5.1 復(fù)數(shù)的概念和意義
很久以前,人們認為一元二次方程x2+1=0?是無解的.但是,隨著對數(shù)系的深人研究,人們逐漸意識到應(yīng)該存在一個數(shù),它就是該方程的解.
5.1.1 復(fù)數(shù)的概念
? 依照引入負數(shù),使方程x+1=0有解的方法,是否可以引入一個數(shù)使方程x2+1=0有解呢？
假設(shè)有一個數(shù)是方程x2+1=0的解,那么這個數(shù)的平方應(yīng)該等于-1. 這個數(shù)不在實數(shù)集內(nèi). 為此,人們引人了一個新的數(shù),記作i,稱為虛數(shù)單位.?
既然i是一個數(shù),那么它與實數(shù)就可以進行運算.實數(shù)b與i的乘積寫成?bi,實數(shù)a與bi的和寫成a+bi.?
把形如a+bi (a、b∈R)的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中a稱為復(fù)數(shù)的實部, b稱為復(fù)數(shù)的虛部.?
復(fù)數(shù)通常用小寫英文字母z、w……表示,如z=a+bi.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集,用C表示,即C={z|z= a+bi,a,b∈R}.?
當b=0時,復(fù)數(shù)a+bi就是實數(shù); 當b≠0時,復(fù)數(shù)a+bi稱為虛數(shù); 當a=0且b≠0時,復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù).
全體虛數(shù)構(gòu)成的集合稱為虛數(shù)集,全體純虛數(shù)構(gòu)成的集合稱為純虛數(shù)集,它們與實數(shù)集、復(fù)數(shù)集之間具有怎樣的關(guān)系？
復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系可以用下圖表示.
例1 指出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部,并判斷這些復(fù)數(shù)是實數(shù)還是虛數(shù).若是虛數(shù),判斷其是否為純虛數(shù). （1）2；（2）3-i；（3）5i；
（1）復(fù)數(shù)2的實部是2,虛部是0,它是實數(shù)；?（2）復(fù)數(shù)?3-i的實部是3,虛部是-1,它是虛數(shù),不是純虛數(shù)；?（3）復(fù)數(shù)5i?的實部是?0,虛部是5,它是虛數(shù),而且是純虛數(shù).?
如果兩個復(fù)數(shù)a+bi與c+di的實部與虛部分別相等,就稱這兩個復(fù)數(shù)相等，記作 a+bi=c+di. 即,如果a、b、c、d都是實數(shù),那么 a+bi=c+di? a=c且b=d. 特別地, a+bi=0 ? a=0且b=0.
從兩個復(fù)數(shù)相等的定義可知,復(fù)數(shù)a+bi與有序?qū)崝?shù)對(a,b)之間是一一對應(yīng)的.
例2 求滿足下列條件的實數(shù)a和b. （1）(a+2b)-i=6a+(a-b)i；
例2 求滿足下列條件的實數(shù)a和b. （2）(a+b+1)+(a-b+2)i=0.
1.?寫出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部.
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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）電子課本

5.1.1 復(fù)數(shù)的概念

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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