我們知道，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的，平面直角坐標系中的點P與有序實數(shù)對(x,y)是一一對應的，(x,y)是點P的坐標．平面直角坐標系中所有以原點(0,0)為起點、以點P(x,y)為終點的向量與有序實數(shù)對(x,y)也是一一對應的，如圖所示．
對于平面直角坐標系中的任一向量a，都存在著一對有序實數(shù)(x,y)，使得a=xi+yj ．我們把有序實數(shù)對稱為向量a的坐標．方便起見，常把向量a用它的坐標(x,y)表示，即a=(x,y) ．
例3 如圖所示，?ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為(2,3)、(?2,1)、(?1,0)，求第四個頂點D的坐標．
向量線性運算的坐標表示
對于向量a= (x1，y1)和b= (x1，y1)，向量a+b、a-b、λa如何用坐標表示呢？
這說明兩個向量和(差)的坐標等于這兩個向量相應坐標的和(差). 實數(shù)與向量的積的坐標等于這個實數(shù)與向量相應坐標的乘積．
由a=(x1，y1)、b=(x2，y2)知，a=x1i+ y1 j，b=x2i+ y2 j（i、j分別為x軸、y軸正方向上的單位向量）．則 a+b=(x1i+ y1 j)+(x2i+ y2 j)=(x1+x2) i+(y1+ y2) j ，即 a+b =(x1+x2 ，y1+ y2) ．同理可得， a-b =(x1-x2，y1- y2) ， λa=(λx，λy) ．
例4 設a=(3，-2)，b=(-2，1)，求： （1）a+b；（2）a-b；（3）3a-2b ．
解（1）a+b=(3，-2)+(-2，1) =(3+(-2) ，-2+1)=(1，-1)；
（2）a-b=(3，-2)-(-2，1) =(3-(-2) ，-2-1)=(5，-3)；
（3）3a-2b=3(3，-2)-2(-2，1) =(9，-6)-(-4，2)=(13，-8) ．
我們知道，當a≠0時，a∥b?存在實數(shù)λ，使得b= λa． 設a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，由b=λa得， x2=λ x1且y2 =λ y1． 因此，當a≠0 ，a∥b ? x1 y2 = x2 y1 ．
例6 已知向量a=(?2,3)，b=(4,?6)，判斷向量a與b是否共線．
解 因為 x1 y2 = ?2×(?6)=12， x2 y1 =4×3=12，所以x1 y2 = x2 y1，故a∥b，即向量a與b共線．
對于向量a= (x1,y1)，b= (x1,y1)，內積a · b是否可以用坐標表示呢？如何表示呢？
由a=(x1,y1)、b=(x2,y2)知，a=x1i+ y1 j，b=x2i+ y2 j．根據(jù)向量內積的定義，i·j = j·i=0， i·i =| i |2 = 1，j·j =| j |2 = 1 ，有 a·b=(x1i+ y1 j)·(x2i+ y2 j)=x1x2i·i +x1y2i·j +y1x2 j·i +y1y2 j·j =x1x2 +y1y2 ．
這說明,兩個向量的內積等于它們對應坐標的乘積的和，即 a·b= x1x2 +y1y2 ．
根據(jù)內積的定義，還可得到以下結論：
（1）a⊥b? a·b=0 ? x1x2 +y1y2 =0；
解 a·b=3×(-2)+4×1=-2．
例8 判斷下列各組向量是否互相垂直． （1） a=(4,-6)，b=(9,6) ； （2） a=(0,-2)，b=(1,-3) ．
解（1）因為 a·b=4×9+(-6)×6=0，所以a⊥b ．
（2）因為 a·b=0×1+(-2)×(-3)=6≠0，所以a與b不垂直 ．
1.已知向量a、b的坐標，求a·b．（1）a=(2,-3)，b=(-1,5)；（2）a=(4,-1)，b=(1,6) ．
2.已知向量a=(2,-5) ，求向量a的模．

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中職數(shù)學高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）電子課本

2.4.1 向量的坐標表示

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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