1. 已知，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】結(jié)合向量的夾角公式，以及向量的夾角的范圍，即可求解；
【詳解】因?yàn)?，設(shè)向量與的夾角為
所以，
又因?yàn)椋?br>故選：B.
2. “”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意由得出或，然后根據(jù)充分和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由得或，
所以由可以得到，但由不一定得到，
所以是的充分不必要條件.
故選：A.
3. 已知，則的最小值是
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式求出代數(shù)式的最小值，然后在不等式兩邊同時(shí)除以可得出答案．
【詳解】因?yàn)?，
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選B．
本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應(yīng)用．
4. 2020年第1期深圳車牌搖號(hào)競(jìng)價(jià)指標(biāo)共6668個(gè)，某機(jī)構(gòu)從參加這期車牌競(jìng)拍且報(bào)價(jià)在1～8萬(wàn)元的人員中，隨機(jī)抽取了若干人的報(bào)價(jià)，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)整理結(jié)果如下：
則在這些競(jìng)拍人員中，報(bào)價(jià)不低于5萬(wàn)元的人數(shù)為（ ）
A. 30B. 42C. 54D. 80
【正確答案】C
【分析】先設(shè)競(jìng)拍人員總數(shù)，再根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)得出總數(shù)，根據(jù)低于5萬(wàn)元的人數(shù)計(jì)算求出不低于5萬(wàn)元得人數(shù).
【詳解】設(shè)競(jìng)拍人員總數(shù)為，由解得；
第三組的頻數(shù)為
報(bào)價(jià)低于5萬(wàn)元的人數(shù)為，
報(bào)價(jià)不低于5萬(wàn)元得人數(shù)為人.
故選：C.
5. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 方程表示過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線
B. 直線與y軸的交點(diǎn)為，其中截距
C. 在x軸、y軸上的截距分別為a、b的直線方程為
D. 方程表示過(guò)任意不同兩點(diǎn)，的直線
【正確答案】D
【分析】分別由直線的點(diǎn)斜式方程、直線在軸上的截距、直線的截距式方程、兩點(diǎn)式方程的變形逐一核對(duì)，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由表示過(guò)點(diǎn)且斜率存在，且不含點(diǎn)Px1,y1直線，所以A不正確；
對(duì)于B中，直線與y軸交于一點(diǎn)，其中截距不是距離，截距為點(diǎn)的坐標(biāo)，其值可正可負(fù)可為0，所以B不正確；
對(duì)于C中，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線在坐標(biāo)軸上的截距都是，不能表示為，所以C不正確；
對(duì)于D中，方程為直線的兩點(diǎn)式方程的變形，可以表示過(guò)任意兩點(diǎn)，的直線，所以D正確.
故選：D.
6. 求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】先計(jì)算出兩圓的交點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的一般方程.
【詳解】與相減得：，
將代入得：，
即，
設(shè)兩圓和的交點(diǎn)為，
則，，則，
不妨設(shè)，
所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為-1，
所以線段的垂直平分線為，
與聯(lián)立得：，
故圓心坐標(biāo)為，半徑，
所以圓的方程為，
整理得：
故選：D
7. 若過(guò)直線上一點(diǎn)M向圓Γ：作一條切線于切點(diǎn)T，則的最小值為（ ）
A. B. 4C. D.
【正確答案】D
【分析】要使最小，則圓心到直線的距離最小，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理求解.
【詳解】圓Γ：的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
要求的最小，則圓心到直線的距離最小，為，
∴的最小值為，
故選：D.
本題主要考查圓的切線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且滿足，則的面積為
A. B. C. 2D. 1
【正確答案】D
【詳解】 ，所以，所以 ， ， ，解得： ，所以三角形的面積為 ，故選D.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 袋內(nèi)有個(gè)白球和個(gè)紅球，有放回的從中抽取兩次，每次從中隨機(jī)取出一個(gè)球，則（ ）
A. 次取到的都是紅球的概率為
B. 次取到的都是紅球的概率為
C. 次取到的球恰好是一紅一白的概率為
D. 次取到的球恰好是一紅一白的概率為
【正確答案】AD
【分析】利用獨(dú)立事件的概率公式可判斷AB選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】記事件第次取到白球，事件第次取到紅球，
則事件與、與、與、與相互獨(dú)立，
且，，
對(duì)于AB選項(xiàng)，次取到的都是紅球?yàn)槭录?br>其概率為，A對(duì)B錯(cuò)；
對(duì)于CD選項(xiàng)，次取到的球恰好是一紅一白為事件，
其概率為
，C錯(cuò)D對(duì).
故選：AD.
10. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中（ ）
A. 與的夾角為
B. 平面與平面夾角正切值為
C. 與平面所成角的正切值
D. 點(diǎn)到平面的距離為
【正確答案】BCD
【分析】如圖，以為原點(diǎn)，所在有直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐個(gè)求解判斷即可.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在有直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
對(duì)于A，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?
所以，令，則，
因?yàn)槠矫妫?br>平面的一個(gè)法向量為，
所以，
設(shè)平面與平面夾角為（為銳角），則，
所以，所以，
所以平面與平面夾角的正切值為，所以B正確，
對(duì)于C，，平面的法向量為，
設(shè)與平面所成角為，則
因?yàn)闉殇J角，所以，
所以，
所以與平面所成角正切值，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)?，平面的法向量為?br>所以點(diǎn)到平面的距離為
，所以D正確，
故選：BCD
11. 已知橢圓，、分別為它的左右焦點(diǎn)，、分別為它的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1
B. 的最小值為
C. 若為直角三角形，則的面積為
D. 的范圍為
【正確答案】ACD
【分析】對(duì)于A,利用焦半徑的范圍求解即可；對(duì)于B，利用位于橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大求解即可；對(duì)于C，利用點(diǎn)坐標(biāo)求的面積即可；對(duì)于D，設(shè)利用二次函數(shù)求的范圍即可.
【詳解】對(duì)A，易知，則，故A正確；
對(duì)B，位于橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，
此時(shí)最小，且
故此時(shí)為等邊三角形，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若為直角三角形，由B知， ，
所以或，不妨設(shè)，
則此時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入，得，
故的面積為：，故C正確；
對(duì)D，,設(shè)
則，
由得：，
故，
故，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 兩圓與上的點(diǎn)之間的最短距離是________.
【正確答案】
【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，計(jì)算出圓心距，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得兩圓上的點(diǎn)之間的最短距離.
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
圓心距為C1C2=?1?22+2+12=32>r1+r2，即兩圓外離，
故兩圓上的點(diǎn)之間的最短距離為.
故答案為.
13. 在三棱錐中，平面，設(shè)三棱錐外接球體積為，則__________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體外接球得半徑公式求出半徑，再求出外接球體積及三棱錐體積，最后求出比列即可.
【詳解】由于，故.
將三棱錐補(bǔ)形為邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方體，
則其外接球半徑，
故.
故答案為.
14. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，，若原點(diǎn)到直線的距離為，則該橢圓的離心率為____．
【正確答案】
【分析】由，求得，過(guò)作，根據(jù)題意得到，根據(jù)，得到，整理得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋环猎O(shè)點(diǎn)，其中，
代入橢圓方程，可得，解得，
所以，即，
過(guò)作，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因?yàn)?，解得，即橢圓的離心率為.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，求面積．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以，解得：?br>【小問(wèn)2詳解】
由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
16. 已知圓：，直線過(guò)定點(diǎn)．
（1）若與圓相切，求直線的方程；
（2）若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，求的最大值和最小值．
【正確答案】（1），；
（2）最大值 ，最小值.
【分析】（1）根據(jù)直線和圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑列式子求得值；
（2）將式子化簡(jiǎn)得到，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓心到的距離，加減半徑，即求得最值.
【小問(wèn)1詳解】
①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意；
②若直線斜率存在，設(shè)直線為，即．
由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，即，解得．
故所求直線方程為，．
【小問(wèn)2詳解】
，可以看作圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方．把點(diǎn)代入圓的方程：，所以點(diǎn)在圓外．所以圓上的點(diǎn)到的最大距離為，最小距離為（其中為圓心到的距離），又，故最大距離為，最小距離為，所以，．
17. 近兩年旅游業(yè)迎來(lái)強(qiáng)勁復(fù)蘇，外出旅游的人越來(lái)越多．A，B兩家旅游公司過(guò)去6個(gè)月的利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)如下：
利潤(rùn)率，盈利為正，虧損為負(fù)，且每個(gè)月的成本不變．
（1）比較A，B兩公司過(guò)去6個(gè)月平均每月利潤(rùn)率的大??；
（2）用頻率估計(jì)概率，且假設(shè)A，B兩公司每個(gè)月的盈利情況是相互獨(dú)立的，求未來(lái)的某個(gè)月A，B兩公司至少有一家盈利的概率．
【正確答案】（1）公司過(guò)去6個(gè)月平均每月的利潤(rùn)率大于B公司過(guò)去6個(gè)月平均每月的利潤(rùn)率；
（2）.
【小問(wèn)1詳解】
A公司過(guò)去6個(gè)月平均每月的利潤(rùn)率為，
B公司過(guò)去6個(gè)月平均每月的利潤(rùn)率為，
因?yàn)椋?br>所以A公司過(guò)去6個(gè)月平均每月的利潤(rùn)率大于B公司過(guò)去6個(gè)月平均每月的利潤(rùn)率．
【小問(wèn)2詳解】
A公司過(guò)去6個(gè)月盈利的頻率為，
B公司過(guò)去6個(gè)月盈利的頻率為，
用頻率代替概率，可知A，B兩公司未來(lái)某個(gè)月盈利的概率分別為．
設(shè)A，B兩公司盈利分別為事件，，由題知與相互獨(dú)立，
所以所求概率為．
18. 如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，若是的中點(diǎn)，
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）直線與平面是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由：
（3）求到平面的距離.
【正確答案】（1）
（2）不垂直，理由見解析
（3）
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；
（2）利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷可得出結(jié)論；
（3）利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.
【小問(wèn)1詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
，，
所以，，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.
【小問(wèn)2詳解】
，則，所以，與不垂直，
故與平面不垂直.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)平面的法向量為，，
則，取，可得，
因?yàn)椋瑒t點(diǎn)到平面的距離為.
19. 已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，，分是橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求的最大值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用所給條件，列出關(guān)于、、的方程組，解方程組可得、、值，即可得解；
（2）可設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可用表示三角形的面積，在根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：依題意得， 解得，
故所求橢圓方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，設(shè)、，的方程為，
代入橢圓的方程，整理得，
所以，，
，
令，則，又在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，
所以的最大值為．報(bào)價(jià)區(qū)間
（單位：萬(wàn)元）
3,4
頻數(shù)
10
36
40
A公司
3
2
1
B公司
2
2
2

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