【考點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系判斷】
【考點(diǎn)2 根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參】
【考點(diǎn)3直線與橢圓相切的應(yīng)用】
【考點(diǎn)4 直線與橢圓相交弦長問題】
【考點(diǎn)5 直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷】
【考點(diǎn)6 根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求參】
【考點(diǎn)7 直線與雙曲線相交弦長問題】】
【考點(diǎn)8 直線與拋物線的位置關(guān)系】
【考點(diǎn)9 拋物線的焦點(diǎn)弦及應(yīng)用】
【考點(diǎn)10直線與拋物線的相交弦長問題】
知識點(diǎn)1 直線與橢圓的位置關(guān)系
1、直線與橢圓的位置判斷
設(shè)直線方程為，橢圓方程為
聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程
①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)(或兩個公共點(diǎn)）；
②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)(或一個公共點(diǎn))；
③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．
2、直線與橢圓相交的弦長公式
（1）定義：連接橢圓上兩個點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．
（2）求弦長的方法
= 1 \* GB3 ①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．
= 2 \* GB3 ②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則弦長公式為：
知識點(diǎn)2 直線與雙曲線的位置關(guān)系
1、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷
將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程
，
（1）當(dāng)，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)；
（2）當(dāng)，即，設(shè)該一元二次方程的判別式為，
若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點(diǎn)；
若，直線與雙曲線相切，有一個公共點(diǎn)；
若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；
注意：直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切.
2、直線與雙曲線弦長求法
若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，
則或（）．（具體同橢圓相同）
知識點(diǎn)3 直線與拋物線的位置關(guān)系
1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況
相交（有兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)）；相切（有一個公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）.
2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：
（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，
若，直線與拋物線有兩個交點(diǎn)；
若，直線與拋物線有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；
若，直線與拋物線沒有交點(diǎn).
（2）直線的斜率存在.
設(shè)直線，拋物線，
直線與拋物線的交點(diǎn)的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，
即二次方程（或）解的個數(shù).
①若，
則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn).
②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點(diǎn).
3、直線與拋物線相交弦長問題
（1）一般弦長
設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為.
= 1 \* GB3 ①弦長公式：（為直線的斜率，且）.
= 2 \* GB3 ②,
推導(dǎo)：由題意，知，① ②
由①-②，得，故，即.
= 3 \* GB3 ③直線的方程為.
（2）焦點(diǎn)弦長
如圖，是拋物線過焦點(diǎn)的一條弦，
設(shè)，，的中點(diǎn)，
過點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，
根據(jù)拋物線的定義有，，
故.
又因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，
從而有下列結(jié)論；
= 1 \* GB3 ①以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.
= 2 \* GB3 ②(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系)
= 3 \* GB3 ③.
= 4 \* GB3 ④若直線的傾斜角為，則.
= 5 \* GB3 ⑤，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.
= 6 \* GB3 ⑥為定值.
【考點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系判斷】
【典例1】已知兩定點(diǎn)M?1,0，N1,0，直線l：y=?2x+3，在l上滿足PM+PN=4的點(diǎn)P有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【變式1-1】直線xa+yb=1與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
【變式1-2】若直線ax+by?1=0與圓O:x2+y2=1相離，則過點(diǎn)Pa,b的直線與橢圓y26+x25=1的交點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．0或1B．0C．1D．2
【變式1-3】直線y=kx+1?k與橢圓x29+y23=1的公共點(diǎn)個數(shù)為 ．
【考點(diǎn)2 根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系求參】
【典例2】設(shè)橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦AB與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，AC:CD:DB=1:2:2，若直線AB的斜率k>0，則k的取值范圍是（ ）
A．0,33B．33,1C．0,22D．22,1
【變式2-1】已知橢圓C:x2+y22=1，直線l:y=x+m，若橢圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則m的取值范圍是（ ）
A．?23,23B．?24,24C．?33,33D．?34,34
【變式2-2】直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A．m>1B．m>0
C．m≥1且m≠5D．0b>0)的離心率為12，上?下頂點(diǎn)與其中一個焦點(diǎn)圍成的三角形面積為3，過點(diǎn)P?4,?3作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求AB所在直線的方程；
(3)過點(diǎn)P作直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)Q，求PQPM+PQPN的值.
【變式3-2】已知橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F，C在點(diǎn)Px0,y0y0≠0處的切線l分別交直線x=1和直線x=2于M,N兩點(diǎn)．
(1)求證：直線x0x+2y0y?2=0與C相切；
(2)探究：MFNF是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【變式3-3】已知直線y=ax(a>0)與橢圓C:x24+y23=1相交于點(diǎn)P,Q，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，F(xiàn)1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．
(1)設(shè)點(diǎn)Q到直線PF1,PF2的距離分別為d1,d2，求d1d2的取值范圍；
(2)已知橢圓C在點(diǎn)Px0,y0處的切線為l．
（i）求證：切線l的方程為x0x4+y0y3=1；
（ii）設(shè)射線QF1交l于點(diǎn)R，求證：△F1RP為等腰三角形．
【考點(diǎn)4 直線與橢圓相交弦長問題】
【典例4】已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為55，焦距為2．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓的左焦點(diǎn)F1，且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．
【變式4-1】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率e=22，短軸長為23．若直線l與C在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別相交于M,N兩點(diǎn)，MA=NB，且S△MNO=22，則AB= ．
【變式4-2】已知橢圓C:x24+y2=1的左焦點(diǎn)為F，直線l與圓M:x2+y2=1相切于點(diǎn)P，且與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，B在第四象限．
(1)求AB的最小值；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠ABF=2∠AOP，求l的方程．
【變式4-3】已知橢圓C:x28+y24=1，點(diǎn)N0,1，斜率不為0的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B，與圓N相切且切點(diǎn)為M,M為AB中點(diǎn).
(1)求圓N的半徑r的取值范圍；
(2)求AB的取值范圍.
【考點(diǎn)5 直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷】
【典例5】已知雙曲線E:x24?y25=1，則過點(diǎn)2,5與E有且只有一個公共點(diǎn)的直線共有（ ）
A．4條B．3條C．2條D．1條
【變式5-1】已知點(diǎn)P1,2和雙曲線C:x2?y24=1，過點(diǎn)P且與雙曲線C只有一個公共點(diǎn)的直線有（ ）
A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條
【變式5-2】多選題若直線l與雙曲線x23?y215=1的左、右兩支各有一個交點(diǎn)，則l的方程可以是（ ）
A．y=5x+1B．y=x+1C．y=3xD．y=2x+2?1
【考點(diǎn)6 根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求參】
【典例6】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為2,0，過點(diǎn)3,1.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線y=kx?1與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值.
【變式6-1】若直線y=kx+2與雙曲線x2?y2=1的左、右兩支各有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
【變式6-2】直線y=kx+1與雙曲線4x2?y2=16只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為 ．
【考點(diǎn)7 直線與雙曲線相交弦長問題】
【典例7】已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)過點(diǎn)P2,3，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為3．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，滿足AB=6，求直線l的方程．
【變式7-1】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的兩焦點(diǎn)之間的距離為4，離心率為2，直線l經(jīng)過雙曲線C在x軸上的右焦點(diǎn)，且與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求線段AB的長度．
【變式7-2】已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與圓O:x2+y2=1相切，且C的漸近線方程為y=±3x.
(1)求C的方程；
(2)若C的右頂點(diǎn)為P，過C的右焦點(diǎn)的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，且PA?PB=4，求AB.
【變式7-3】過雙曲線x2－y23=1的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為π6的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則AB＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考點(diǎn)8 直線與拋物線的位置關(guān)系】
【典例8】已知拋物線C:y2=mx(m>0)的焦點(diǎn)為F，以F和C的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長為433的等邊三角形．
(1)求C的方程；
(2)討論過點(diǎn)?2,1的直線l與C的交點(diǎn)個數(shù)．
【變式8-1】過點(diǎn)1,4且與拋物線y2=4x恰有一個公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【變式8-2】對于拋物線C:y2=4x，若點(diǎn)x0,y0滿足y020,b>0的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于8，則b=（ ）
A．2B．2C．22D．4
2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P是C上一點(diǎn)且位于y軸右側(cè)，直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為4的直角三角形，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．y29+x24=1B．x29+y24=1C．x216+y24=1.D．x216+y29=1
3．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知P是雙曲線x216a2?y29a2=1a>0上的點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是其左?右焦點(diǎn)，且PF1?PF2=0.若△PF1F2的面積為18，則a=（ ）
A．2B．22C．2D．3
4．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）如圖所示，P是雙曲線x24?y25=1右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為其左?右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，圓C是△PF1F2的內(nèi)切圓，設(shè)圓與PF1,PF2分別切于點(diǎn)D,E，當(dāng)圓C的面積為3π時(shí)，直線PF2的斜率為（ ）
A．5311B．32C．233D．3
5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）若方程x2k?1+y2k?4=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．k4
C．10的左?右焦點(diǎn)分別是F1和F2，若在其漸近線上存在一點(diǎn)P，滿足PF1?PF2=2b，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．1,2B．2,2C．2,3D．2,3
8．（24-25高二上·福建泉州·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿足F1F2=PF1=2c，F(xiàn)2P=a，線段F2P與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若F2P=5F2Q，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．3B．233C．52D．102
9．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習(xí)）公元前 300 年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值， 則這個比值即為“黃金分割比”， 把離心率為 “黃金分割比” 倒數(shù)的雙曲線叫做 “黃金雙曲線”． 黃金雙曲線 E:x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的一個頂點(diǎn)為A，與A不在y軸同側(cè)的焦點(diǎn)為F，E的一個虛軸端點(diǎn)為B，PQ為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且斜率存在的弦， M為PQ中點(diǎn)． 設(shè)雙曲線E的離心率為e， 則下列說法中，錯誤的有（ ）
A．e=5+12B．|OA||OF|=|OB|2
C．kOM?kPQ=eD．若OP⊥OQ， 則1|OP|2+1|OQ|2=e恒成立
10．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知雙曲線x2a2?y2b2=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的一個交點(diǎn)為M，且有tan∠MF1F2=12，則雙曲線的離心率（ ）
A．2B．3C．2D．5
二、填空題
11．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1與動直線x=mm∈R相交于點(diǎn)M，N，若存在m，使得△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為等邊三角形，則雙曲線C的離心率的取值范圍為 .
12．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A1,y1，B4,y2 y1>0,y20,b>0的左、右兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上任意一點(diǎn)且滿足P點(diǎn)到F1的距離與P點(diǎn)到直線x=a2c的距離之比為2，則雙曲線C的漸近線方程為 .
14．（21-22高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知P是雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是54，且PF1?PF2=0，若△PF1F2的面積為9，則a+b的值為 .
15．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線x24?y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M3,32，則直線l的方程為 .
三、解答題
16．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知F為橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)，橢圓C過點(diǎn)P2,2，且直線PF的斜率為24.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2在橢圓C上，且∠MFN=90°，過M，N分別作橢圓C的切線l1，l2，l1與l2相交于點(diǎn)Q.求點(diǎn)Q的軌跡方程；
17．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為32，點(diǎn)A3,52在C上，F(xiàn)是C的右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)不過點(diǎn)A的直線l與C交于兩個不同的點(diǎn)M,N，若直線AM和AN的斜率之和為3.
（i）求證：l經(jīng)過定點(diǎn)B；
（ii）若線段BF的中點(diǎn)為D，直線MD交直線AF于點(diǎn)E，求證：NE⊥y軸.
18．（24-25高三上·重慶·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F2,0，漸近線方程為y=±3x.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)直線l與雙曲線C、圓O:x2+y2=r2相切，切點(diǎn)分別為A,B，與漸近線相交于M,N.兩點(diǎn).
（i）證明：OM?ON為定值；
（ii）若AB=2r，求直線l的方程.
19．（24-25高二·全國·假期作業(yè)）已知焦點(diǎn)為F的拋物線Γ:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2（異于原點(diǎn)O）．
(1)若x1+x2=2且y1+y2=?2，求直線AB的方程；
(2)若OA⊥OB，求線段AB的最小值；
(3)若點(diǎn)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求cs∠AOB的取值范圍．

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專題13 空間向量與立體幾何（八大題型8大易錯題）（題型 易錯）講練-備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn) 方法總結(jié)（新高考通用）

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素養(yǎng)拓展36 圓錐曲線與向量交匯問題（精講+精練）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

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第16講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（精講）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

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