯然，
因此，又平面，
所以是平面的一個(gè)法向量，即A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，
即，又，
顯然，即共面，所以不可以作為空間的一個(gè)基底，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若向量是平面的一個(gè)法向量，則向量是平面的一個(gè)法向量，
易知，因此，
設(shè)向量m=x,y,z，則，令，可得；
即，又，
所以，即可知C正確；
對(duì)于D，設(shè)，由可得，所以，
顯然為平面的一個(gè)法向量，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦的最大值為，即D正確.
故選：ACD
方法點(diǎn)睛：在求解正方體中關(guān)于位置關(guān)系、空間角度、距離等問題時(shí)，合理的建立空間直角坐標(biāo)系可以使復(fù)雜的空間問題簡單化為向量坐標(biāo)間的關(guān)系，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算即可.
12．2
【分析】由拋物線的焦半徑公式可得.
【詳解】因在拋物線上，所以，故，
故2
13．
【分析】利用兩平面平行法向量的關(guān)系及向量共線定理即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即?br>所以，解得，所以.
故
14．
【分析】先證明四邊形是矩形，然后利用已知條件求出三邊的比例，再利用橢圓的定義求出和與的關(guān)系式，最后利用即得離心率.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為. 由于三點(diǎn)共線，故由橢圓的對(duì)稱性知，
而，故四邊形是平行四邊形.又因?yàn)椋仕倪呅问蔷匦?
由于四邊形是矩形，故，
.
從而可設(shè)，
此時(shí)，解得，
所以，所認(rèn)，
最后由，得到，
即，故.從而橢圓的離心率.
故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用矩形的性質(zhì)和橢圓的定義研究的三邊，從而避免直接直線與橢圓聯(lián)立導(dǎo)致繁雜的計(jì)算.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程得出圓心和半徑，再由并結(jié)合弦長公式構(gòu)造方程即可得；
（2）由（1）可得，利用兩平行線間距離公式求得點(diǎn)到的距離為，可求出的面積.
【詳解】（1）將圓可化為，
所以其圓心，半徑，作于點(diǎn)，
由垂徑定理可得為的中點(diǎn)，如下圖所示：
由可得，
又，
解得
（2）由（1）可知，所以，
易知直線與直線平行，
所以點(diǎn)到的距離為，
因此的面積為.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過證明，得證平面；
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，
為中點(diǎn)，則，又，得，
由，，得，
所以四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.
如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則有，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，
令，有，得，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
.
17．(1)
(2)或．
【分析】（1）由條件直接得出焦距，結(jié)合雙曲線表示出，建立方程解得的值，便可以寫出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理表示出焦點(diǎn)弦長，解得斜率的值，從而得出直線的方程.
【詳解】（1）由等邊三角形可知雙曲線焦距為，
∵，即，∴，∴，∴，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線不相交，
∴設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組得，
，解得，
由韋達(dá)定理可知，
即，
解得或．
所以直線的方程為或．
18．(1)證明見詳解；
(2).
【分析】（1）只需結(jié)合已知分別證明，，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，由向量夾角公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以均在的垂直平分線上，所以，，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，，平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面；
（2）由（1）可知，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)垂直于底面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?br>所以，所以，
從而由等面積法，可知，由勾股定理，可知，
由（1）可知，所以，
由（1）可知，而平面平面，平面，平面，且二面角為，
所以，
所以與軸所在直線的夾角為，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，
則，
令，解得，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，解得，
所以平面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
所以平面與平面所成角的正弦值為.
19．(1)
(2)（i）證明見機(jī)解析；（ii）.
【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）（i）分別將直線、與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由數(shù)量積可得為鈍角，得出證明；
（ii）由（i）可寫出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值.
【詳解】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，
因此，橢圓的方程為.
（2）（i）易知A?2,0、，
由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，、，
根據(jù)題意可知直線、斜率均存在，且，，
所以直線的方程為，的方程為，
聯(lián)立直線和橢圓方程，
消去可得，
由韋達(dá)定理可得，解得，則，
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得，
由韋達(dá)定理可得，解得，則，
則，，
所以；
即可知為鈍角，所以點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）易知四邊形的面積為，
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以，可得，
由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，
四邊形的面積最大，最大值為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，可利用向量數(shù)量積的正負(fù)判斷與直徑所對(duì)圓周角的大小即可得出結(jié)論；在求解四邊形面積的最值時(shí)，首先可用一個(gè)變量表示出面積的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求出最值即可.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
A
A
D
B
AD
AB
題號(hào)
11









答案
ACD









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