1.請將答案填涂在答題卡的指定區(qū)域內.
2.滿分150分，考試時間120分鐘.
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 拋物線的準線方程是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)拋物線準線方程計算即可求解.
【詳解】拋物線準線方程是，
而，所以，
所以拋物線的準線方程是.
故選.
2. 若雙曲線的一個焦點為，則m等于（ ）.
A. B. C. D. 8
【正確答案】D
【分析】利用可得答案.
【詳解】由題意知，，.
故選：D.
3. 以直線恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)直線過定點可得圓心坐標，再結合半徑可得圓的方程.
【詳解】由，得，
令，則，
即直線恒過定點，
則圓的方程為，即，
故選：D.
4. 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點上，卡門位于另一個焦點上．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為（ ）
A. 9cmB. 10cmC. 14cmD. 18cm
【正確答案】A
【分析】由題意，結合橢圓的相關概念，將問題轉化為求，由已知條件離心率，結合其公式，可得答案.
【詳解】設橢圓的方程為，因為此橢圓的離心率為，且，
所以，，所以，
所以根據(jù)題意，結合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達卡門時所經(jīng)過的路程為．
故選：A.
5. 已知橢圓的左、右焦點分別為，點為上一點，若，則的面積為（ ）
A. B. C. 3D. 5
【正確答案】C
【分析】由已知，，結合，得，進而解得，再利用三角形的面積公式求解即可.
【詳解】由橢圓的定義可知，且，
因為，所以，
又，故，
所以．
故選：C
6. 二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
【正確答案】B
【分析】將向量轉化成，然后等式兩邊同時平方表示出向量的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量與的夾角，即可得出答案．
【詳解】解：由條件，知．
即，
，即，
所以二面角的大小為.
故選：B．
7. 在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
【正確答案】C
【分析】利用空間向量的四點共面的定理，得出系數(shù)的關系，再借助基本不等式求出最小值.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵四點共面，
∴，即．
∵，當且僅當時，等號成立，
∴的最小值為1．
故選：C
8. 已知是橢圓的左，右焦點，A，B是橢圓C上的兩點．若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】設，結合題意可得，根據(jù)橢圓定義整理可得，根據(jù)向量關系可得∥，且，同理結合橢圓定義可得，進而可求離心率.
【詳解】由題意可知：，
設，

因為，則，可得，
由橢圓定義可知：，即，
整理可得；
又因為，則∥，且，
則，可得，
由橢圓定義可知：BF1+BF2=2a，即，
整理可得；
即，可得，
所以橢圓C的離心率.
故選：B.
方法點睛：橢圓的離心率(離心率范圍)的求法
求橢圓的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 已知拋物線的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結合點在拋物線上，對每個選項逐一求解即可.
【詳解】對：由題意可知，由，可得，故A正確；
對B：當x=2時，，解得，即，故B錯誤；
對C：，故C錯誤；
對D：，故D正確；
故選：AD.
10. 下列說法錯誤的是（ ）
A. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 過兩點的所有直線，其方程均可寫為
D. 已知，若直線與線段有公共點，則
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯誤；由直線斜率和傾斜角關系可求得B正確；根據(jù)直線兩點式方程無法表示的直線可知C錯誤；求得所過定點后，由兩點連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結合圖象可確定D錯誤.
【詳解】對于A，當時，兩直線分別為和，此時兩直線垂直，充分性成立；
若兩直線垂直，則，解得：或，必要性不成立；
“”是“直線與直線互相垂直”充分不必要條件，A錯誤；
對于B，由直線得：，
直線的斜率，即，
又，，B正確；
對于C，平行于坐標軸的直線，即或時，直線方程不能寫為，C錯誤；
對于D，由得：，直線恒過定點；

，，
結合圖象可知：，，D錯誤.
故選：ACD.
11. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點P是雙曲線C的右支上一點，過點P的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于M，N，則（ ）
A. 的最小值為8
B. 若直線l經(jīng)過，且與雙曲線C交于另一點Q，則的最小值為6
C. 為定值
D. 若直線l與雙曲線C相切，則點M，N的縱坐標之積為
【正確答案】ACD
【分析】設出點P坐標，直接計算可判斷A、C；比較雙曲線的通徑長和實軸長可判斷B；設出直線l的方程后聯(lián)立漸近線方程，求出點M，N的坐標，再聯(lián)立直線l與雙曲線方程，利用判別式為零可得參數(shù)關系，進而計算點M，N的縱坐標之積可得結果.
【詳解】依題意，，，，，，
設，則，，即，
雙曲線C的兩條漸近線方程為，
對于A，，A正確；
對于B，若Q在雙曲線C的右支，則通徑最短，通徑為，
若Q在雙曲線C的左支，則實軸最短，實軸長為，B錯誤；
對于C，
是定值，C正確；
對于D，不妨設，，直線l的方程為，
由得，
若直線l與雙曲線C相切，則，
化簡整理得，
則點M，N的縱坐標之積，D正確.
故選：ACD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 過點作圓的切線，切點為，則線段的長為__________.
【正確答案】
【分析】以勾股定理即可求得線段的長.
【詳解】圓的圓心，半徑
則
則
故
13. 已知橢圓：的離心率為，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，P為橢圓C上任意一點，的最大值為．設點，則的最小值為______．
【正確答案】##
【分析】首先根據(jù)題目條件求出和，然后根據(jù)橢圓定義進行轉換，求出的最小值.
【詳解】設橢圓C的半焦距為c，由題意，得，，所以，．
設橢圓C的左焦點為，則，
所以．
故．
14. 已知直四棱柱，，底面是邊長為1的菱形，且，點E為的中點，點H是棱上的動點.則直線與直線所成角的正切值的最小值為__________.
【正確答案】
【分析】利用直四棱柱的特征建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算線線夾角，結合函數(shù)值域的求法計算最值即可.
【詳解】
連接上、下底面的對角線，交點分別為，根據(jù)題意易知兩兩垂直，
故可建立如上圖所示的空間直角坐標系，
則,
設，所以，
，
設直線與直線所成角為，
則，
令λ+122λ2+3=tt>0?t?1λ2?24λ+3t?144=0，
顯然時，不符合題意，則，
要使兩直線夾角正切最小，即使其夾角余弦最大，即時，此時，
所以.
故答案為.
方法點睛：異面直線夾角常通過平移直線形成共面直線計算夾角，本題可通過幾何法確定線面關系，思維量大，計算量?。灰部赏ㄟ^直接建系利用空間向量計算，思維量小，計算量大.
四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 已知直線與直線．
（1）若，求m的值；
（2）若點在直線上，直線過點P，且在兩坐標軸上的截距之和為0，求直線的方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由題意可知，所以可得，從而可求出m的值；
（2）將點的坐標代入直線的方程中，求出m的值，從而可得點的坐標，然后設出直線方程，利用兩坐標軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程
【小問1詳解】
因為，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
【小問2詳解】
因為點在直線上，
所以，得，所以點的坐標為，
所以設直線的方程為（），
令，則，令，則，
因為直線在兩坐標軸上的截距之和為0，
所以，解得或，
所以直線的方程為或.
16. 已知橢圓長軸長為4，且橢圓離心率，其左右焦點分別為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由橢圓的基本性質得到橢圓的值，寫出橢圓方程.
（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，由點到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.
【小問1詳解】
由題意可知：，則，
∵，∴，
∴，
∴橢圓
【小問2詳解】
，∴直線：，
聯(lián)立方程組得,
設，
則，
點到直線的距離
∴

17. 如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）先應用線面垂直判定定理得出平面再應用線面垂直性質得出線線垂直，即可證明線面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，應用空間向量法求線面角正弦值即可.
【小問1詳解】
因為是正三角形，M為AB中點，所以CM⊥AB，
因為平面平面ABC，所以，
又平面
所以平面
又因為平面，所以，
連接，易得，
所以，所以，
又因為，所以，
因為，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
取AC中點O，連接，易知三條直線兩兩垂直，
以O為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，
由（1）知平面的一個法向量為，又，
所以，
所以直線與平面所成的角的正弦值為．
18. 已知雙曲線：離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．
（1）求雙曲線的方程．
（2）若，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？若存在求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）點，直線交直線于點．設直線、的斜率分別、，求證：為定值．
【正確答案】（1）；
（2）不存在，理由見解析；
（3）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得雙曲線方程；
（2）設，聯(lián)立方程，利用韋達定理判斷是否為零即可；
（3）用兩點坐標表示出直線，得點坐標，表示出，結合韋達定理，證明為定值．
【小問1詳解】
由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，所以雙曲線的方程為．
【小問2詳解】
雙曲線的左焦點為，
當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，不符合題意，
當直線的斜率不為0時，設，
由，消去得，
顯然，，
設Ax1,y1,Bx2,y2，則，得，
于是，
，
即，因此與不垂直，
所以不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．
【小問3詳解】
由直線，得，
則，又，
于是
，
而，即有，且，
所以，即為定值．
方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
19. 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點，的距離之比，是一個常數(shù)，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于，（點在軸上方），點，是橢圓上異于，的兩點，平分，平分．
①求的取值范圍；
②將點、、看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的面積為，求直線的方程．
【正確答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3，利用定義進行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，由幾何關系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計算直線方程.
【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得
∴，，橢圓的方程為
方法（2）設，由題意（常數(shù)），
整理得：，
故，又，解得：，．
∴，橢圓的方程為．
方法（3）設，則．
由題意
∵為常數(shù)，∴，又，解得：，，故
∴橢圓的方程為
（2）①由，又，
∴（或由角平分線定理得）
令，則，設，則有，
又直線的斜率，則，代入得：
，即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，
，，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，設該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，
則有，即，解得：．
又，故，∴
又，
∴，
解得：，，
∴，∴直線的方程為．
關鍵點點睛：本題考查軌跡問題，考查直線與橢圓的位置關系，以及外接圓，新定義的綜合應用，屬于難題，本題的關鍵是讀懂題意，并根據(jù)幾何關系進行消參，轉化與化歸，是本題的關鍵也是難點

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