1．直線的斜率為（ ）
A．B．2C．?2D．
2．若點(diǎn)到直線l：的距離為，則（ ）
A．5B．C．5或D．或15
3．已知空間向量，，且，則（ ）
A．B．?8C．2D．
4．已知直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．在空間四邊形OABC中，，，，且，，則（ ）
A．B．
C．D．
6．空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．在如圖所示的多面體中，平面，平面平面，且，，則異面直線BP與CQ所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知二面角的棱l上有A，B兩點(diǎn)，直線BD，AC分別在平面α，β內(nèi)，且它們都垂直于l．若，，，，則平面與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線l過點(diǎn)，，則（ ）
A．直線l的傾斜角為150°
B．直線l的兩點(diǎn)式方程為
C．直線l的一個(gè)方向向量為
D．直線l的截距式方程為
10．對(duì)于直線l：，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．直線l恒過點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
C．若直線l不經(jīng)過第二象限，則
D．坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為
11．已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，P是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若，則的最小值為2
B．若，則三棱錐P-ABC的體積為定值
C．若，則直線AP與平面ABC所成角的正弦值的最大值為
D．若，則平面PBC截三棱柱所得的截面面積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知直線l垂直于直線，且過點(diǎn)，則直線l的傾斜角為 ，在x軸上的截距為 ．
13．已知向量，，，當(dāng)時(shí)，向量在向量上的投影向量為 ．（用坐標(biāo)表示）
14．已知點(diǎn)，直線：，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線，直線．
(1)若，求，之間的距離；
(2)若，求，及軸圍成的三角形的面積．
16．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是線段，EC，的中點(diǎn).設(shè)，，.

(1)用基底表示向量.
(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
17．在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均為直角梯形，，，，．

(1)證明：平面平面．
(2)求直線DF與平面BEF所成角的大?。?br>18．已知的頂點(diǎn)，，直線l：過定點(diǎn)．
(1)若是的重心，求三邊所在直線的方程；
(2)若，且，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．如圖，平面，，，，，．

(1)證明：平面．
(2)若三棱錐的體積為1，求平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】直線的斜率為．
故選：A.
2．【答案】C
【詳解】由題意可得：點(diǎn)P到直線l的距離，解得或．
故選：C.
3．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
解得．
故選：C.
4．【答案】D
【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為α，則．因?yàn)椋遥?br>所以．
故選：D
5．【答案】B
【詳解】．
故選：B.
6．【答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以直線EF的一個(gè)單位方向向量為．
因?yàn)?，所以點(diǎn)P到直線EF的距離為．
故選：A
7．【答案】A
【詳解】如圖，將該多面體補(bǔ)成底面邊長(zhǎng)為2，高為2的正三棱柱，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，
所以．
故選：A
8．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)?，，，，，?br>所以，
所以．
因?yàn)?，所以?br>故平面與夾角為60°．

故選：B.
9．【答案】ABD
【詳解】因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，，所以直線l的斜率為，傾斜角為150°，故A正確，C不正確；
直線l的兩點(diǎn)式方程為，整理易得截距式方程為，所以B，D正確．
故選：ABD.
10．【答案】ABD
【詳解】可變形為，由得所以直線l恒過點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)時(shí)，直線l在x，y軸上的截距分別為1，1，所以直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故B正確；
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，直線l也不經(jīng)過第二象限，故C不正確；
因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為，故D正確．
故選：ABD
11．【答案】BCD
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0，B（0，1，0），C（0，-1，0），
，，．
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以．
當(dāng)，時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槠矫鍭BC的法向量為，
所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為為定值，
即三棱錐P-ABC的體積為定值，所以B正確；
因?yàn)椋?br>平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)AP與平面ABC所成的角為θ，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，所以C正確；
因?yàn)?，所以?br>由圖可知平面PBC截三棱柱所得的截面為，
，所以D正確．

故選：BCD.
12．【答案】
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線l的斜率為，所以直線l的傾斜角為．
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以直線l的方程為，
令得出,故直線l在x軸上的截距為．
故答案為：2π3；.
13．【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以在上的投影向量為?br>故答案為：
14．【答案】
【詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則解得，即．
因?yàn)椋?br>所以的最小值為．
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，，，，重合；
當(dāng)時(shí)，，，符合題意．故，
則，之間的距離為．
（2）因?yàn)椋?，解得?br>，的方程分別為，．
聯(lián)立方程組，得．
因?yàn)?，與軸的交點(diǎn)分別為，，
所以，及軸圍成的三角形的面積為．
16．【答案】(1)
(2)不存在一點(diǎn)G，理由見解析
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以．
（2）假設(shè)棱BC上存在點(diǎn)G，使得，設(shè)．
因?yàn)椋?br>所以．
因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，
得，所以棱BC上不存在一點(diǎn)G，使得.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以AB，AC，AD兩兩垂直．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
設(shè)平面BEF的法向量為，因?yàn)?，?br>所以，解得，令，得，故．
設(shè)平面DEF的法向量為，因?yàn)?，?br>所以令，得．
因?yàn)?，所以，所以平面平面?br>
（2）設(shè)直線DF與平面BEF所成的角為，由（1）知，
平面BEF的一個(gè)法向量為，
則，
所以，
即直線DF與平面BEF所成的角為．
18．【答案】(1)，，
(2)或
【詳解】（1）將l：整理得，
由，得，所以，
設(shè)，因?yàn)槭堑闹匦模?br>所以，解得，所以，
故所在直線的方程為，整理得，
所在直線的方程為，整理得，
所在直線的方程為，整理得；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
又，所以點(diǎn)C到直線的距離為，
因?yàn)椋渣c(diǎn)C在的垂直平分線上，
中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
則的垂直平分線的方程為，即，
所以，解得或，
所以或．
19．【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，，所以兩兩垂直?br>如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．
設(shè)，因?yàn)槠矫鍭DE的一個(gè)法向量為，，
所以．因?yàn)槠矫?，所以平面?br>
（2）解：設(shè)為平面BDE的法向量，點(diǎn)F到平面BDE的距離為h，
因，，
所以令，得．
因?yàn)?，解得：?br>所以，即點(diǎn)F到平面BDE的距離為2，
所以，所以，即．
設(shè)平面BDF的法向量為，因?yàn)椋?br>所以，令，得．
因?yàn)椋?br>所以平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值為．
2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，且，則實(shí)數(shù)x的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．或B．C．或D．
3．在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是（ ）
A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線
B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線
C．O，A，B，C四點(diǎn)不共面
D．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線
4．若直線5x＋4y＝2m＋1與直線2x＋3y＝m的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．(－∞，2)B．
C．(－∞，－3)D．
5．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，長(zhǎng)方體中，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
7．2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（ ）
A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是
B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是
D．“將軍飲馬”走過的總路程為5
8．如圖，在正方體中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．直線過，兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角有可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在平行六面體中，設(shè)，若為與的交點(diǎn)，則下列等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的點(diǎn)所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面直線的距離.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在上，且；點(diǎn)在上，且.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．線段是異面直線與的公垂線段
B．異面直線與的距離為
C．點(diǎn)到直線的距離為
D．點(diǎn)到平面的距離為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知點(diǎn)M(0，－1)，點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上，若直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，則N點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
13．已知兩條平行直線：，：，則與間的距離為 .
14．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．根據(jù)下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式.
(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；
(2)在軸和軸上的截距分別是和；
(3)經(jīng)過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為.
16．如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長(zhǎng)為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
17．已知直線方程為．
(1)若直線的傾斜角為，求的值；
(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．
18．已知直線：，.
(1)證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；
(3)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.
19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，是正三角形，平面，為的中點(diǎn)，，，分別是，，上的點(diǎn)，且滿足．

(1)求平面與平面所成銳二面角的大小;
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為?若存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】因?yàn)橹本€平面，直線l的方向向量為，平面的法向量為，所以，
又，
所以，所以.
故選：C.
2．【答案】C
【詳解】因?yàn)榍?br>所以
解得：或
故選：C
3．【答案】B
【詳解】因?yàn)闉榛?，所以非零向量不在同一平面?nèi)，
即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，
所以A、C、D選項(xiàng)說法正確，B錯(cuò)誤．
故選：B
4．【答案】D
【詳解】聯(lián)立，解得，
因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，
所以，解得，
故選：D
5．【答案】B
【詳解】，
直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，
故D正確，當(dāng)時(shí)，, 故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.
故選：B
6．【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示，然后利用空間向量的夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】如圖
所以
所以異面直線與所成角的余弦值
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值，利用向量的方法，便于計(jì)算，將幾何問題代數(shù)化，屬基礎(chǔ)題.
7．【答案】B
【詳解】如圖所示：
由題意可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，
則，解得，即，
對(duì)于A，直線的斜率為，所以將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是，即，故A正確；
對(duì)于B，聯(lián)立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；
對(duì)于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，即“將軍飲馬”走過的總路程為，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
8．【答案】A
【詳解】
設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，故，
又底面的一個(gè)法向量為，
所以，因?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
則，，則，
則當(dāng)時(shí)，分母取到最小值，此時(shí)，
當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)，
綜上，
故選：A.
9．【答案】AD
【詳解】設(shè)的傾斜角分別為，直線的斜率，
，又，
直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：AD.
10．【答案】BD
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確；
故選：BD
11．【答案】ACD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法依次求解判斷.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
，，，，，，，，，
，.
對(duì)于A，，，，
，，即，，
所以線段是異面直線與的公垂線段，故A正確；
對(duì)于B，由正方體可得異面直線與的公垂線的方向向量為，
又，所以異面直線與的距離為.故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
所以在方向的投影向量的模為，
所以點(diǎn)到直線的距離為.故C正確；
對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，
，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為.故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間中的距離問題.解題思路是建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，異面直線距離公式，點(diǎn)到面的距離公式，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
12．【答案】(2,3)
【詳解】由點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∴．
又直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，
∴，
解得，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
故答案為
13．【答案】
【詳解】由，得，得，
所以：，即，又：，
所以與間的距離.
故答案為：
14．【答案】/1.2
【詳解】如圖所示，
正方體中，，
，
，A，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，
，解得，；
．
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程為，
化簡(jiǎn)可得；
（2）解：根據(jù)截距式可得：，
化簡(jiǎn)可得；
（3）解：由直線的方向向量為可得直線的斜率，
所以所求直線方程為即.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?底面，所以，，兩兩相互垂直，
如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，則，
故，即，則，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（2）由（1）得直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17．【答案】(1)；
(2)面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為.
【詳解】（1）解：由題意可得.
（2）解：在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，
令可得，即點(diǎn)，
由已知可得，解得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.
18．【答案】(1)證明見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)或
(3)
【詳解】（1）證明：整理直線的方程，得，
所以直線過直線與的交點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，
解得，
所以直線過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（2）當(dāng)截距為0時(shí)，直線的方程為，即，
當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，
則，
解得，
直線的方程為，即，
故直線的方程為或.
（3）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，符合題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，不符合題意；
當(dāng)，且時(shí)，，
所以
解得或，
綜上所述，當(dāng)直線不經(jīng)過第四象限時(shí)，
的取值范圍是：.
19．【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）是正三角形， 為的中點(diǎn)，，
又平面，平面， ，
又平面，平面，且，
平面.

取的中點(diǎn)，連接，又平面，且底面是的正方形，
所以以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得到如下點(diǎn)的坐標(biāo)，
又，，分別是，，上的點(diǎn)，且滿足，
，
，，
由平面，所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，即，解得，，
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
，又為銳角，所以，
所以平面與平面所成銳二面角的大小.
（2）設(shè)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，且，
，
，
，
整理可得: ，，方程無解，
不存在這樣的點(diǎn).

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