吉林省長春市實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)
注意事項：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.
3.請認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項，在答題卡上與題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫在試卷、草稿紙上或答題卡非題號對應(yīng)答題區(qū)域的答案一律無效.不得在答題卡上做任何標(biāo)記.
4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題未上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.
5.考試結(jié)束后，答題卡要交回，試卷由考生自行保存.
一、選擇題（本題包括8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）
1. 橢圓C：一個焦點的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出,并且知道焦點在軸上,可表示出焦點坐標(biāo).
【詳解】由橢圓C：，知，
故焦點坐標(biāo)為.
故選：B
2. 在平行六面體中，已知，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行六面體結(jié)構(gòu)特征和相等向量的定義，結(jié)合向量加法法則即可求解.
【詳解】在平行六面體中，,
所以.
故選：D.
3. 雙曲線的漸近線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程直接求解即可
【詳解】由，得，
所以，
即雙曲線的漸近線方程為.
故選：A
4. 正四棱柱中，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點，則直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出點的坐標(biāo)，利用異面直線夾角余弦公式求出答案.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
故，
故直線與所成角的余弦值為.
故選：D
5. 已知拋物線的準(zhǔn)線為，點在拋物線上，且線段的中點為，則直線的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求得拋物線的方程為，再利用點差法，即可求解.
【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，可得，可得，所以，
設(shè)，可得，且，
兩式相減，可得，
可得，所以直線的方程為，
即.
故選：A．
6. 橢圓上頂點為A，點均在C上，且關(guān)于x軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線AP，AQ的斜率之積列方程，求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.
【詳解】，設(shè)Px1,y1，則，則，，
故，又，則，
所以，即，所以橢圓C的離心率為．
故選：C
7. 若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直線與半圓的位置關(guān)系可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】方程有兩個不相等的實數(shù)根等價于有兩個實數(shù)根，
設(shè)，，
故的圖象與的圖象有兩個不同的交點，
又可化為，
故的圖象為如圖所示的半圓，

半圓圓心為2,0，半徑為，故圓心到直線的距離，故，
而直線需在軸的上方或與軸重合，故，
故，
故選：B.
8. 已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A，B為C上兩點，且均在第一象限，過A，B作l的垂線，垂足分別為D，E.若，，則的外接圓面積為（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由拋物線的定義及平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而由正弦定理可求得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，

由拋物線的定義可知AF=AD，，
所以，，
所以，故，
易知為銳角，且由可知，
所以.
設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，
又，所以，
所以的外接圓面積為.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知直線：，則下列說法正確的是（）
A. 直線在軸上的截距為1B. 直線與直線：平行
C. 直線的一個方向向量為D. 直線與直線：垂直
【答案】BD
【解析】
【分析】求出直線的橫截距及方向向量判斷AC；由方程判斷兩直線的位置關(guān)系判斷BD.
【詳解】對于A，直線在軸上的截距為，A錯誤；
對于B，直線與直線的斜率均為，它們的橫截距分別為，則，B正確；
對于C，直線的一個方向向量為，C錯誤；
對于D，由，得，D正確.
故選：BD
10. 已知拋物線C：的焦點為，點A，B為C上兩個相異的動點，則（）
A. 拋物線C的準(zhǔn)線方程為
B. 設(shè)點，則的最小值為4
C. 若A，B，F(xiàn)三點共線，則的最小值為2
D. 若，AB的中點M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，由拋物線的焦點可求出拋物線的準(zhǔn)線方程，對于B，過點作垂直準(zhǔn)線于，則，從而可求出其最小值，對于C，由拋物線的性質(zhì)可判斷，對于D，過分別作垂直準(zhǔn)線，垂足分別為，則由梯形中位線定理可得，然后在利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷
【詳解】對于A，因為拋物線C：的焦點為，所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為，所以A正確，
對于B，由題意可得拋物線的方程為，則點在拋物線外，如圖，過點作垂直準(zhǔn)線于，則，當(dāng)三點共線時，取得最小值，最小值為4，所以B正確，
對于C，由拋物線的性質(zhì)可得當(dāng)A，B，F(xiàn)三點共線，且軸時，弦最短為拋物線的通徑，所以C錯誤，
對于D，過分別作垂直準(zhǔn)線，垂足分別為，則由梯形中位線定理可得，設(shè)，則，在中由余弦定理得，
因為，所以，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以D正確，
故選：ABD
11. 已知棱長為1的正方體中，為正方體內(nèi)及表面上一點，且，其中，，則下列說法正確的是（）
A. 當(dāng) 時，與平面所成角的最大值為
B. 當(dāng)時，恒成立
C. 存在，對任意，與平面平行恒成立
D. 當(dāng)時，的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行逐項求解判斷.
【詳解】由題意得：以點為坐標(biāo)原點，所在直線為，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

則：，，，，，，，
，，，得：
對于A項：當(dāng)時，，，
平面的一個法向量為：，設(shè)與平面所成的角為，
所以：
因為：，所以：，
所以：當(dāng)時，有最大值，此時：，故A項錯誤；
對于B項：，
則：，所以：，所以：，故B項正確；
對于C項：由題意知平面的一個法向量為：，
，所以：當(dāng)時，，即：，且不在平面內(nèi)，
此時：對于任意，與平面平行恒成立，故C項正確；
對于D項：當(dāng)時，得：，，
當(dāng)時，有最小值，故D項錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量、分別是直線的方向向量、平面的法向量，若，則與所成的角為__．
【答案】##
【解析】
【分析】利用空間向量法可得出與所成的角.
【詳解】因為向量、分別是直線的方向向量、平面的法向量，且，
所以，與所成的角為.
故答案為：.
13. 若圓與圓相交于兩點，且，則實數(shù)__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由兩個圓方程得到公共弦直線方程，由垂徑定理得到等式，解方程即可得到答案.
【詳解】，圓心，半徑
∴直線：，
圓心到直線距離，
由垂徑定理可得，∴，即，
∴或，經(jīng)驗證均滿足題意.
故答案為：或
14. 已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線在第一、三象限的交點分別為、，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出圖形，分析可知四邊形為矩形，且，可得出，，利用雙曲線的定義結(jié)合三角恒等變換、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
【詳解】連接、，如下圖所示：
由對稱性可知，、的中點均為，且，
所以，四邊形為矩形，所以，，
所以，，，
由雙曲線的定義可得，
因為，則，
且，
所以，，
因此，該雙曲線的離心率.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.
（1）證明：直線平面；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法證明與面的一個法向量垂直，即可證結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）所得坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點面距離.
【小問1詳解】
由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
由，得，解得，同理，
，顯然面的一個法向量為，
顯然且面，故面
【小問2詳解】
設(shè)面的一個法向量為，且，
由，
取x=1，則，
所以為平面的一個法向量，
又，
點到平面的距離為.
16. 已知頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的拋物線過點.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線的焦點在軸上且與直線交于、兩點（、兩點異于原點），以為直徑的圓經(jīng)過原點，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線過定點，分情況確定拋物線方程；
（2）聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理與圓過原點可得參數(shù)值.
【小問1詳解】
當(dāng)拋物線焦點在軸上時，設(shè)拋物線方程為，
過點，即，解得，
即此時拋物線方程為；
當(dāng)拋物線焦點在軸上時，設(shè)拋物線方程為，
過點，即，解得，
即此時拋物線方程為；
【小問2詳解】
由（1）得當(dāng)拋物線焦點在軸上時，拋物線方程為，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立直線與拋物線，得，
則，解得，
且，，，
又以為直徑的圓經(jīng)過原點，
即，，
解得.
【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
17. 已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點．當(dāng)l與x軸垂直時，面積為12．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)l與x軸不垂直時，作線段AB的中垂線，交x軸于點D．試判斷是否為定值．若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）
（2）是定值1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面積為12，結(jié)合雙曲線基本量關(guān)系求解即可；
（2）設(shè)直線l的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式求解即可.
【小問1詳解】
雙曲線可化為
，即
雙曲線C標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線l的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立雙曲線C與直線l：消去x可得：，
，則恒成立，
又直線與雙曲線交于右支兩點，故，，即，
進(jìn)而可得，即AB中點M為，
線段AB的中垂線為，
則，即．
．
即為定值1．
【點睛】方法點睛：
（1）根據(jù)題意設(shè)直線方程，聯(lián)立圓錐曲線的方程，得出韋達(dá)定理；
（2）將條件利用點的坐標(biāo)結(jié)合弦長公式，代入韋達(dá)定理化簡證明.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點，是線段（不含端點）上的一個動點．
（1）記平面交于點，求證：平面；
（2）是否存在點，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，點為線段上靠近點的三等分點，理由見解析
【解析】
【分析】（1）證明平面，利用線面平行的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）連接、、，推導(dǎo)出平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法求出的值，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
證明：因為四邊形為菱形，則，
因為平面，平面，所以，平面，
因為平面，平面平面，則，
因為平面，平面，因此，平面.
【小問2詳解】
解：連接、、，
因為為等邊三角形，為的中點，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因為四邊形是邊長為的菱形，則，
又因為，則為等邊三角形，則，
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)，其中，
設(shè)平面法向量為，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，
，
則，
取，則，，所以，，
由題意可得，
整理可得，即，因為，解得，
故當(dāng)點為線段上靠近點的三等分點時，二面角的正弦值為.
19. 已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的動直線 l與C 交于P，Q兩點.當(dāng)軸時，，且直線的斜率之積為.
（1）求C的方程;
（2）求的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解方程即可求得答案；
（2）設(shè)，由等面積法表示，進(jìn)而討論直線斜率存在和不存在的情況，存在時設(shè)直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式可得的表達(dá)式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為c，則，
令代入，可得，
則當(dāng)軸時，，此時不妨設(shè)，
則由直線的斜率之積為，得，
即，結(jié)合，即，解得，
故C的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，則的周長為，
故，則，
當(dāng)軸時，；
當(dāng)l不與x軸垂直時，設(shè)，
聯(lián)立y=kx?1x24+y23=1，得，
，，
，
故，令，則，
則，由于，故，
令，則上單調(diào)遞減，
則，
則，
綜合上述，的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍為.
【點睛】易錯點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系中的三角形的內(nèi)切圓半徑的范圍問題，解題思路并不困難，但很容易出錯，易錯點就在于根據(jù)等面積法求出內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式后，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，求解范圍，計算過程較為復(fù)雜，計算量較大，很容易計算錯誤，因此計算要十分細(xì)心.

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