一．選擇題（共2小題）
1．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項和，若，，則
A．120B．85C．D．
2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二．解答題（共2小題）
3．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：當時，．
4．（2023?新高考Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項和．
（1）若，，求的通項公式；
（2）若為等差數(shù)列，且，求．
三、考點清單
一．等差數(shù)列的性質
等差數(shù)列
如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）
等差數(shù)列的性質
（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；
（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；
（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有
as+at＝2ap；
（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．
（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．
二．等差數(shù)列的通項公式
等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項a1，公差d，那么第n項為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為am，則第n項為an＝am+（n﹣m）d．
三．等差數(shù)列的前n項和
等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
四．等比數(shù)列的性質
等比數(shù)列
（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 時，an為常數(shù)列．
等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項公式其實就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．
等比數(shù)列的性質
（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則 ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．
五．等比數(shù)列的通項公式
1．等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．
2．等比數(shù)列的通項公式
設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣1
3．等比中項：
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項． G2＝a?b （ab≠0）
4．等比數(shù)列的常用性質
（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則 ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．
六．等比數(shù)列的前n項和
1．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項和為Sn，
當q＝1時，Sn＝na1；
當q≠1時，Sn＝＝．
2．等比數(shù)列前n項和的性質
公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．
七．數(shù)列的應用
1、數(shù)列與函數(shù)的綜合
2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
3、數(shù)列的實際應用
數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結合．
八．數(shù)列的求和
就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比數(shù)列前n項和公式：
③幾個常用數(shù)列的求和公式：
（2）錯位相減法：
適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．
（3）裂項相消法：
適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．
（5）分組求和法：
有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．
九．數(shù)列遞推式
1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an＝．
在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．
（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．
【解題方法點撥】
數(shù)列的通項的求法：
（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含 或 的關系式，然后再求解．
（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數(shù)列）．特別地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．
②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．
（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明．
十．數(shù)列與函數(shù)的綜合
數(shù)列的函數(shù)特性：
等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉化思想等數(shù)學思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．
【解題方法點撥】
1．在解決有關數(shù)列的具體應用問題時：
（1）要讀懂題意，理解實際背景，領悟其數(shù)學實質，舍棄與解題無關的非本質性東西；
（2）準確地歸納其中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型；
（3）根據(jù)所建立的數(shù)學模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學模型的結果；
（4）最后再回到實際問題中去，從而得到答案．
2．在求數(shù)列的相關和時，要注意以下幾個方面的問題：
（1）直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程．
（2）注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉化為基本數(shù)列求和．
（3）求一般數(shù)列的前n項和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項和的求法，觸類旁通．
3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項公式（尤其是在處理客觀題目時）時，要注意適當?shù)馗鶕?jù)具體問題多計算相應的數(shù)列的前幾項，否則會因為所計算的數(shù)列的項數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項公式，從而得到錯誤的結論．
十一．數(shù)列與不等式的綜合
證明與數(shù)列求和有關的不等式基本方法：
（1）直接將數(shù)列求和后放縮；
（2）先將通項放縮后求和；
（3）先將通項放縮后求和再放縮；
（4）嘗試用數(shù)學歸納法證明．
常用的放縮方法有：
，，，
＝[]
﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），
＜＝（）（n≥2），
，
2（）＝＜＝＜＝2（）．
…+≥…+＝＝＜．
【解題方法點撥】
證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材．這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：
（1）添加或舍去一些項，如：＞|a|；＞n；
（2）將分子或分母放大（或縮?。?br>（3）利用基本不等式；＜；
（4）二項式放縮；
（5）利用常用結論；
（6）利用函數(shù)單調性．
（7）常見模型：
①等差模型；②等比模型；③錯位相減模型；④裂項相消模型；⑤二項式定理模型；⑥基本不等式模型．
十二．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
1、等差數(shù)列的性質
（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；
（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；
（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有
as+at＝2ap；
（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．
（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．
2、等比數(shù)列的性質．
（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣ m ，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則 ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．
十三．數(shù)列與三角函數(shù)的綜合
函數(shù)、數(shù)列、解析幾何作為高中數(shù)學的主要軀干，蘊含著諸多的數(shù)學思想和方法（數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化和歸納等），因而一直是高考的重點．尤其是它們互相之間及和其他數(shù)學知識（如復數(shù)、向量等）之間的互相滲透、互相聯(lián)系，更為高考命題帶來廣闊的空間．而傳統(tǒng)的章節(jié)復習法使學生分散地學習知識，對各個章節(jié)的聯(lián)系和滲透考慮較少，從而造成對一些綜合題心存膽怯．近幾年高考中常見的函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題就是其中的典型．
【解題方法點撥】
事實上，無論是函數(shù)、數(shù)列還是解析幾何中的曲線（包括復數(shù)、向量），都表現(xiàn)出數(shù)和形兩種狀態(tài)，數(shù)列是一個特殊的函數(shù)；函數(shù)的圖象（解析式）則可看作解析幾何中一種特殊的形（方程）；而復數(shù)、向量的坐標順理成章地使它們與函數(shù)、數(shù)列及解析幾何發(fā)生聯(lián)系．解函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題首先是建立在對數(shù)學基本概念理解的基礎上，然后抓住概念間內在的聯(lián)系，將問題轉化為較熟悉的數(shù)學問題予以解決，當然這也離不開對各章節(jié)內部的扎實基本功．
四、題型方法
一．等差數(shù)列的性質（共5小題）
1．（2024?鄭州一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則
A．19B．22C．25D．27
2．（2024?甘肅模擬）在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，若，則的值為
A．B．C．2D．6
3．（2024?秦都區(qū)校級四模）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則 ．
4．（2024?新疆一模）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列，乙：（其中，則下列說法正確的是
A．甲是乙的充分不必要條件
B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲是乙的既不充分也不必要條件
5．（2024?東莞市校級一模）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為與，且，則
A．B．C．D．
二．等差數(shù)列的通項公式（共3小題）
6．（2023?全國一模）南宋數(shù)學家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項為
A．172B．183C．191D．211
7．（2023?海淀區(qū)一模）在等差數(shù)列中，，，則
A．9B．11C．13D．15
8．（2024?自貢模擬）南末數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3，7，13，23，39，63，97，則該數(shù)列的第8項
A．131B．139C．141D．143
三．等差數(shù)列的前n項和（共5小題）
9．（2024?林芝市一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使成立的的最大值為
A．3B．4C．5D．6
10．（2024?吉林模擬）已知等差數(shù)列滿足，前項和為，則
A．8B．12C．16D．24
11．（2024?揚州模擬）等差數(shù)列的前項和為，已知，，則
A．B．的前項和中最小
C．的最小值為D．的最大值為0
12．（2024?黑龍江模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結論正確的是
A．是遞增數(shù)列B．C．D．
13．（2024?四川模擬）《九章算術》有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積．則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積．問第10天織布尺數(shù)為 ．
四．等比數(shù)列的性質（共5小題）
14．（2024?揚州模擬）已知函數(shù)，若是與的等比中項，則的零點個數(shù)為
A．0B．0或1C．2D．0或1或2
15．（2024?良慶區(qū)校級模擬）在數(shù)列中，．若命題，命題是等比數(shù)列，則是的 條件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
16．（2024?渾南區(qū)校級模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項積為，若，則
A．B．C．D．
17．（2024?昌樂縣校級模擬）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是
A．B．
C．是數(shù)列中的最大值D．數(shù)列無最大值
18．（2024?株洲模擬）設的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則下列說法中正確的是
A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列是遞增數(shù)列
C．D．
五．等比數(shù)列的通項公式（共2小題）
19．（2024?林芝市一模）在正項等比數(shù)列中，，則 ．
20．（2024?涼山州模擬）設是等比數(shù)列，且，，則 ．
六．等比數(shù)列的前n項和（共3小題）
21．（2024?開封一模）記為等比數(shù)列的前項和，若，，則
A．6B．8C．9D．12
22．（2024?秦都區(qū)校級四模）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則
A．4B．C．10D．12
23．（2024?南充模擬）設等比數(shù)列的前項和為，且，，則 ．
七．數(shù)列的求和（共11小題）
24．（2024?渾南區(qū)校級模擬）已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的前2024項之和為
A．1012B．2022C．2024D．4048
25．（2024?昌樂縣校級模擬）設數(shù)列的前項和為，已知．
（1）證明：為等比數(shù)列，求出的通項公式；
（2）若，求的前項和．
26．（2024?吉林模擬）已知數(shù)列，．
（1）求，；
（2）求的通項公式；
（3）設的前項和為，若，求．
27．（2024?昌樂縣校級模擬）已知函數(shù)為常數(shù)，且．
（1）在下列條件中選擇一個 _____使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；
①數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；
③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前項和構成的數(shù)列．
（2）設，當時，求數(shù)列的前項和．
28．（2024?天津模擬）已知數(shù)列滿足：，正項數(shù)列滿足：，且，，．
（1）求，的通項公式；
（2）已知，求：；
（3）求證：．
29．（2024?河西區(qū)校級模擬）已知數(shù)列，，是數(shù)列的前項和，已知對于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和；
（3）記，求．
30．（2024?新疆一模）數(shù)列滿足，且，．
（1）設，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設，求的前項和．
31．（2024?甘肅模擬）已知數(shù)列的前項和為，且，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求，的通項公式；
（2）若數(shù)列的前項和為，且不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
32．（2024?開封一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且．
（1）求；
（2）記為數(shù)列的前項和，求．
33．（2024?黑龍江模擬）已知等差數(shù)列公差與等比數(shù)列公比相同，，，．
（1）求和的通項公式；
（2）記數(shù)列是將數(shù)列和中的項從小到大依次排列而成的新數(shù)列，求數(shù)列前60項的和．
34．（2024?渾南區(qū)校級模擬）設數(shù)列的前項和為，已知．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，都有，求的取值范圍．
八．數(shù)列遞推式（共6小題）
35．（2024?涼山州模擬）已知數(shù)列的前項和，則
A．9B．10C．11D．12
36．（2024?揚州模擬）對于一個給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階商數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階商數(shù)列．已知數(shù)列為1，2，8，64，1024，，且它的二階商數(shù)列是常數(shù)列，則
A．B．C．D．
37．（2024?黑龍江模擬）已知數(shù)列的前項和為，若，且，都有，則
A．是等比數(shù)列B．
C．D．
38．（2024?永壽縣校級模擬）已知數(shù)列的前項和為，，，且對于任意，，恒成立，則
A．是等差數(shù)列B．是等比數(shù)列C．D．
39．（2024?北京模擬）已知數(shù)列和滿足，．
（1）證明：；
（2）是否存在，，使得數(shù)列是等比數(shù)列？說明理由．
40．（2024?良慶區(qū)校級模擬）已知等比數(shù)列的前項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式．
（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．
九．數(shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）
41．（2024?渾南區(qū)校級模擬）定義在，的函數(shù)滿足，且，，都有，若方程的解構成單調遞增數(shù)列，則下列說法中正確的是
A．
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6
C．若，則
D．若，則
42．（2024?天河區(qū)校級模擬）設函數(shù)，．
（1）①當，時，證明：；
②當，時，求的值域；
（2）若數(shù)列滿足，，，證明：．
一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共5小題）
43．（2024?四川模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則
A．2B．C．D．
44．（2024?銅川一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則
A．B．3C．或3D．1．或
45．（2024?河西區(qū)校級模擬）在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則
A．3B．C．9D．
46．（2024?北京模擬）設是公差不為0的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則
A．3B．C．D．2
47．（2024?株洲模擬）各項都為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項依次成等差數(shù)列，從第5項起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求出所有的正整數(shù)，使得．
一十一．數(shù)列與三角函數(shù)的綜合（共3小題）
48．（2024?株洲模擬）在非直角中，、、成等比數(shù)列，則的取值范圍是
A．B．C．D．
49．（2023?河北模擬）已知函數(shù)的零點是以為公差的等差數(shù)列．若在區(qū)間，上單調遞增，則的取值范圍為
A．B．C．D．
50．（2023?普陀區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列中，，設函數(shù)，記，則數(shù)列的前9項和為 ．
五、易錯分析
易錯點一、利用an＝Sn－Sn－1求通項公式忽視n＝1致錯
1、在數(shù)列中，（），求的通項公式．
易錯點二、忽視在數(shù)列中n為正整數(shù)而致錯
2．在數(shù)列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)中，若an＝0.08，則n＝( )
A.eq \f(5,2) B．8 C.eq \f(5,2)或10 D．10
易錯點三、等比數(shù)列問題中忽視對公比的討論致錯
3．已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且7S2＝4S4，則等比數(shù)列{an}的公比q的值為( )
A．1 B．1或eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),2)
4. 設是等比數(shù)列的前n項和，，，成等差數(shù)列，且.則____.
5、已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4，設bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
易錯點四、使用錯位相減法求和，兩式相減時符號出錯
6、設為數(shù)列的前n項和，已知，，．求數(shù)列的前n項和．
易錯點五、利用裂項相消法求和時漏項、添項或忽視系數(shù)而致錯
7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a9＝eq \f(1,2)a12＋6，a2＝4，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))的前10項和為( )
A.eq \f(11,12) B．eq \f(10,11) C.eq \f(9,10) D.eq \f(8,9)
8．已知數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)))的前n項和為Tn，若對任意的n∈N*，不等式12Tn

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