專題13 空間向量與立體幾何（八大題型8大易錯(cuò)題）（題型易錯(cuò)）講練-備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn) 方法總結(jié)（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【題型1 用基向量表示指定向量的方法】
1．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）如圖在三棱錐P?ABC 中，M是AB的中點(diǎn)，若PA=a，PB=b，PC=c，則下列向量中與CM相等的向量是（）
A．12a+12b?cB．?a?b+c
C．?12a?12b+cD．a(chǎn)+b?c
2．（24-25高二上·海南·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)棱OA上，且ON=2NA，則MN=（）
A．?23a+12b+12cB．23a?12b?12c
C．12a+12b?12cD．?12a?23b+12c
3．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=23OA，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則MN等于（）

A．12a+12b?12cB．?23a+12b+12c
C．23a+23b?12cD．?23a+23b?12c
4．（24-25高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，三棱錐O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足ON=2NA，則MN=（）
A．12a?13b?23cB．12a?13b+23c
C．23a?12b?12cD．?12a?23b+12c
【題型2 三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的問題】
5．（24-25高二上·四川·期末）已知向量a=2,?1,?3，b=λ,2,μ，若a，b共線，則λ?μ=（）
A．?2B．2C．?10D．10
6．（24-25高二上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1?e2，且A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）
A．?2B．?4C．?8D．8
7．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）若a,b,c構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）
A．a(chǎn)→+b→，c→，a+b+c，B．a(chǎn)?c，a，a+c
C．b+c，b，c?bD．a(chǎn)+b，b+c，c+a
8．（24-25高二上·貴州六盤水·期末）已知向量OM=2,1,2,ON=?2,1,1,OP=8,6,λ，若O,M,N,P四點(diǎn)共面，則向量OP在OM上的投影向量的模為（）
A．12B．223C．449D．443
9．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知三個(gè)向量a=1,1,0,b=?1,0,2,c=x,2,5共面，則x=（）
A．?92B．92C．?12D．12
10．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）O為空間任意一點(diǎn)，若OP=34OA+18OB+tOC，若A,B,C,P四點(diǎn)共面，則t=（）
A．1B．12C．18D．14
【題型3 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】
11．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AC∩BD=O，D1O∩B1D=P，則直線PA與直線PB夾角的余弦值為（）
A．66B．33C．55D．22
12．（24-25高二上·貴州貴陽·期中）若a=?1,2,1,b=1,2,3，則a+b?2a?b=（）
A．4B．5C．21D．26
13．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則BA?CE=（）
A．14B．?14C．34D．?34
14．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0，且|a|=2,|b|=3,|c|=4，則cs?a,b?=（）
A．12B．22C．32D．14
15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，則csOA,BC的值是（）
A．12B．22C．?12D．0
16．（24-25高二上·安徽黃山·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1,AC1=4,AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=π3，則∠BAD=（）
A．π3B．2π3C．π4D．π2
【題型4 利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系】
17．（20-21高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點(diǎn)．
(1)求證：BM∥平面ADEF；
(2)求證：BC⊥平面BDE.
18．（23-24高二上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G分別是棱AB,BC,CD的中點(diǎn).
(1)證明：EF ∥ A1C1；
(2)證明：A1F⊥C1E；
19．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是矩形，且AB=4，AD=3．側(cè)面PBC是面積為152的直角三角形，其中BC⊥BP．點(diǎn)E,F分別為線段AB,PC的中點(diǎn)，連接EF．
(1)證明：直線EF//平面PAD；
(2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．
【題型5 用向量法求異面直線所成角】
20．（23-24高二上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC，AA1=AC=22，點(diǎn)E為棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BC上的一點(diǎn)，且BF=3FC，則直線AE與C1F所成角的余弦值為（）
A．1699B．3299C．83399D．163399
21．（24-25高二上·遼寧大連·期中）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，CF=12CC1，則異面直線EF與B1D1所成角的余弦值為（）
A．23B．36C．12D．42121
22．（24-25高三上·吉林·期末）正三棱臺(tái)ABC?DEF中，AB=2AD=2DE，G，H分別為AB，DE的中點(diǎn)，則異面直線GH，BF所成角的余弦值為（）
A．?14B．14C．23D．?23
23．（24-25高二上·四川成都·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠A1AD=∠A1AB=π3，∠BAD=π2，則異面直線AC1與BB1所成角的余弦值為（）
A．12B．23C．255D．31010
24．（24-25高二上·廣東東莞·期中）若空間中三個(gè)點(diǎn)A?1,0,0,B0,1,?1,C?2,?1,2，則直線AB與直線AC夾角的余弦值是（）
A．?223B．223C．?13D．13
【題型6 用向量法求解直線與平面所成角】
25．（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AB⊥AD，AB=BC=CD=AD=PA=PD=2，點(diǎn)E是線段PA的中點(diǎn)．
(1)求異面直線CE與PB所成角的余弦值；
(2)求直線PA與平面BCE所成角的正弦值．
26．（24-25高二上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：PO⊥平面ABC；
(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M?PA?C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．
27．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）在圖1的直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=BC=2，DC=3，點(diǎn)E是DC邊上靠近于點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，AC交BE于點(diǎn)F，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且AC1=6，如圖2.
(1)求四棱錐C1?ABED的體積V；
(2)求C1B與平面C1AD所成角的正弦值.
【題型7 利用向量法解二面角問題】
28．（2024·浙江溫州·一模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC1⊥平面ABC，AC1⊥平面BCC1B1.
(1)求證：BC1⊥BC；
(2)若二面角A?A1C1?B1的正弦值為53，且AB=2BC=2，求AC1.
29．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD為正方形，E為棱PD的中點(diǎn)，O為邊AB的中點(diǎn).
(1)求證：AE//平面POC；
(2)若側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=π3，AB=2PA=4，求二面角P?BD?A的余弦值.
30．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面B1C1CB⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，B1C1=CC1=2，∠BCC1=120°.
(1)求棱錐B?ACC1的體積；
(2)若D為棱A1C1的中點(diǎn)，求二面角A?B1D?C的正弦值.
【題型8 利用空間向量求空間距離】
31．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,AB1//平面CDD1C1,AD //BC,AB=AD=CD=2AA1=2A1B1=2.
(1)求證：AD=B1C1；
(2)求平面CDD1C1與平面BAA1B1所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)A關(guān)于平面A1BC的對(duì)稱點(diǎn)M到平面CDD1C1的距離.
32．（24-25高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且BC=22,AB=2,∠ABC=45°，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=BC.
(1)求證：平面PAB⊥平面PAC；
(2)點(diǎn)Q是棱PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，求直線AD與平面BDQ所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)C到平面BDQ的距離.
33．（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
(1)求證：PA//面EDB；
(2)求平面CPB與平面PBD的夾角的大?。?br>(3)求點(diǎn)B到平面EFD的距離．
34．（24-25高二上·廣西河池·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，且PA=2，AB=BC=2，AD=CD=5，E為PC中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)C到平面EAD的距離；
(2)求平面PBC與平面EAD夾角的正弦值．

1．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點(diǎn)，則異面直線BE，CF所成角的余弦值為（）
A．16B．13C．12D．59
2．（24-25高二上·廣西玉林·期中）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，AA1=2,AB=2，則點(diǎn)C到直線AB1的距離為（）
A．63B．233C．303D．153
3．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Q1,2,3，平面α=P∣n?PQ=0，其中n=2,?1,2，則點(diǎn)A?1,0,1到平面α的距離是（）
A．53B．73C．2D．3
4．（2023·上海嘉定·一模）正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1,AB=3,A1B1=1,AA1=2,M是C1D1的中點(diǎn)，在直線AA1、BC上各取一個(gè)點(diǎn)P、Q，使得M、P、Q三點(diǎn)共線，則線段PQ的長(zhǎng)度為．
5．（24-25高二上·天津·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC， AB⊥AD， PA=4,AB=AD=12BC=2,，E為棱BC上的點(diǎn)，且 BE=14BC.

(1)求證: DE⊥平面APC；
(2)求平面APC與平面PCD所成夾角的正弦值.
6．（24-25高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=AB1=2．AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)．
(1)證明：AC⊥B1C1；
(2)求A1D與平面BB1C1C所成角的正弦值．
7．（24-25高二上·河南駐馬店·期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D，E分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，AB=BC=5，AC=AA1=2.
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)C到平面ABE的距離.
8．（24-25高二上·遼寧大連·期中）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓O的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為3，E在母線PC上，且AE=3，CE=1，EC⊥BD.

(1)求證：平面BED⊥平面ABD；
(2)求二面角E?AB?D的余弦值.
(3)設(shè)線段PO上動(dòng)點(diǎn)為M，求直線DM與平面ABE所成角的正弦值的最大值.

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