考試時間：120分鐘 試卷總分：150分
注意事項：
1.答題前填寫好自己的姓名?班級?考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
一?單選題（本題共8個小題，每題5分，共40分）
1. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知，，且滿足，則的最小值為（ ）
A. 2B. 3C. D.
4. 計算（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
6. 設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應點位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
7. 甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別為0.6,0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，則它是被甲擊中的概率是( )
A. 0.45B. 0.6C. 0.65D. 0.75
8. 函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能為（ ）
A B. C. D.
二?多選題（本題共4個小題，每題5分，共20分）
9. 已知橢圓：，關(guān)于橢圓下述正確的是（ ）
A. 橢圓的長軸長為
B. 橢圓的兩個焦點分別為和
C. 橢圓的離心率等于
D. 若過橢圓的焦點且與長軸垂直的直線與橢圓交于，則
10. 雙曲線的標準方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 該曲線兩頂點的距離為
B. 該曲線與雙曲線有相同的漸近線
C. 該曲線上的點到右焦點的距離的最小值為1
D. 該曲線與直線：，有且僅有一個公共點
11. 已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，若，則（ ）
A. B.
C. D. 的坐標為
12. 已知函數(shù)的圖象為C，則（ ）
A. 圖象C關(guān)于直線對稱
B. 圖象C關(guān)于點中心對稱
C. 將的圖象向左平移個單位長度可以得到圖象C
D. 若把圖象C向左平移個單位長度，得到函數(shù)圖象，則函數(shù)是奇函數(shù)
三?填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）
13. 過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝________.
14. 已知點P是橢圓1上一點，，是橢圓的兩個焦點，若＝0，則△P的面積為________．
15. 已知圓與直線相切于點，則直線方程為__，設直線與圓相交于，兩點，則__.
16. 如圖，已知正三角形ABC的三個頂點都在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，且，則球O的半徑為__________．則球O的表面積為__________．
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
17. 已知、、是的內(nèi)角，、、分別是其對邊長，向量，，且.
（1）求角的大??；
（2）若，求面積的最大值.
18. 某學校為培養(yǎng)學生的興趣愛好，提高學生的綜合素養(yǎng)，在高一年級開設各種形式的校本課程供學生選擇(如書法講座、詩歌鑒賞、奧賽講座等)．現(xiàn)統(tǒng)計了某班50名學生一周用在興趣愛好方面的學習時間(單位：h)的數(shù)據(jù)，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五組，得到了如下的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中m的值及該班學生一周用在興趣愛好方面的平均學習時間；
(2)從[4，6)，[6，8)兩組中按分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)組中的概率．
19. 已知拋物線C頂點在原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點，一條斜率為的直線過拋物線C的焦點，且與C交于A，B兩點，
（1）求拋物線方程；
（2）求弦的長度；
20. 在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中點O為球心，BD為直徑的球面交PD于點M.
(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直線PC與平面ABM所成的角的正切值．
21. 橢圓的左右焦點分別為，，其中，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.
（1）求橢圓的標準方程及離心率；
（2）過點斜率為2的直線交橢圓于A、B兩點.求面積.
22. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的離心率e=，直線過A（a，0），B（0，－b）兩點，原點O到的距離是
（1）求雙曲線的方程？
（2）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若=－23，求直線m的方程？大慶中學2023-2024學年度下學期開學考試
高二年級數(shù)學試卷
考試時間：120分鐘 試卷總分：150分
注意事項：
1.答題前填寫好自己的姓名?班級?考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
一?單選題（本題共8個小題，每題5分，共40分）
1. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，
可得命題“，”的否定為：“，”.
故選：B.
3. 已知，，且滿足，則的最小值為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，根據(jù)基本不等式“1”的代換，計算即可得答案.
【詳解】因為，所以，
所以，
當且僅當時，即，時取等號．
所以的最小值為.
故選：C
4. 計算（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
先化簡，再結(jié)合換底公式即可求解
【詳解】
故選：A
【點睛】本題考查對數(shù)的化簡求值，屬于基礎題
5. 已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的數(shù)量積即可求解.
【詳解】，，
，.
又，.
故選：C.
【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎題.
6. 設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【詳解】試題分析：由題意得 ，所以在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點為在第二象限．
故選B．
考點：復數(shù)的運算；復數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義.
7. 甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別為0.6,0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，則它是被甲擊中的概率是( )
A. 0.45B. 0.6C. 0.65D. 0.75
【答案】D
【解析】
【詳解】根據(jù)題意，記甲擊中目標為事件，乙擊中目標為事件，目標被擊中為事件，則.
∴目標是被甲擊中的概率是
故選D
8. 函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除B；結(jié)合函數(shù)值的正負，得到正確結(jié)果.
【詳解】因為f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，所以y＝f(x)·g(x)為奇函數(shù)，排除B；由兩函數(shù)的圖象可知當x∈時，y＝f(x)·g(x)0，所以只有選項A符合題意，
故選：A．
二?多選題（本題共4個小題，每題5分，共20分）
9. 已知橢圓：，關(guān)于橢圓下述正確的是（ ）
A. 橢圓的長軸長為
B. 橢圓的兩個焦點分別為和
C. 橢圓的離心率等于
D. 若過橢圓的焦點且與長軸垂直的直線與橢圓交于，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】
橢圓方程化為標準方程，求出，然后判斷各選項．
【詳解】由已知橢圓標準方程為，則，∴．
長軸長為，A正確；兩焦點為，B錯誤；離心率為，C正確；
代入橢圓方程得，解得，∴，D正確．
故選：ACD．
10. 雙曲線的標準方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 該曲線兩頂點的距離為
B. 該曲線與雙曲線有相同的漸近線
C. 該曲線上的點到右焦點的距離的最小值為1
D. 該曲線與直線：，有且僅有一個公共點
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的方程，確定雙曲線的幾何性質(zhì)，求出頂點坐標得距離判斷A，求出雙曲線的漸近線方程判斷B，由雙曲線上點到焦點距離的最小值的結(jié)論判斷C，根據(jù)漸近線的性質(zhì)判斷D．
【詳解】由已知雙曲線中，則，頂點為和，距離為2，A錯；
該雙曲線的漸近線方程是，而雙曲線的漸近線方程是，不相同，B錯；
該雙曲線上的點到焦點的距離的最小值為，C正確；
直線與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線有且只有一個公共點，D正確，
故選：CD．
11. 已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，若，則（ ）
A. B.
C. D. 的坐標為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義逐項判斷即可.
【詳解】由拋物線：，可得，故D錯誤；
由拋物線的定義可得，所以，故A正確；
因為點在拋物線上，
所以，所以，故B錯誤；
則，故C正確.
故選：AC.
12. 已知函數(shù)的圖象為C，則（ ）
A. 圖象C關(guān)于直線對稱
B. 圖象C關(guān)于點中心對稱
C. 將的圖象向左平移個單位長度可以得到圖象C
D. 若把圖象C向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)是奇函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】利用代入檢驗法可判斷AB的正誤，利用圖象變換可判斷CD的正誤.
【詳解】當時，，
故圖象C關(guān)于直線對稱，故A正確.
當時，，
故圖象C不關(guān)于點中心對稱，故B不正確.
將的圖象向左平移個單位長度可以得到圖象對應的解析式為，故C正確.
若把圖象C向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
故，
而，故不是奇函數(shù)，故D錯誤.
故選：AC.
三?填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）
13. 過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|＝________.
【答案】
【解析】
【分析】由雙曲線方程求出右焦點為F(2，0)，然后把代入雙曲線的漸近線方程中求出的值，可得A，B兩點的縱坐標，從而可求出|AB|的值
【詳解】雙曲線右焦點為F(2，0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為，將x＝2代入，得y2＝12，，
故|AB|＝.
故答案為：
【點睛】此題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎題
14. 已知點P是橢圓1上一點，，是橢圓的兩個焦點，若＝0，則△P的面積為________．
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出，根據(jù)即得的面積.
【詳解】
因為＝0，所以⊥，
所以△是直角三角形．
由橢圓定義知||＋||＝6，①
又，②
由－②得，
因為，
所以.
故答案為：20.
15. 已知圓與直線相切于點，則直線的方程為__，設直線與圓相交于，兩點，則__.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】
先代入切點的坐標求出，再求出圓心的坐標，利用圓的切線與過切點的半徑垂直求出直線的斜率，從而求出直線的方程；再求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理求弦長.
【詳解】將點代入圓的方程，得，即，
圓心坐標為，，得切線的斜率為.
直線的方程為：，即：；
圓的圓心坐標為，半徑為2，
則到直線的距離為，
.
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用垂徑定理求弦長是解題關(guān)鍵.本題考查運算求解能力，是中檔題.
16. 如圖，已知正三角形ABC的三個頂點都在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，且，則球O的半徑為__________．則球O的表面積為__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由題意得，正三角形的外接圓半徑為，則，可求球的表面積.
【詳解】
設正的外接圓圓心為，知，在中，
∵球心O到平面ABC的距離為1，
∴，∴球O的表面積為．
故答案為：①2；②.
【點睛】本題主要考查球的表面積，關(guān)鍵是構(gòu)造的直角三角形中找半徑.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
17. 已知、、是的內(nèi)角，、、分別是其對邊長，向量，，且.
（1）求角的大??；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得出，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的大??；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可得出答案.
【詳解】（1），，，
，
由正弦定理得，整理得，
，
，；
（2）在中，，，
由余弦定理知，
由基本不等式得，當且僅當時等號成立，，
，因此，面積的最大值為.
【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了三角形面積最值的計算，涉及基本不等式以及正弦定理邊角互化思想的應用，考查計算能力，屬于中等題.
18. 某學校為培養(yǎng)學生的興趣愛好，提高學生的綜合素養(yǎng)，在高一年級開設各種形式的校本課程供學生選擇(如書法講座、詩歌鑒賞、奧賽講座等)．現(xiàn)統(tǒng)計了某班50名學生一周用在興趣愛好方面的學習時間(單位：h)的數(shù)據(jù)，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五組，得到了如下的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中m的值及該班學生一周用在興趣愛好方面的平均學習時間；
(2)從[4，6)，[6，8)兩組中按分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)組中的概率．
【答案】（1）m=0.1，平均時間為5.08；（2）
【解析】
【分析】(1)首先根據(jù)概率之和為1即可計算出的值，然后通過計算每一組的概率乘時間并求和即可計算出平均學習時間；
(2)本題首先可以通過分層抽樣相關(guān)性質(zhì)來確定以及兩組中所抽取的人數(shù)，然后寫出從6人中抽取2人的所有可能事件以及恰有一人在組中的所有可能事件，兩者相除，即可得出結(jié)果．
【詳解】（l）由直方圖可得：，所以，
學生的平均學習時間：；
（2）由直方圖可得：中有人，中有人，
根據(jù)分層抽樣，需要從中抽取人分別記為，
從中抽取人分別記為，
再從這人中抽取人，所有的抽取方法有共15種，
其中恰有一人在組中的抽取方法有
共8種，
所以，從這人中抽取人，恰有人在組中的概率為．
【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的相關(guān)性質(zhì)以及分層抽樣的相關(guān)性質(zhì)，考查了補全頻率分布直方圖以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，考查了分層抽樣的使用以及概率的求法，考查了推理能力，是中檔題．
19. 已知拋物線C頂點在原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點，一條斜率為的直線過拋物線C的焦點，且與C交于A，B兩點，
（1）求拋物線方程；
（2）求弦的長度；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意設拋物線為，結(jié)合所過的點求拋物線方程；
（2）由（1）及題設有直線，聯(lián)立拋物線，應用韋達定理及弦長公式求.
【小問1詳解】
由題意，可設拋物線為，又拋物線經(jīng)過點，
所以，則拋物線方程為.
【小問2詳解】
由（1）知：拋物線焦點為，則直線，
代入拋物線消去y，得，則，顯然，
所以，，則.
20. 在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中點O為球心，BD為直徑的球面交PD于點M.
(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直線PC與平面ABM所成角的正切值．
【答案】（1）見解析；（2）2
【解析】
【分析】(1)先證明PD⊥平面ABM，再證明平面ABM⊥平面PCD.(2) 設平面ABM與PC交于點N，連接BN，MN，再證明∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，再解三角形求得直線PC與平面ABM所成的角的正切值.
【詳解】（1）證明：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD
因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)設平面ABM與PC交于點N，連接BN，MN，
因為AB∥CD，所以AB∥平面PCD，則AB∥MN∥CD.
由(1)知，PD⊥平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，
且∠PNM＝∠PCD，tan∠PNM＝tan∠PCD＝＝2.
即所求角的正切值為2.
【點睛】(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查直線和平面所成的角的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2) 直線和平面所成的角的求方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.
21. 橢圓的左右焦點分別為，，其中，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.
（1）求橢圓的標準方程及離心率；
（2）過點的斜率為2的直線交橢圓于A、B兩點.求面積.
【答案】（1）橢圓方程為，離心率為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義得到，，進而求出，得到橢圓方程和離心率；
（2）直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到，求出，并求出點到直線的距離，計算出三角形面積.
【小問1詳解】
由題意得，，解得，
故，
故橢圓的標準方程為，
離心率為；
【小問2詳解】
直線方程為，聯(lián)立得，
，解得，
故，
不妨設，
故，
點到直線的距離為，
故.
22. 已知雙曲線（a＞0,b＞0）的離心率e=，直線過A（a，0），B（0，－b）兩點，原點O到的距離是
（1）求雙曲線的方程？
（2）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若=－23，求直線m的方程？
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先求出直線l的方程，再點到直線的距離公式建立關(guān)于a，b，c的方程，解這個方程求出a，b，從而得到雙曲線的方程；
（2）設出直線m方程，點M、N坐標，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應用韋達定理得，代入數(shù)量積計算出參數(shù)，得直線方程．
【詳解】（1）由題意直線的方程為，即，
所以，又，
解得a2=3，b2=1
雙曲線方程為
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2）
∵B（0，－1）， 直線m的斜率顯然存在
∴設直線m方程為y+1=k x
得（1－3k2）x2+6kx－6=0
由⊿＞0解得
又有x1 x2=，，
，
∵=－23
∴x1 x2+ y1 y2=－23
∴+1=－23
解得k=±滿足條件
∴直線m方程為y=±x-1

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