一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角（ ）
A．B．C．D．
2．已知圓，直線，則圓上到直線的距離為的點(diǎn)的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點(diǎn)，則線段的長為（ ）

A．3B．C．D．
4．若方程表示圓，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．曲線與曲線一定成立的是（ ）
A．長軸長相等B．焦距相等C．離心率相等D．短軸長相等
6．已知直線，直線，若，則與的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是
B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時間
C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁
D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時最小
二、多選題（本大題共3小題）
9．對于直線：，下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過定點(diǎn)
B．直線斜率可以不存在
C．時直線的傾斜角為
D．時直線在軸上的截距為
10．已知圓：與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A．兩圓的相交弦所在直線方程為
B．兩圓的公共弦長為
C．經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓的方程為
D．P為上任意一點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，則的最大值為
11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正確的有（ ）
A．曲線圍成的圖形有4條對稱軸
B．曲線C圍成的圖形的周長是
C．曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離最大值是
D．若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量則實(shí)數(shù)的值為 ．
13．經(jīng)過點(diǎn)，且在 x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的一般方程是 .
14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率的最大值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且；
(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩個點(diǎn).
16．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切.
(1)求圓A的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M、N兩點(diǎn), 當(dāng)時，求直線l方程．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，圓為過點(diǎn)，，的圓．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.
18．如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面為長方形，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線和平面所成角的正弦值；
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)T到直線的距離是，若存在求的長，不存在說明理由.
19．已知橢圓的離心率為，過橢圓E的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓E相交于的P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）點(diǎn)M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若，求證：的面積為定值.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】化成斜截式為，所以直線斜率，直線傾斜角，且，則.
故選：D.
2．【正確答案】C
【詳解】設(shè)與直線平行且與直線的距離為的直線的方程為，
由平行線間的距離公式可得，解得或，
圓的圓心為，半徑為，
顯然直線過圓心，圓心到直線的距離為，
所以，直線與圓相交，直線與圓相切，
所以，圓上到直線的距離為的點(diǎn)的個數(shù)為.
故選：C.
3．【正確答案】C
【詳解】由題意可知：，
則
，
所以.
故選：C.
4．【正確答案】C
【詳解】解：因為方程，
可變形為，
因為方程表示圓，則，解得：或，
所以的取值范圍是.
故選：C.
5．【正確答案】B
【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
其中，
所以長軸長為，短軸長，焦距為，離心率，
因為，所以，
曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
其中，，，
所以長軸長為，短軸長，焦距為，離心率
故長軸長不相等，焦距相等，離心率不相等，短軸長不相等，故ABD錯，B對；
故選：B
6．【正確答案】B
【詳解】由，所以，則，所以可得，
根據(jù)兩平行直線距離公式.
故選：B
7．【正確答案】D
【詳解】記點(diǎn)、，則，如下圖所示：

設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且直線的斜率為，
由題意可得，解得，
故原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
由對稱性可知，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與直線的交點(diǎn)時，等號成立，
因此，的最小值為.
故選：D.
8．【正確答案】C
【詳解】由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為，最大值為，所以A正確；
根據(jù)在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時間，故B正確；
衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為越大，則越小，橢圓越圓，故C錯誤．
因為運(yùn)行速度是變化的，速度的變化，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時向徑越小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間，內(nèi)掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，
所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時最小，故D正確；
故選：C．
9．【正確答案】AB
【詳解】對于A，直線，令，則，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；
對于B，當(dāng)時，直線，斜率不存在，故B正確；
對于C，當(dāng)時，直線，即，所以直線的斜率為，傾斜角為，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，直線，令，得，即直線在軸上的截距為，故D錯誤.
故選：AB.
10．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，由，得，
所以兩圓的相交弦所在直線方程為，故A正確；
對于B，圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
則兩圓公共弦長為，故B正確；
對于C，經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為，
即，因為此圓過原點(diǎn)，
，解得，
所以經(jīng)過，兩點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓的方程為，故C錯誤；
對于D，圓的圓心為，半徑為，所以的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】ACD
【詳解】當(dāng)時，曲線的方程可化為，
當(dāng)時，曲線的方程可化為，
當(dāng)時，曲線的方程可化為，
當(dāng)時，曲線的方程可化為，
所以曲線的圖象如圖所示，
對于A，由圖可知曲線圍成的圖形有4條對稱軸，故A正確；
對于B，曲線由4個半圓組成，其周長為，故B錯誤；
對于C，由圖可知曲線上任意兩點(diǎn)間的最大距離為，故C正確；
對于D，到直線的距離，
點(diǎn)到直線的距離為，
由圓的性質(zhì)得曲線上一點(diǎn)到直線的距離最小為，
故的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
12．【正確答案】7
【詳解】由題，
，
，
解得.
故7.
13．【正確答案】或
【詳解】當(dāng)截距為0時，設(shè)直線方程為，
將代入得，解得，故，即；
當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為，
將代入得，解得，
故直線方程為，即.
故或
14．【正確答案】
【詳解】連接，設(shè)，
因為點(diǎn)在第一象限，所以，
由對稱性可知，
因為，所以，即，
由橢圓定義可得，
由圓的性質(zhì)得⊥，由勾股定理得，
所以，即，
因為，
設(shè)，，則，
由對勾函數(shù)性質(zhì)，單調(diào)遞增，
所以，即，
當(dāng)時，解得，即，解得
當(dāng)時，解得，即，解得，
綜上，所以C的離心率的最大值為.
故
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題設(shè)橢圓，，
，即，
將點(diǎn)代入方程，可得，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)橢圓的一般方程為，
將點(diǎn)，代入橢圓的方程，
得，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
16．【正確答案】（1）（2）或
【詳解】（1）由題意知到直線的距離為圓半徑，且
,
所以圓的方程為 .
（2）記MN中點(diǎn)為Q，則由垂徑定理可知且，
在中由勾股定理易知，，設(shè)動直線方程為：或，顯然合題意.由到距離為1知，解得,
∴或 為所求方程.
17．【正確答案】(1)；
(2)，軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
因為圓為過點(diǎn)，，，
所以，
解得滿足，
所以，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
因為的坐標(biāo)是，且，
所以，解得，
又因為點(diǎn)在圓上運(yùn)動，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即，
代入得，整理得，
點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）由于，所以，
根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）設(shè)N是的中點(diǎn)，連接，則，MA，MB，MN，兩兩相互垂直.
以M為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)直線和平面所成角為，則；
（3）設(shè)，則，
過T作，則，
∵，
∴，
∴，∴或（舍）
∴.
19．【正確答案】(1) (2)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則①
過橢圓左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立解得，
所以，所以②
把①代入②，解得
又，解得
所以E的方程為：
（2）設(shè)，因為，，
所以，即，
即
（i）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并整理，得.
則，
③
所以，整理得，代入③，
，
O到直線的距離，
所以
，即的面積為定值1
（ii）當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)的斜率為且點(diǎn)M在第一象限，此時的方程為，代入橢圓方程，解得，此時的面積為.
綜上可知，的面積為定值1

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