中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）2.4.1 向量的坐標表示優(yōu)秀教案設(shè)計-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

2.4 向量的坐標表示
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一上冊）
授課
時長
4 課時
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課從數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)、平面直角坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)開始，通過探究起點在原點的向量OA 與單位向量 i，j 之間的關(guān)系，把向量OA 分解為 xi 和 yj 之和，建立了向量OA 與點 A 的坐標(x,y)之間的關(guān)系，并且OA =xi+yj；接著利用向量的減法建立了任一向量 AB 與它的終點 B 與起點 A 的坐標的差之間的關(guān)系， AB =(x2- x1) i +(y2- y1) j．這兩個式子表明任意一個向量
都可以用一個有序?qū)崝?shù)對與之對應(yīng)，這個有序?qū)崝?shù)對就是向量的坐標表示．
教學(xué)目標
知道向量坐標的合理性和應(yīng)用價值，會用直角坐標表示向量；能用向量坐
標進行向量的線性運算和內(nèi)積運算；會用向量坐標解決有關(guān)向量大小、共線、垂直等問題；逐步提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).
教學(xué)
重點
會用向量的坐標形式進行向量運算，判定兩個向量平行或垂直．
教學(xué)
難點
向量內(nèi)積的坐標表示的幾何應(yīng)用．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動
學(xué)生
活動
設(shè)計
意圖
我們知道,數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，平面直角坐標系中的點 P 與有序?qū)崝?shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，(x,y)是點 P 的坐標.平面直角坐標系中所有以原點(0,0)為起點、以點 P(x,y)為終點的向量與有序?qū)崝?shù)對(x,y)也是一一對應(yīng)的，如圖所示．
提出
思考
結(jié)合
問題
數(shù)軸
分析
和平
引發(fā)
面直
思考
回答
角坐
情境
標系
導(dǎo)入
中點
與坐
標的
關(guān)系
引入
新知
2.4.1 向量的坐標表示
如圖所示，在平面直角坐標系中分別取 x 軸、y 軸上的兩個單位向量 i、j.以原點 O 為
起點做向量OP ，點 P 的坐標
為(x,y).向量OP 與兩個單位向量 i、j 之間有什么關(guān)系呢？
過點 P 分別作 x 軸、y 軸的垂線，垂足分別為 M、N.
由于向量OM 與 i 共線，并且OM 的模等于| x |，
OM =xi ；同理可得， ON =yj .根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，有
講解
理解
通過
把幾
何問
說明
思考
題轉(zhuǎn)
化為
探索
代數(shù)
新知
展示
領(lǐng)會
問題
從而
使幾
何問
題可
以通
OP ? OM +ON =xi+yj .
進一步，對于圖中所示的以 A 為起點的向量 AB ，記點 A 與點 B 的坐標分別為(x1,y1)和(x2,y2)，則有
因此，對于平面直角坐標系中的任一向量 a，都存在著一對有序?qū)崝?shù)(x,y)，使得 a= xi+yj. 我們把有序?qū)崝?shù)對稱為向量 a 的坐標. 方便起見，常把向量 a 用它的坐標(x,y)表示，即 a=(x,y).
溫馨提示
在上圖中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)； OP =(x,y)，
AB =(x2-x1, y2-y1).
講解
理解
過代
數(shù)運
算來
解
決，
表達
更簡
展示
結(jié)合
潔，
圖形
圖形
運算
引發(fā)
思考
更便
思考
問題
捷
例 1 已知兩點 A(-2,3)、B(3,1)，求向量 AB 和 BA 的坐標.解 AB =(3-(-2), 1-3)= (5,-2);
BA =(-2-3, 3-1)= (-5, 2).
例 2如圖所示，單位圓與坐標軸交于 A、B、C、D 四點，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量
OB 、OM 、ON 、OE 的坐標.
解由于點 B 的坐標為(0,1)，故OB =(0,1)；點 M 的坐標為
? 22 ?
故OM = ?， ? ；
? 22 ?
同理可得
例 3 如圖所示，?ABCD 的三個頂點 A、B、C 的坐標分別為(2,3)、(?2,1)、(?1,0),求第四個頂點 D 的坐標.
提問
思考
例 1
引導(dǎo)
分析
為了
強調(diào)
講解
解決
強調(diào)
強調(diào)
交流
“終
點的
坐標
減去
起點
的坐
標”；
典型
例 2
例題
綜合
單位
圓和
向量
知識
解決
問
題；
例 3
綜合
運用
平行

解在?ABCD 中，有 AB = DC .設(shè)點 D 的坐標為(x,y)，則
DC = ??1 ? x，? y ? .
又AB= ??2 ? 2,1 ? 3?
= ??4, ?2? ，
故有??4, ?2? = ??1 ? x，? y ? .
??1 ? x= ? 4，
于是，? ? y= ? 2，
?
? x=3，
從而?
? y=2.
所以，點 D 的坐標為(3,2).
四邊形的性質(zhì)、相等向量、向量的坐標表示等多個知識點，
透了方程的思想
練習(xí) 2.4.1
1. 判斷下列說法是否正確.
(1) x 軸上的單位向量 i 的坐標為(1,0)；
提問
思考
及時
掌握
起點不在原點的向量不能確定它的坐標；
由于 x 軸和 y 軸上的單位向量 i、j 的模都是 1，所
學(xué)生
掌握
以它們的坐標相等；
情況
(4)向量OA 的坐標是唯一確定的.
查漏
2.已知點 A(2,-1)，寫出向量OA 的坐標，并用 x 軸和 y
軸上的單位向量 i、j 線性表示向量OA .
巡視
動手
求解
補缺
鞏固練習(xí)
已知向量OA =-5i+2j，寫出點 A 的坐標.
已知向量 a=3i-j，寫出向量 a 的坐標.
已知兩點 A 與 B 的坐標，求 AB 和 BA 的坐標.
(1) A(-1, 5)，B(-3, 1)；
指導(dǎo)
交流
A(-5, 3)，B(4, 5)；
A(2,-6)，B(3, 5).
6.如圖所示，O 為菱形 ABCD
對角線的交點，AC=4，BD=6.以對
角線 CA、DB 所在的直線作 x、y
軸，求向量OC 、OD 、OB 的坐
標.
情境導(dǎo)入
2.4.2 向量線性運算的坐標表示
對于向量 a=(x1,y1)和 b= (x2,y2)，向量 a+b 、a-b、λa如何用坐標表示呢？
提出問題引發(fā)
思考
思考分析回答
提出問題引發(fā)
思考
探索新知
這說明兩個向量和(差)的坐標等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差).
實數(shù)與向量的積的坐標等于這個實數(shù)與向量相應(yīng)坐標的乘積．
講解說明
展示
講解
理解思考
領(lǐng)會
理解
結(jié)合向量加法進行推理，提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)
典型例題
例 4 設(shè) a=(3, -2)，b= (-2, 1)，求：
(1) a+b；(2) a-b； (3)3a-2b .
解 (1) a+b = (3,-2)+(-2,1) = (3+(-2),-2+1) = (1,-1) ;
a-b =(3,-2)-(-2,1)= (3-(-2),-2-1)= (5,-3)；
3a-2b=3(3,-2)-2 (-2,1)=(9,-6)- (-4,2)=(13,- 8)．
例 5 如圖所示,正六邊形 ABCDEF
的中心 O 在坐標原點，邊長為 2，
CF 在 x 軸上，試求向量 AB 、BC 、
DE 的坐標.
解 (1) 根據(jù)題意，ΔABO 和 ΔBOC 都是邊長為 2 得到正三角形，故點 C 的坐標為(2,0).因此
設(shè)正六邊形與 y 軸的負半軸交于點 G,則 OG 為正三角形 ABO 的高和中線.于是 OG= 3 BG= 3 ×1= 3 .
故點 B 的坐標為(1,- 3 ).于是，
因為OB ? (1, ? 3) ，所以
我們知道，當 a≠0 時，a∥b?存在實數(shù) λ，使得 b=λa.
設(shè) a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，由 b=λa 得，x2=λx1 且 y2=λy1，則
x2 ? y2 或 x y =x y .
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
思考分析
解決交流
思考分析
解決交流
例 4是向量坐標的線性運算示例例 5是結(jié)合特殊圖形和相等向量的性質(zhì)解決問題例
6 是達成課標要求會用向量
的坐
1 2 2 1
x1y1
因此，當 a≠0 時，a∥b? x2 ? y2 或 x y =x y .
1 2 2 1
x1y1
提問引導(dǎo)
思考分析
標形式判定兩
個向
例 6已知向量 a=(?2,3)，b=(4,?6)，判斷向量 a 與 b 是否共線.
解由于 x1 y2=?2×(?6)，x2 y1=4×3，且?2×(?6)=4×3，故
a∥b，即向量 a 與 b 共線.
講解強調(diào)
解決交流
量平行
鞏固練習(xí)
練習(xí) 2.4.2
1. 已知向量 a、b 的坐標分別求 a+3b，5a-2b 的坐標.
a=(?2,3)，b=(4,6);
a=(2,3)，b=(3,1).
2. 已知向量 a、b 的坐標，判斷這兩個向量是否共線.
a=(?2,3)，b=(6, ?9);
a= ? 2, - 12 ? ，b=? 12 , -2 ? ;
?5 ?? 5?
????
a=(1,?2)，b=(?7,14).
己知點 B(4, ?3)，連接 OB 并延長至 C 點，使得
|OC|=2|OB| ，求向量OC 的坐標.
求例 5 中向量 AD 、 AC 、 BD 的坐標.
如圖所示，正方形 ABCD 的中心在原點 O，四邊與坐標軸垂直，邊長為 2，求向量 AC 與 BD 的坐標.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生掌握情況查漏補缺
情境導(dǎo)入
2.4.3 向量內(nèi)積的坐標表示
對于向量 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，內(nèi)積 a·b 是否可以用坐標表示？如何表示呢？
提出問題引發(fā)思考
思考分析回答
延續(xù)原有知識脈絡(luò)
探索新知
由 a=(x1,y1)，b=(x2,y2)知，a=x1i+y1j，b= x2i+y2j.根據(jù)向量內(nèi)積的定義，i·j=j·i=0，i·i=|i|2=1，j·j=|j|2=1，有
a·b=(x1i+y1j)·( x2i+y2j)
= x1x2 i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+ y1y2j·j
=x1x2+y1y2.
這說明，兩個向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的
講解說明
展示
理解思考
領(lǐng)會
向量的坐標表示將向量
的內(nèi)
和，即
a·b=x1x2+y1y2.
根據(jù)內(nèi)積的定義，還可以得到以下結(jié)論：
講解
理解
積運算代數(shù)化進而解決有關(guān)幾何問題
典型例題
例 7 已知向量 a=(3,4)，b=(?2, 1)，求 a·b、|a|、|b|、
cs.
解 a·b=3×(?2)+4×1=-2.
|a|= a ? a ?x 2 ? y 2 ? 32 ? 42 ? 5 .
11
同理， |b|= ??2?2 ? 12 ? 5 .
a ? b?22 5
cs a,b === ?.
|a||b|5 ? 525
例 8 判斷下列各組向量是否互相垂直.
(1) a=(4, ?6) ， b= (9,6) ;
(2) a=(0, ?2) ，b=(1, ?3).
解 (1)因為 a·b=4×9+(?6)×6=0，所以 a⊥b.
(2)因為 a·b=0×1+ (?2)×(?3)=6≠0，所以 a 與 b 不垂
直.
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
思考分析
解決交流
思考分析
解決交流
例 7是向量內(nèi)積的坐標表示的幾何應(yīng)用例 8是水平二學(xué)業(yè)要求適當
提高
鞏固練習(xí)
練習(xí) 2.4.3
1.已知向量 a、b 的坐標，求 a·b.
a=(2, ?3) ，b=(?1,5) ；
a=(4, ?1) ， b=(1,6).
己知向量 a=(2, ?5)，求向量 a 的模.
判斷下列各組向量是否互相垂直.
a=(1, ?3) ，b=(3, ?2) ；
a=(2,0) ， b=(0, ?7) ；
a=(?2,3) , b=(3,4).
4. 己知向量 a=(3,5), b=(?2,1)，求 2a·5b.
5. 已知向量 a=(?2,3) , b=(3,4)，求 cs.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生掌握情況查漏補缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程能力
布置
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
說明
記錄
繼續(xù)
作業(yè)
查漏補缺：根據(jù)個人情況對課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴展延伸內(nèi)容.
探究
延伸學(xué)習(xí)

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