（滿分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2.作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復數(shù)滿足：，則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（ ）
A. B. -2C. 2D.
2. 在一個實驗中，某種豚鼠被感染病毒的概率均為，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產(chǎn)生出之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
據(jù)此估計三只豚鼠都沒被感染的概率為（ ）
A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
3. 如圖，在圓錐中，軸截面的頂角，設是母線的中點，
在底面圓周上，且，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知三棱柱中，側(cè)面底面，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 廡殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級建筑上，廡殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五脊殿”．圖2是根據(jù)廡殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面是矩形，且四個側(cè)面與底面的夾角均相等，則（ ）

A. B. C. D.
6. 兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知，則線段的長為（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
8. 正四面體的棱長為，是它內(nèi)切球的直徑，為正四面體表面上的動點，的最大值為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（ ）
A. 乙發(fā)生的概率為B. 丙發(fā)生的概率為
C. 甲與丁相互獨立D. 丙與丁互為對立事件
10. 如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為上任意一點，為上任意兩點，且的長為定值，則（ ）
A.點到平面的距離為定值 B.三棱錐的體積為定值
C.直線與平面所成的角為定值 D.二面角的大小為定
11. 已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. D.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上.
12. 已知正方體的棱長為1，則點到直線的距離為_________．
13. 把正方形沿對角線折成的二面角，分別是的中點，是原正方形的中心，則的余弦值為_________．
14. 已知函數(shù)．直線與曲線的兩個交點如圖所示，若，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_______；_______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
在中，，將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．
（1）求直線與直線所成角的大?。?br>（2）當三棱錐的體積最大時，求平面和平面的夾角的余弦值．
16.（本小題滿分15分）
為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡的分組區(qū)間是：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組.
（1）求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；
（2）估計抽出的100名志愿者年齡的第75百分位數(shù)；
（3）若在抽出的第2組、第4組和第5組志愿者中，采用按比例分配分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加中心廣場的宣傳活動，再從這6名中采用簡單隨機抽樣方法選取2名志愿者擔任主要負責人.求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.
17.（本小題滿分15分）
在中，角的對邊分別是，且．
（1）求角的大?。?br>（2）若，為邊上的一點，，且______，求的面積．
請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題．
①是的平分線；②為線段的中點．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答記分．）
18.（本小題滿分17分）
如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上．再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題．
條件①：；條件②：；條件③：平面．
（1）求證：為的中點；
（2）求直線與平面所成角的大小；
（3）求點到平面的距離．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
19. （本小題滿分17分）
如圖，三棱柱中，點在平面內(nèi)的射影在上，
，.
（1）證明：；
（2）設直線與平面的距離為，求平面與平面的夾角的余弦值.
成都石室中學2024-2025學年度上期高2026屆10月月考
數(shù)學試題
（滿分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2.作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復數(shù)滿足：，則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（ ）
A. B. -2C. 2D.
【答案】C
2. 在一個實驗中，某種豚鼠被感染病毒的概率均為，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產(chǎn)生出之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
據(jù)此估計三只豚鼠都沒被感染的概率為（ ）
A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
【答案】A
3. 如圖，在圓錐中，軸截面的頂角，設是母線的中點，在底面圓周上，且，則異面直線與所成角的大小為（ C ）

A. B.C. D.
4. 已知三棱柱中，側(cè)面底面，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
5. 廡殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級建筑上，廡殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五脊殿”．圖2是根據(jù)廡殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面是矩形，且四個側(cè)面與底面的夾角均相等，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
6. 兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知，則線段的長為（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
8. 正四面體的棱長為，是它內(nèi)切球的直徑，為正四面體表面上的動點，的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（ ）
A. 乙發(fā)生的概率為B. 丙發(fā)生的概率為
C. 甲與丁相互獨立D. 丙與丁互為對立事件
【答案】ACD
10. 如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為上任意一點，為上任意兩點，且的長為定值，則（ ABD ）
A.點到平面的距離為定值 B.三棱錐的體積為定值
C.直線與平面所成的角為定值 D.二面角的大小為定值
11. 已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. D.
【答案】CD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上.
12. 已知正方體的棱長為1，則點到直線的距離為_________．
【答案】
13. 把正方形沿對角線折成的二面角，分別是的中點，是原正方形的中心，則的余弦值為_________．
【答案】
14. 已知函數(shù)．直線與曲線的兩個交點如圖所示，若，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_______；_______．
【答案】 ①. ②.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
在中，，將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．
（1）求直線與直線所成角的大小；
（2）當三棱錐的體積最大時，求平面和平面的夾角的余弦值．
【解析】
（1）取的中點，連接，
由題意可知，所以；
因為平面，所以平面；
因平面，所以，直線與直線所成角為.
（2）由題意可知三棱錐的體積最大時，平面平面；
在平面內(nèi)作出，且與的延長線交于點，連接；
因為平面平面，平面平面，，
所以平面；根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特點可知，兩兩垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
因為，所以；
；
，
設平面的一個法向量為，則，，
令，則；
易知平面的一個法向量為,
設平面和平面的夾角為，則.
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
16. 為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡的分組區(qū)間是：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組.

（1）求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；
（2）估計抽出的100名志愿者年齡的第75百分位數(shù)；
（3）若在抽出的第2組、第4組和第5組志愿者中，采用按比例分配分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加中心廣場的宣傳活動，再從這6名中采用簡單隨機抽樣方法選取2名志愿者擔任主要負責人.求抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）由直方圖知：，可得，
∴500名志愿者中年齡在的人數(shù)為人. ………2分
（2）因為，，
所以第百分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，若該數(shù)為，
∴，解得.………6分
（3）由題設，第2組、第4組和第5組的頻率之比為，知6名志愿者有2名來自，3名來自，1名來自， ………8分
不妨設第2組、第4組和第5組抽取的志愿者為，
則抽取兩人的基本事件有，
，共15個，………12分
∴抽取的2名志愿者中恰好來自同一組的概率.………13分
17.（本小題滿分15分）
在中，角的對邊分別是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，為邊上的一點，，且______，求的面積．
請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題．
①是的平分線；②為線段的中點．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答記分．）
【解析】
（1）由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，………3分
∵，∴，，
∵，∴．………5分
（2）若選①：由平分得，，
∴，即．………8分
在中，由余弦定理得，
又，∴，………10分
聯(lián)立得，
解得，（舍去），
∴．………15分
若選②：因為，
所以，
即，得，………10分
在中，由余弦定理得，
即，
聯(lián)立，可得，
∴．………15分
18.（本小題滿分17分）
如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上．再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題．
條件①：；條件②：；條件③：平面．
（1）求證：為的中點；
（2）求直線與平面所成角的大??；
（3）求點到平面的距離．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】
（1）證明：選條件①：由，
根據(jù)正方體的對稱性，此時點為上的任意一點，所以不成立；
選條件②：．
連接，在正方體中，由平面，
因為平面，所以，
又因為，， 所以，
因為平面，所以，
又因為為的中點， 所以為的中點．………6分
選擇條件 ③：平面．
連接，因為平面，平面，
且平面平面，所以所以，
因為為的中點，所以為的中點． ………6分
（2）在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
令，則．于是，………13分
設直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的大小為，………15分
（3）點到平面的距離為.………17分
19. （本小題滿分17分）
如圖，三棱柱中，點在平面內(nèi)的射影在上，，.
（1）證明：；
（2）設直線與平面的距離為，求平面與平面的夾角的余弦值.
解法一：（1）平面，平面，故平面平面．又，平面．連結(jié)，又平面，
∵側(cè)面為菱形，，，平面，又平面，
；………6分
（2）平面平面，故平面平面．作為垂足，則平面．………9分
又直線∥平面，因而為直線與平面的距離，．∵為的角平分線，故………12分．
作為垂足，連結(jié)，，故為二面角的平面角．………15分
由得為的中點，，
，
∴平面與平面的夾角的余弦值為.………17分
解法二：以為坐標原點，射線為軸的正半軸，以長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題設知與軸平行，軸在平面內(nèi)．
（1）設，由題設有則由得，即（①）．于是．………6分
（2）設平面的法向量則即．
故，且．令，則，點到平面的距離為．又依題設，點到平面的距離為．代入①解得（舍去）或．于是．………10分
設平面的法向量，則，即，故且．令，則．………15分
又為平面的法向量，故，∴平面與平面的夾角的余弦值為.………17分

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