(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
2．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且對(duì)稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．
7．（2023·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時(shí)，連接交于點(diǎn)D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；
線段最值問(wèn)題
1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
【分析】（1）將點(diǎn)，代入解析式即可求解；
（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時(shí)，可求，，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意得
解得，
故拋物線的表達(dá)式；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)D作直線軸，
，，，
①如圖，當(dāng)時(shí)，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合題意，舍去，
，
；
②如圖，當(dāng)時(shí)，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．
2．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且對(duì)稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，
把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
∴直線l的解析式為；
（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴．
把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵軸，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，
∴．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是．
3．（2023·湖北襄陽(yáng)·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．

(1)如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為．
①求拋物線的解析式并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
③當(dāng)時(shí).動(dòng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，令，求的最大值．
(2)當(dāng)拋物線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為.當(dāng)直線同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；②的值為或1；③取得最大值
(2)的取值范圍為或
【分析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得，即可求得，①利用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得答案；
③把代入，可得，設(shè)點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（2）利用配方法可得，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，可得，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在、之間，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，同理可求得答案．
【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①拋物線的解析式為，
∵，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)，即時(shí)，隨增大而減小，
由題意得：，
解得：，（舍去），
∴的值為，
當(dāng)時(shí)，則若時(shí)，的最小值為，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，
由題意得：，
解得：（舍去），，
∴的值為1，
綜上所述，的值為或1；
③由題意得：當(dāng)時(shí)，則，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
設(shè)點(diǎn)，且，
∵軸，
∴，
可得：，則，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
令，得，
∴，
聯(lián)立方程得：，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，如圖，
則，，

∵，
∴，
即，
∴，
化簡(jiǎn)得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在、之間，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，如圖，
則，，

∵，
∴，
即，
∴，
化簡(jiǎn)得：，
令，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴；
綜上所述，的取值范圍為或．
4．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；
(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，則，
故拋物線的表達(dá)式為：①；
（3）解：作，

設(shè)，
，
且相似比為，
則，
故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，
在中，設(shè)邊上的高為，
則，
即，
解得：，
則，
則，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
即點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，
即的最小值為．
5．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)
解得
拋物線的解析式為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得
∴直線的解析式為，

設(shè)，
∵軸，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)在直線上，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
答：的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖2，由題意得，，連接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，如圖所示：

設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
∵點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，
∴，
∵軸，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出輔助線或畫出圖形．

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