1．若正整數(shù)x，y滿足x2﹣y2＝64，則這樣的正整數(shù)對（x，y）的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知：a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b+c的值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．若a，b為有理數(shù)，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，則a2b+ab2＝（ ）
A．﹣8B．﹣16C．8D．16
二．填空題（共3小題）
4．已知25x＝2000，80y＝2000，則等于 ．
5．（1）在2004，2005，2006，2007這四個數(shù)中，不能表示為兩個整數(shù)平方差的是 ．
（2）已知（2000﹣a）?（1998﹣a）＝1999，那么，（2000﹣a）2+（1998﹣a）2＝ ．
6．若正整數(shù)x，y滿足22x﹣32y＝55，則x的最大值為 ．
三．解答題（共3小題）
7．已知ω，x，y，z四個數(shù)不為0，且互不相等，試證明：若ω+＝x+＝y(tǒng)+＝z+，那么x2y2z2ω2＝1．
8．已知正整數(shù)x，y滿足x3+5x2y+8xy2+6y3＝91，求x十y的值．
9．（1）證明：奇數(shù)的平方被8除余1．
（2）請你進一步證明：2006不能表示為10個奇數(shù)的平方之和．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共3小題）
1．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
64＝32×2＝16×4，
∴或，
解得或．
∴滿足條件的正整數(shù)對（x，y）的個數(shù)是2．
故選：B．
2．【解答】解：由a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17得
a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a+11＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，c＝1，
a+b+c＝3．
故選：B．
3．【解答】解；∵2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，即a2﹣2ab+b2+a2+4a+4＝0，
∴（a﹣b）2+（a+2）2＝0，
故a﹣b＝0，a+2＝0，
解得：a＝﹣2，b＝﹣2．
故a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣16．
故選：B．
二．填空題（共3小題）
4．【解答】解：由已知得＝25，＝80，
兩式相乘，得 ×＝25×80＝2000，
∴＝1．
解法二：∵25x＝2000，80y＝2000，
25xy×80xy＝2000y×2000x，
∴2000xy＝2000x+y，
∴xy＝x+y，
∴+＝1．
故答案為：1．
5．【解答】解：（1）∵a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），
又∵a，b為整數(shù)，
∴a﹣b和a+b同奇或同偶，
∴2004＝2×1002＝（5002﹣500）（5002+500）＝50022﹣5002，
2005＝1×2005＝（1003﹣1002）（1003+1002）＝10032﹣10022，
∵2006＝1×2006＝2×2003，
∵1和2006一奇一偶，2和2003一偶一奇，
∴2006不能表示為兩個整數(shù)的平方差，
而2007＝1×2007＝（1004﹣1003）（1004+1003）＝10042﹣10032，
故答案為：2006．
（2）設(shè)1998﹣a＝x，則2000﹣a＝2+x，
∵（1998﹣a）（2000﹣a）＝1999，
∴x（2+x）＝1999，
即：x2+2x＝1999，
∴（2000﹣a）2+（1998﹣a）2
＝（2+x）2+x2
＝x2+4x+4+x2
＝2x2+4x+4
＝2（x2+2x）+4
＝2×1999+4
＝4002．
故答案為：4002．
6．【解答】解：原式＝（2x﹣3y）（2x+3y）＝5×11＝55，
若2x﹣3y＝1，且2x+3y＝55，
則2x+1＝56，這是不可能的；
若2x+3y＝11且2x﹣3y＝5，
則2x+1＝16，
則x＝3．
故答案為：3．
三．解答題（共3小題）
7．【解答】證明：∵ω+＝x+，
∴w﹣x＝﹣＝，
同理：x﹣y＝，
y﹣z＝，
z﹣w＝，
∴（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣w）＝???＝（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣w）?
∵ω，x，y，z四個數(shù)不為0，且互不相等，
∴（w﹣x）（x﹣y）（y﹣z）（z﹣w）≠0，
∴x2y2z2ω2＝1．
8．【解答】解：x3+5x2y+8xy2+6y3
＝（x3十4x2y+3xy2）十（x2y十5xy2+6y3）
＝x（x+3y）（x+y）+y（x+3y）（x+2y）
＝（x+3y）（x2+2xy+2y2），
由x，y 是正整數(shù)，知x+3y＞1，x2+2xy+2y2＞1，
而91＝7×13，
①或②
方程組①無解，方程組②的解為，
故x十y＝3．
9．【解答】解：設(shè)奇數(shù)為（2n+1）（n≥0，n為整數(shù)），則（2n+1）2＝4n2+4n+1，
只要證得8能整除（4n2+4n）即可，
顯然4能整除（4n2+4n），而n2與n奇偶性相同，所以2能整除（n2+n），
因此8能整除（4n2+4n），所以可以得出（4n2+4n+1）被8除余1，
即奇數(shù)的平方被8除余1．
（2）由（1）可知10個奇數(shù)的平方之和被8除余數(shù)為2，
2006除以8余數(shù)為6，兩數(shù)被8除余數(shù)不同，
也就證明2006不能表示為10個奇數(shù)的平方之和．

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