1．已知直線過點(diǎn)且與直線平行，則直線的一般式方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
4．正方體的棱長為，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知點(diǎn)F，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知 ，是橢圓上的動點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程是
A．B．
C．D．
7．已知平面的一個法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（ ）
A．B．C．D．
8．若圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則
B．若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面
C．若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角
D．若空間向量，，則在上的投影向量為
10．已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．直線恒過點(diǎn)
B．圓與圓公共弦所在直線方程為
C．直線被圓截得的最短弦長為
D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對關(guān)于直線對稱的點(diǎn)
11．2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）

A．橢圓的長軸長為
B．線段長度的取值范圍是
C．面積的最小值是4
D．的周長為
三、填空題
12．已知橢圓（）的一個焦點(diǎn)是（，0），則橢圓的長軸長是 .
13．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則到直線距離的最小值為 .
14．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
15．已知直線和圓．
(1)若直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦的長；
(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．
16．已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．
17．如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為，是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接.
(1)求證：平面平面；
(2)若是的中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
18．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.
(1)求橢圓的方程；
(2)求中點(diǎn)E的軌跡方程；
(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.
19．如圖，在四棱錐中，面，且，分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，說明理由；
(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足，若不存在，請簡單說明理由；若存在，請寫出點(diǎn)的軌跡圖形形狀.
答案：
1．B
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.
【詳解】直線的斜截式方程為，則其斜率為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與直線平行，所以，
則直線的點(diǎn)斜式方程為，即為．
故選：B.
2．A
【分析】根據(jù)兩直線垂直解得或，根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】若兩直線垂直，則，解得：或，
顯然集合是集合的真子集，
所以 “”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
3．B
【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，，可得為直角三角形，進(jìn)而可得解.
【詳解】由，得，，
即，，
又，
則，，
所以為直角三角形，，
所以，
故選：B.
4．D
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.
【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為，
所以，
故選：D.
5．B
【分析】首先根據(jù)推斷出，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可知，把進(jìn)而整理關(guān)于a和c的方程求得即離心率e的值.
【詳解】
，，
，即，
整理得，即，
等號兩邊同時(shí)除以得，即，求得，
，，
故選：B.
6．B
【分析】求軌跡方程可設(shè)動點(diǎn)，，再利用求出關(guān)于的坐標(biāo)關(guān)系式，再將坐標(biāo)表達(dá)式代入橢圓方程即可．
【詳解】設(shè)動點(diǎn)，，因?yàn)?，?，化簡得，又在橢圓上，故，化簡得，故選B．
求軌跡方程可直接設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)題目所給信息，用含有的表達(dá)式表達(dá)已知方程上的動點(diǎn)，再帶入滿足的方程化簡即可．
7．C
【分析】由空間向量法可得出，即可得解.
【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，
且，則點(diǎn)到平面的距離.
故選：C.
8．C
【分析】求出與直線平行且到直線的距離為1的直線的方程為和，數(shù)形結(jié)合可知，圓與直線相交，與直線相離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的取值范圍.
【詳解】如圖所示.
設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，
則，解得或，
圓心到直線的距離為，
圓到直線的距離為，
由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，
所以，即.
故選：C
9．ABD
【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析A，由空間向量基本定理分析B，由向量平行的性質(zhì)分析C，由投影向量分析D．
【詳解】對于A：若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，易得，即，則有，A正確；
對于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；
對于C：當(dāng)， 反向共線時(shí)， 也成立，但與夾角不為鈍角，C錯誤；
對于D，在上的投影向量為，D正確．
故選：ABD．
10．BCD
【分析】選項(xiàng)A，將直線轉(zhuǎn)化成斜截式，即可求解；選項(xiàng)B，利用求兩相交圓公共弦的求法，直接求出公共弦，即可求解；選項(xiàng)C，利用圓性質(zhì)知直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長最短，即可求解；選項(xiàng)D，根據(jù)條件可得直線過圓心，即可求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A，直線，即，所以直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯誤，
對于選項(xiàng)B，因?yàn)榈姆匠虨棰?，圓的方程為②，
由①②得，所以圓與圓公共弦所在直線方程為，故選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，
根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長最短，
又，所以最短弦長為，故選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，直線，因?yàn)?，所以直線過圓心，
故上存在無數(shù)對關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確，
故選：BCD.
11．ABD
【分析】結(jié)合圓的半徑長可求得，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得，由此可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的范圍可判斷B；設(shè)，利用結(jié)合面積公式可求得，取可判斷C；結(jié)合橢圓定義可判斷D.
【詳解】對于A，∵半圓所在圓過點(diǎn)，∴半圓的半徑，
又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，
又，∴，即，
∴橢圓長軸長為，故A正確；
對于B，∵，，
∴，故B正確；
對于C，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，故C錯誤；
對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點(diǎn)，
由橢圓定義知：，
又，∴的周長為，故D正確.
故選：ABD.

12．6
【分析】依題意可得，即可求出參數(shù)，從而求出長軸長；
【詳解】解：因?yàn)闄E圓（）的一個焦點(diǎn)是（，0），所以，即
所以橢圓的長軸長
故
本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
13．
【分析】先求出直線的方程，再求出圓心到直線的距離，然后減去半徑，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋灾本€的方程為，即，
又圓的圓心為，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，
故到直線距離的最小值為.
故答案為.
14．
【分析】考慮直線與曲線相切，且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得，即曲線表示圓的上半圓，
由題意可知直線與曲線有公共點(diǎn)，如下圖所示：
當(dāng)直線與半圓相切且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，
則有，解得.
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與半圓有公共點(diǎn)，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）先由圓的方程得到圓心和半徑，根據(jù)幾何法求弦長，即可得出結(jié)果；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可直接得出切線方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，先設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑列方程，得出的值即可求出直線方程．
【詳解】（1）將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，
所以的圓心為，半徑，
所以到直線：的距離，
所以；
（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，是圓的一條切線；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即，
所以圓心到直線的距離為，
即，解得：，
所以此時(shí)切線方程為，化簡得．
綜上所述，所求的直線方程為：或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫出橢圓方程.
（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到和，用交點(diǎn)弦長公式得到線段長，由點(diǎn)到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.
【詳解】（1）由題意可知：，則，
∵，∴，
∴，
∴橢圓
（2），∴直線：，
聯(lián)立方程組得,
設(shè)，
則，
點(diǎn)到直線的距離
∴

17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，即可得到，再證明，即可得到平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槭菆A的直徑，與圓切于點(diǎn)，所以，
又底面圓，底面圓，
，又，平面，
平面，又平面，，
在中，，，則，，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因?yàn)榈酌鎴A，如圖以為原點(diǎn)，在底面圓內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸，分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
易得，，，，，，
由（1）知，為平面的一個法向量，
設(shè)平面的一個法向量為，
因?yàn)?，?br>由，得到，令，得，，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件列的關(guān)系式求解即可.
（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立可表示點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系可得軌跡方程.
（3）根據(jù)韋達(dá)定理代入中即可得到定值.
【詳解】（1）由題意得，，
又∵，∴，
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線方程為，，
由得，，
由得，，
則，
∴，
∵E為中點(diǎn)，∴，即，
設(shè)，則，
由得，
故中點(diǎn)E的軌跡方程為.
（3）由直線的斜率存在且異于點(diǎn)得，，故且，
∴
，
∴為定值.
19．(1)證明見解析；
(2)存在，理由見解析；
(3)存在，理由見解析.
【分析】（1）過E作交于點(diǎn)G,連接,由線線平面證明面面平行，再由面面平行的性質(zhì)即可得出線面平行的證明；
（2）先求出面的法向量，設(shè) , 利用向量法結(jié)合線面角得正弦值求解即可;
（3）由 點(diǎn)在空間內(nèi)軌跡為以中點(diǎn)為球心, 為半徑的球,而 中點(diǎn)到平面的距離為 , 即可求解.
【詳解】（1）如圖，

過E作交于點(diǎn)G,連接,
面，面，則，
又面，面，且不共線，故，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以也為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
而平面，平面，所以平面，同理平面，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面平面，而平面,
所以平面；
（2）

設(shè)如圖, 以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則，
故，
則，
設(shè)平面的法向量 ,則有 ,取 ,
整理得 , 解得 或(舍去)，
所以當(dāng)時(shí), 直線與平面所成角的正弦值是.
（3）由（2）知，平面的一個法向量，
點(diǎn)中點(diǎn)，則,
則中點(diǎn)到平面的距離為，
由，即故在以中點(diǎn)為球心，半徑為的球面上，
而，故在面上的軌跡是半徑為的圓，
故存在符合題意的， 此時(shí)軌跡是半徑為 的圓.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，根據(jù)題設(shè)有則在以中點(diǎn)為球心，半徑為的球面上，再求中點(diǎn)到面距離，結(jié)合直觀想象及計(jì)算確定在面上的軌跡.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
B
B
C
C
ABD
BCD
題號
11









答案
ABD









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