1．設，則的值為（ ）
A．B．C．D．不能確定
2．已知x＝3是不等式mx+2＜1﹣4m的一個解，如果m是整數(shù)，那么m的最大值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣2
3．已知x為整數(shù)，且為整數(shù)，則符合條件的x的所有值的和為（ ）
A．12B．15C．18D．20
4．上午九點鐘的時候，時針與分針成直角，那么下一次時針與分針成直角的時間是（ ）
A．9時30分B．10時5分
C．10時分D．9時分
5．如圖，I是△ABC的內(nèi)心，且AB+BI＝AC．若∠ABC＝82°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．41°B．52°C．57°D．68°
二．填空題（共3小題）
6．如圖，在△ABC中，AD交邊BC于點D，若∠B＝45°，∠ADC＝60°，DC＝2BD，則∠C大小等于 ．
7．海灘上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數(shù)的，又扔掉4個到大海中去，第二天吃掉的核桃數(shù)再加上3個就是第一天所剩核桃數(shù)的，那么這堆核桃至少剩下 個．
8．下圖是某城市的一部分街道圖，縱橫各有五條路．如果從A處走到B處（只能從北到南，由西向東），那么共有 種不同的走法．
三．解答題（共3小題）
9．如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點D在BC上，且BD＝2，點E是AB上的動點，連接DE，將DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°到EF位置，連接DF，CF．
（1）求△DEF周長的最小值；
（2）求AD的長；
（3）當點E在AB運動時，△CDF的面積是否發(fā)生變化，若不變求出這個面積的值；若變化，請說明理由．
10．規(guī)定”△”為有序?qū)崝?shù)對的運算，如果（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果對任意實數(shù)a，b都有（a，b）△（x，y）＝（a，b），試求x，y的值是多少？
11．（2009?堯都區(qū)校級自主招生）ABCD是一張矩形紙片，AB＝a，BC＝ka（k不等于1），將紙片折疊一次，使頂點A與C重合，如果紙片不重合的面積為a2，求k的值．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．【解答】解：＝，∴x＝+a﹣2
∴0＜a＜1
∴＝＝＝，
故選：B．
2．【解答】解：根據(jù)題意可得：3m+2＜1﹣4m
移項得：3m+4m＜1﹣2
即7m＜﹣1
解得：m＜﹣
則m的最大值是﹣1．
故選：A．
3．【解答】解：＝＝，
∴當x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2時，原式的值為整數(shù)．
此時x1＝4，x2＝2，x3＝5，x4＝1．
∴x1+x2+x3+x4＝12，
故選：A．
4．【解答】解：設再次轉(zhuǎn)成直角的時間間隔為x分鐘，則
（6﹣）x＝90×2，
（6﹣）x＝180，
∴x＝32．
所以下一次時針與分針成直角的時間為9時分．
故選：D．
5．【解答】解：如圖，在AC上取AD＝AB，連接ID，IC，
∵IA平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠DAI，
在△ABI和△ADI中，
∵，
∴△ABI≌△ADI，∴ID＝IB，∠ADI＝∠ABI＝∠ABC＝41°，
∵AD+CD＝AC，AB+BI＝AC，∴CD＝IB，
∴ID＝CD，則∠DCI＝∠DIC，
又∵IC平分∠ACB，
∴∠BCI＝∠DCI＝∠DIC，
∴ID∥BC，
∴∠ACB＝∠ADI＝41°，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣82°﹣41°＝57°，
故選：C．
二．填空題（共3小題）
6．【解答】解：過C點作CH⊥AD于H點，連接BH．
∵∠ADC＝60°，
∴∠HCD＝30°．
∴DC＝2DH．
∵DC＝2BD，
∴BD＝DH．
∴∠HBD＝∠BHD＝30°．
∴∠ABH＝45°﹣30°＝15°．
又∠BAH＝∠ADC﹣∠ABD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABH＝∠BAH＝15°，
∴BH＝AH．
設DH＝a，則DC＝2a，HC＝a，
∵∠HBD＝∠HCD＝30°，
∴BH＝HC＝a．
∴HA＝BH＝HC＝a．
∴∠ACH＝45°．
∴∠ACD＝30°+45°＝75°．
故答案為75°．
7．【解答】解：設核桃一共有X個，由題意得：
第一天剩下的核桃個數(shù)：（1﹣）x﹣4＝x﹣4
第二天吃掉的核桃數(shù)：
（x﹣4）×﹣3＝x﹣﹣3
∴最后剩下的個數(shù)：﹣（﹣﹣3）＝0.225X+1.5
∵最后剩下的個數(shù)0.225X+1.5必須是整數(shù)
∴當X＝20 時，原式＝6
∴至少剩下6個
故填：6
8．【解答】解：我們把已知圖順時針旋轉(zhuǎn)45°，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點標上相應的楊輝三角數(shù)，
則：B處所對應的數(shù)為70，正好是答案．
∵從A到B我們經(jīng)過且只經(jīng)過8次交點（包括A，不包括B），
有且只有8次機會選擇向南或向東，
而且結(jié)果一定是4次向南，剩下4次向東，
∴走法數(shù)為：＝70．
故答案為：70．
三．解答題（共3小題）
9．【解答】解：（1）當DE⊥AB時，DE最小，即△DEF周長最小，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DED＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE＝EF＝DF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝×2＝1，
∴DE＝＝＝，
∴△DEF周長的最小值為3；
（2）作AG⊥BC于G，
∵等邊△ABC的邊長為6，
∴BG＝BC＝3，
∴DG＝3﹣2＝1，AG＝＝3，
∴AD＝＝＝（或2）；
（3）△CDF的面積不變化，作DM⊥AB于M，作FN⊥BC于N，
∵∠B＝60°，
∴∠BDM＝30°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠EDF＝60°，
∴∠EDM+∠FDN＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵∠DFN+∠FDN＝90°，
∴∠EDM＝∠DFN．
在△DEM和△FDN中，
，
∴△DEM≌△FDN（AAS），
∴NF＝DM，
由（1）可知，DM＝，
∴NF＝．
∵BC＝6，BD＝2，
∴CD＝4，
∴S△CDF＝CD?NF＝＝2．
10．【解答】解：由定義，知
（a，b）△（x，y）＝（ax+by，ay+bx）＝（a，b），
則ax+by＝a，①
ay+bx＝b，②
由①+②，得
（a+b）x+（a+b）y＝a+b，
∵a，b是任意實數(shù)，
∴x+y＝1，③
由①﹣②，得
（a﹣b）x﹣（a﹣b）y＝a﹣b，
∴x﹣y＝1，④
由③④解得，
x＝1，y＝0．
11．【解答】解：∵AN＝NC＝AM＝MC，
∴四邊形ANCM為菱形，
∵不重合的面積為a2，AB＝a，BC＝ka
∴S△ABN＝S△CDM＝，
∴AN＝4a，
∵AN＝NC，
∴4a＝ka﹣a，
∴k＝4+

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