4.3 直線與平面的位置關系
選用教材
高等教育出版社《數學》
（拓展模塊一上冊）
授課
時長
5 課時
授課類型
新授課
教學提示
本課是整章的重點內容，將點、直線、平面均融合在一起．通過引導學生將筆抽象為直線，將桌面抽象為平面，比較筆與桌面的不同位置，來直觀感受直線與平面之間的不同位置關系，并由此總結出直線與平面的三種位置關系．在此基礎上通過平面性質 2，引導學生從理論上歸納出直線與平面的三種位置關系，然后引導學生用自然語言表示出三種位置的定義，并用圖形語言、符號語言來表示．教學時可以引導學生動手實驗或觀察教室、課桌等特殊長方體，加深對三種
位置關系的理解．
教學目標
知道直線與平面之間的三種位置關系；知道直線與平面平行的定義、判定與性質定理，能根據判定定理來證明直線與平面平行，能根據性質定理來證明直線與直線平行；知道直線與平面垂直的定義、判定與性質定理，能根據定義或判定定理來證明直線與平面垂直，能根據性質定理來證明直線與直線平行；知道直線在平面內的射影的定義，知道直線與平面所成角的定義；會找出直線在平面內的射影，會解決直線與平面所成角的簡單問題；逐步培養(yǎng)和提升直觀想象、邏輯
推理和數學運算等核心素養(yǎng).
教學
重點
直線與平面平行的判定與性質定理；直線與平面垂直的判定與性質定理．
教學
難點
直線與平面垂直的判定定理、直線與平面所成角的求法．
教學
環(huán)節(jié)
教學內容
教師
活動
學生
活動
設計
意圖
如圖所示，將一支鉛筆平放到桌面上，然后水平拿起來，再堅直放置在桌面上.在此過程中，這支鉛筆(看作一條直線)與桌面分別有幾個公共點？
提出
思考
結合
問題
熟悉
情境導入
引發(fā)思考
分析
回答
內容
創(chuàng)設學習
情境
新知探索
容易看出，當筆平放在桌面上時，它與桌面有無數多個公共點；將筆水平拿起，它與桌面沒有公共點；當筆豎直放置時，它與桌面只有一個公共點.事實上，根據公理 2，當一條直線與一個平面有兩個公共點時，這條直線上的所有點都在這個平面內.除此之外，直線與平面或者只有 1 個公共點，或者沒有公共點.因此，直線與平面有三種 位置關系.
講解
講解說明
理解
思考領會
借助實例總結出直線與平面的三種位置關系
1.直線在平面內，此時直線與平面有無數個公共點.
如圖(1)所示，當直線 a 在平面 α 內時，記作 a ? α.
直線與平面相交，此時直線與平面只有一個公共點.如圖(2)所示，當直線 b 在平面 α 相交于點 B 時，記作 b∩α=B.
直線與平面平行，此時直線與平面沒有公共點.如圖(3)所示，當直線 c 在平面 α 平行時，記作 c∥α .畫圖時,把直線畫在表示平面的平行四邊形外,并與平行四邊形的一條邊平行.
直線 l 與平面 α 相交或平行，稱直線 l 在平面 α 外，
記作 l 與?α.
情境導入
4.3.1 共面直線
如圖所示，一本打開的書的封面右邊沿所在直線 m 已經不在書內頁所在平面 α 內，那么，m 與 α 是相交還是平行呢？
觀察發(fā)現，書脊所在直線 n 是封
面所在平面與書內頁所在平面的交
提出問題引發(fā)思考
觀察思考討論交流
引出異面直線概念
線，且 m∥n.
能否通過 m∥n 來判斷直線 m 與平面 α 之間的位置關系呢？
一般情形為，m?α，n?α，且 m∥n，如圖(1)所示.
講解
理解
該定
展示圖形提示
觀察特征交流
理實質是通過證明
直線
新知探索
假設直線 m 與平面 α 相交，記交點為點 P，如圖(2)所示. 由 m∥n 知 P?n.根據異面直線判定定理，m 與 n 是異面直線，這與 m∥n 矛盾.故直線 m 與平面 α 不相交，從而 m∥α.
于是有下面的結論：
直線與平面平行的判定定理 如果平面外的一條直線與這個平面內的一條直線平行，那么這條平面外直線
說明
說明強調
討論
領會要點
與直線平行得到直線與平面
平行
與這個平面平行.
例 1如圖所示，在棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中：
與平面 AC 平行的棱所在直線有哪些？
判斷 AA1 與平面 DBB1D1 的位置關系.
解 (1)因為棱柱各側面均為平行四邊形，所以 A1B1∥AB.
又因為 A1B1?平面 AC，AB ?平面 AC，所以
A1B1∥平面 AC；同理可知，直線 B1C1、C1D1、A1D1 均與平面 AC 平行.
因此，與平面 AC 平行的棱所在直線有 A1B1、B1C1、
提問
引導
思考
分析
例 1
在回
顧棱
講解
解決
柱基
典型例題
強調
指導
交流
主動
礎上初次
利用
學習
求解
判定
定理
解決
問題
C1D1、A1D1.
(2)因為 AA1∥BB1，且 AA1?平面 DBB1D1，BB1?平面 DBB1D1，所以 AA1//平面 DBB1D.
例 2
在回顧三
角形
例 2 在空間四邊形 ABCD 中，點 E、F 分別是 AB、AD 的中點，如圖所示，求證:EF//平面 BCD.
證明 連接 E、F.因為 E、F 分別是 AB、AD 的中點，所以 EF//BD.又因為 E?平面 BCD，BD?平
面 BCD，所以 BF//平 面 BCD.
提問引導
講解強調
思考分析
解決交流
中位線定理基礎上鞏固提升
探究與發(fā)現
引導
情境
既然直線與直線的平行可以用來判定直線與平面平行，那
引發(fā)
討論
學生
導入
么能否利用直線與平面的平行來判定直線與直線平行
思考
交流
發(fā)現
呢？
問題
如圖(1)所示， m∥α， m?β，α∩β=n.那么，m 與 n 是
什么位置關系？
講解
理解
解決
設定
新知
展示圖形提示說明
觀察特征交流討論
問題引出性質定
理，
探索
顯然，m 與 n 共面于平面 B 內，則 n 與 n 要么相交，要么平行.若 m 與 n 相交，且交點為 P，如圖(2)所示，則 P 也是直線 m 與平面 α 的交點，這與條件 m//α 相矛盾.所以 m//n.于是，有下面的結論：
直線與平面平行的性質定理如果一條直線和一個
平面平行，那么經過這條直線的任一平面和這個平面的交
說明強調
領會要點
反證法提升邏輯推理核
心素
線與這條直線平行.
養(yǎng)
例 3 已知 n //m，m//α，n? α，求證：n //α.
證明 過直線 n 作平面 β 交平面 α 于直線 l，如圖所示.
因為 m//α，根據直線與平面平行的性質定理，可知 m//l .又 m //n，故 n//l.
根據直線與平面平行的判定定理，由 n?l，l?α，可知
n //α.
提問
思考
鞏固
引導
分析
定
理，
講解
解決
引導
典型
強調
交流
學生
例題
指導
主動
作輔
助平
求解
面解
決問
題
鞏固練習
練習 4.3.1
1. 判斷下列命題的真假,并說明理由.
如果 m//n，n?α，那么 m//α；
如果 m//n，m?α，那么 m//α；
提問
思考
及時掌握學生
如果 m//α，n?α，那么 m//n;
如果 m//α，m?β，α∩β=n，那么 m//n.
2. 填空題.
如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面有個公共點；
如果一條直線與一個平面有兩個公共點，那么它們的位置關系是，此時直線與平面面共有個公共點：
如果一條直線與一個平面相交，那么它們有個公共點；
如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與平面內的條直線平行.
如圖所示，四面體 ABCD 中，點 E、F 分別是 AB、
AD 上的點，且 AE= 1 AB，AF= 1 AD.
33
求證：EF∥平面 ECD.
已知正方體 ABCD-A1B1C1D1.求證：
CD∥平面 A1C1；
A1C1∥平面 AC.
5. 某中職學校機械加工技術專業(yè)學生在加工長方體 ABCD-A1B1C1D1 形狀的零件時，如圖所示，需要沿著由上底面 A1C1 上的點 E 與棱 AD 確定的平面將零件切開.切削前需在長方體相應的面上畫出輪廓線，試問該怎樣畫這個輪廓線？經過點 E 所畫的直線與底面 AC 是什么位置關系？
巡視
動手
掌握
求解
情況
查漏
補缺
指導
交流
4.3.2 直線與平面垂直
某型號無人機如圖所示，其每根螺旋槳(如 BC)與旋轉軸 AB 均垂直，垂足是B.設螺旋槳旋轉時構成的平面為 α，顯然，無人機的每根螺旋槳都在平面 α
內.試問，平面 α 與旋軸 AB 之間有怎樣的位置關系？
提出
思考
從線
問題
面垂
引發(fā)
分析
直概
情境
思考
回答
念的
導入
的形
成過
程引
入
探索新知
容易看出，平面 α 內經過點 B 的螺旋槳所在直線都與旋轉軸 AB 垂直.對于平面 α 內不過點 B 的任意一條直線，它一定與平面 α 內過點 B 的某條直線平行.由異面直線所成角的定義可知，這條直線也與旋轉軸 AB 垂直.因此，平面 α 內的每一條直線都與 AB 垂直.
據此，有如下定義：
如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面互相垂直.這條直線稱為這個平面的垂線，這個平面稱為這條直線的垂面，直線與平面的交點稱為垂足.直線 l 與平面 α 垂直記作 l ⊥α.
如圖所示，若 l⊥α，m?α，根據直線與平面垂直的定義可知 l⊥m.這是利用“直線與平面垂直”推出“直線與直線垂直”的主要方法.
在日常生活和生產中，常常需要判斷直線與平面的垂直關系.例如，國旗的旗桿與地面垂直、建筑的立柱與地面垂直等.但是，判斷直線與平面內每一條直線都垂直是很難做到的.
經過觀察研究，人們發(fā)現以下判定直線與平面垂直的方法：
直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直.如圖所示，若 m、n 是平面 α 內的兩條相交直線，且
直線 l⊥m，l⊥n，則 l⊥α.
講解
說明
展示圖像引發(fā)思考
理解
領會
觀察圖像分析問題
通過 “線線垂直”來說明 “線面垂直”
利用三角形全等的證明過程較為復 雜，教材對判定定理未作證明
典型例題
例 4四個面都是正三角形的四面體稱為正四面體.已知正四面體 ABCD，如圖所示.求證：BD⊥AC.
證明 設 BD 的中點為 O，連接 AO 、CO.
因為正四面體 ABCD 的四個面都是正三角形，所以
提問引導
講解強調
指導
思考分析
解決交流
主動求解
例 4引導學生認識在空間怎樣通過作輔助線來建立輔助
AO⊥BD，CO ⊥BD.
又 AO∩CO=O，且 AO、CO ?平面 AOC，故 BD⊥平面 AOC.
根據直線與平面垂直的定義，由 AC ?平面 AOC，可知 BD⊥AC.
例 5 證明: 如果兩條平行線中有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
已知: m∥n，m⊥α，如圖所示.
求證: n⊥α.
證明 在平面 α 內任取兩條相交直線 c 和 d ，因為 m⊥ α,c?α，d ? α，所以 m⊥c，m⊥d. 又 m∥n，故 n⊥c， n⊥d，根據直線與平面垂直的判定定理，由 c 與 d 相交， n⊥α.
溫馨提示
例 5 是直線與平面垂直的另一個判定定理.
可以證明，例 5 中所述命題的逆命題也成立.如圖所示若 m⊥α，n⊥α，則 m∥n.
直線與平面垂直的性質定理如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.
根據該定理可以證明：
在空間中經過一點有且只有一條直線與已知平面垂
直.
面
例 5鞏固線面垂直判定定理的同時，介紹了線面垂直的另一種判定方法，可以看作線面垂直第二判定定理
典型例題
例 6 如圖所示，已知一條直線 l 和平面 α 平行，過直線 l上任意兩點 A、B 分別引平面 α 的垂線 AA'、BB'，垂足分別為 A'、B'. 求證: AA'=BB'.
提問引導
講解強調
指導分析
思考分析
解決交流
主動求解
例 6為學有余力學生思考 “線面平
行”
證明 因為 AA'⊥α，BB'⊥α，所以 AA'∥ BB'.
設經過直線 AA'、BB'的平面為 β，則 β∩α=A'B'.
由 l∥α，可知 l∥A'B' ，因此四邊形 AA'B'B 為平行四邊形，所以 AA'=BB'.
距離打下基礎
鞏固練習
練習 4.3.2
1.判斷下列命題的真假.
如果直線 m 垂直于平面 α 內的無數條直線，那么
m⊥α；
如果 l⊥m，且 m?α，n?α，那么 l⊥α；
如果 l⊥α，m⊥α，那么 l⊥m.
已知如圖，PO⊥α，垂直為 O， PA∩α=A，m?α，且 m⊥OA.求證: m⊥PA.
如果 l⊥α，m//α，求證: l⊥m.
己知線段 AB、CD 位于平面 α 的同側，AB ⊥α，
DC⊥α，垂足分別為 B、C，AB=DC.求證: AD=BC.
某中職學校建設新校區(qū)時，修建了升旗臺，用于開展愛國主義教育活動.技術人員在安裝旗桿時，要保證旗桿與地面垂直.請你幫忙設計一個方案以確保旗桿與地 面
垂直.
提問
巡視
指導
思考
動手求解
交流
及時掌握學生掌握情況查漏補缺
情境導入
4.3.3 直線與平面所成的角
我國是擁有斜拉索橋最多的國家.斜拉索橋是大跨度橋梁的主要橋型，依靠若干斜拉將梁體重量和橋面載荷傳至橋塔、橋墩.斜拉索安裝位置的設計是斜拉索橋設計的重要內容.如圖所示，斜拉索 AC 所在的直線與橋面所在的平面口相交，但是它們并不垂直.不同斜拉索相對于橋面的傾斜程度是不同的,如何描述這種不同呢？
提出問題
引發(fā)思考
觀察思考
交流回答
感受直線與平面所成角的情況，
透課程思政
探索新知
如果直線與平面相交但不垂直,就稱直線是平面的斜線.斜線與平面的交點稱為斜足,經過斜線上不是斜足的一點作平面的垂線,連接垂足與斜足的直線稱為斜線在這個平面上的射影.
如圖所示，直線 m 是平面 α 的斜線，點 P 為斜足， A∈m 且 AB⊥α,垂足為 B,則 BP 是斜線 m 在平面 α 內的射影.顯然, 直線 AP 與射影 BP 所成的角 θ 反映了斜線相
對于平面的傾斜程度.
講解
說明
理解
思考
將 “線
面”問題轉化為 “線
線”
一般地,平面的一條斜線與它在該平面上的射影所成的角,稱為這條斜線與這個平面所成的角.
規(guī)定:當直線在平面內或直線與平面平行時,它與平面所成的角是 0;當直線與平面垂直時,它與平面所成的角
????
為 于是,直線與平面所成的角的范圍為?0， ? .
2?2 ?
展示圖像幫助思考
講解強調
觀察圖像理解要點
學習領會
問 題， “降
維”解決
典型例題
例 7 如圖所示,正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 a.
找出 BC1 在底面 ABCD 上的射影；
求 BC1 與底面 ABCD 所成角的大?。?br>求 BD1 與底面 ABCD 所成角的正切值.
解 (1)因為正方體ABCD-A1B1C1D1 的各個面都是正方形，所以 CC1⊥DC，CC1⊥BC，且 DC∩BC=C，從而， CC1⊥平面 ABCD 且垂足為 C.
又 BC1∩平面 ABCD=B，故 BC 是 BC1 在平面 ABCD 上的射影.
由(1)知，BC1 與底面 ABCD 所成的角是∠C1BC.因
?
為 BC1 是正方形 BCC1B1 的對角線，所以∠C1BC= .于是，
4
?
BC1 與底面 ABCD 所成角為 .
4
在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，因為 DD1⊥AD， DD1⊥DC，且 AD∩DC=D，所以 DD1⊥底面 ABCD，從而 BD 是 BD1 在平面 ABCD 上的射影，且 DD1⊥BD.
因為 DD1=a，BD= 2 a，所以 tanD1BD= DD1 ?2 ，
BD2
即 BD1 與底面 ABCD 所成角的正切值是 2 .
2
例 8 中國于 2015 年實現了“無電地區(qū)人口全部用上電”的目標. 如圖所示，為防止電桿傾斜.工作人員用一根鋼絲繩作牽拉繩.受周圍環(huán)境影響，牽拉繩接地點 A 到電桿與地面的交點 C 的距離是 2.5m. 若牽拉繩與水平地面所成
提問引導
講解強調
指導分析
提問引導
思考分析
解決交流
主動求解
思考分析
例 7在學生熟悉的正方體中習得線面所成角的概念及求法，歸納出求線面所成角的三個基本步 驟： “找
”、
“證
”、
“求
”
例 8是線面所
成角
的角為 60°.求牽拉繩與電桿的連接處點 B 到點 C 的距離.解 由題意可知電桿與地面是垂直
的，所以 BC⊥AC，且 AC 是 AB 在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.
在RtΔABC 中，因為 AC=2.5m，所以 BC=ACtan∠BAC=
2.5tan60°= 5 ? 3= 5 3 (m) .
22
因此，牽拉繩與電桿的連接處點 B 到點 C 的距離是
5 3 m .
2
講解強調
指導分析
解決交流
主動求解
在實際生活中的應用，同時實施課程思政
鞏固練習
練習 4.3.3
觀察教室墻面，從中找出直線與平面之間三種位置關系的情形.
畫出符合下列描述的一個圖形，并用符號表示出
來.
直線 l 與平面 α 平行，直線 m 在平面 α 內；
點 M 在直線 l 上，且在平面 β 內，l 不在平面 β 內；
直線 AB 與平面 γ 相交于點 A，直線 BC 垂直于平面 γ，且垂足為 C.
在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中, 找出對角線 AC1 分別在六個面上的射影.
己知 AB∩α=A, 線段 AB 的長是它在平面 α 上射影的 2 倍, 求直線 AB 與平面 α 所成的角的大小.
在長正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，求：
AD1 與平面 ABCD 所成的角的大小；
AC1 與平面 BCC1B1 所成的角的正切值.
提問
巡視
指導
思考
動手求解
交流
及時掌握學生掌握情況查漏補缺
歸納總結
引導提問
回憶反思
培養(yǎng)學生總結學習過程能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習題和《學習指導與練習》；
查漏補缺：根據個人情況對課堂學習復習與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內容.
說明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學習

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4.3.1 直線與平面平行

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