1.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,則原圖形是( )
A.正方形B.矩形
C.菱形D.一般的平行四邊形
2.《算術書》竹簡于20世紀80年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的數(shù)學著作,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V=136l2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942l2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取( )
A.227 B.258
C.15750 D.355113
3.如圖所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二測畫法下的直觀圖,A′B′在x′軸上,B′C′與x′軸垂直,且B′C′=3,則△ABC的邊AB上的高為( )
A.62 B.33 C.32 D.3
4.南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時,相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為(7≈2.65)( )
A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
5.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為2,這個球的表面積為6π,則這個正四棱柱的體積為( )
A.1B.2C.3D.4
6.如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=3,點E為AB上的動點,則D1E+CE的最小值為( )
A.22 B.10
C.5+1D.2+2
7.已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等,則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是 ,圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是 .
8.司馬遷在《史記·高祖本紀》中借劉邦之口贊美張良:“夫運籌策帷帳之中,決勝于千里之外”.帷帳又名帷幄,是古代行軍打仗必備的帳篷.下圖是一種帷帳的示意圖,帳頂采用“五脊四坡式”,四條斜脊長度相等,一條正脊平行于底面,帷帳主體部分可以看作一個長方體.若該帷帳主體部分長10,寬6,高4,帳頂部分正脊長4,斜脊長34,則它的體積為 .
9.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,求該圓錐內半徑最大的球的體積.
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10.在三棱錐P - ABC中,△ABC是邊長為2的等邊三角形,PA=PB=2,PC=6,則該棱錐的體積為( )
A.1B.3 C.2 D.3
11.(多選題)某班級到一工廠參加社會實踐勞動,加工出如圖所示的圓臺O1O2,在軸截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,則下列說法正確的是( )
A.該圓臺的高為1 cm
B.該圓臺軸截面面積為33 cm2
C.該圓臺的體積為73π3 cm3
D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側面爬行到AD的中點,所經(jīng)過的最短路程為5 cm
12.如圖,四邊形ABCD是正方形,BD是以A為圓心、AB為半徑的弧,將正方形ABCD以AB為軸旋轉一周,求圖中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分經(jīng)旋轉所得幾何體的體積之比.
13.已知圓錐的側面展開圖為半圓,母線長為23.
(1)求圓錐的底面積;
(2)在該圓錐內按如圖所示放置一個圓柱,當圓柱的側面積最大時,求圓柱的體積.
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14.(多選題)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有( )
A.直徑為0.99 m的球體
B.所有棱長均為1.4 m的四面體
C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體
D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體
參考答案
【A級 基礎鞏固】
1.解析:在原圖形OABC中,應有OACB,所以四邊形OABC為平行四邊形,OD=2O′D′=2×22=42(cm),CD=C′D′=2 cm,所以OC=
OD2+CD2=(42)2+22=6(cm),所以OA=OC,故平行四邊形OABC是菱形.故選C.
2.解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl(wèi)2h.由112π≈25942,得π≈15750.故選C.
3.解析:如圖,過C′作C′D′∥O′y′交x′軸于D′,則2C′D′是
△ABC的邊AB上的高.由于△B′C′D′是等腰直角三角形,
則C′D′=2B′C′=32,
所以△ABC的邊AB上的高等于2×32=62.故選A.
4.解析:如圖,由已知得該棱臺的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺的體積V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).故選C.
5.解析:設球的半徑為R,則S表=4πR2=6π,所以R=62.設正四棱柱底面邊長為x,則(22x)2+1=R2,所以x=1,所以V正四棱柱=2.故選B.
6.解析:如圖,連接D1A,C1B,并分別延長至F,G,使得AD=AF,BC=BG,連接EG,FG,因為四棱柱ABCDA1B1C1D1為正四棱柱,所以AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥AF,AB⊥BG,又AB=AD=AF,所以四邊形ABGF為正方形,所以EG=BE2+BG2=BE2+BC2=CE,所以D1E+CE的最小值為D1G,由AD=AB=1,AA1=3,得AD1=2,則D1F=3,D1G=D1F2+FG2=
9+1=10,所以D1E+CE的最小值為10.故選B.
7.解析:設球O的半徑為R,則球O的體積V1=43πR3,表面積S1=4πR2.
由題知圓錐MM′的高為2R,底面半徑為23R3,則圓錐的體積V2=13·
π(23R3)2·2R=8π9R3,表面積S2=π·(23R3)2+π·23R3·(2·23R3)=
4πR2.
則V2V1=23,S2S1=1.
答案:23 1
8.解析:如圖所示,BM,AN分別垂直于底面,過點M,N分別作寬的平行線,連接AC,AF,BD,BE,得到如圖所示的幾何體,
底部長方體的體積是10×6×4=240,帳頂部分被分割成3部分,中間一部分是直三棱柱,兩邊是相同的四棱錐,CD=4,
則BD=(34)2-(10-42) 2=5,
BM=BD2-DM2=52-32=4,
所以帳頂部分的體積V=2×13×6×3×4+12×6×4×4=96,
總體積V=240+96=336.
答案:336
9.解:因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球,如圖,圓錐母線長BS=3,底面半徑BC=1,其高SC=BS2-BC2=22,
不妨設該內切球與母線BS切于點D,
令OD=OC=r,由△SOD∽△SBC,得ODOS=BCBS,
即r22-r=13,解得r=22,V=43πr3=2π3.
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10.解析:如圖,取AB的中點E,連接PE,CE.
因為△ABC是邊長為2的等邊三角形,
PA=PB=2,
所以PE⊥AB,CE⊥AB.
又PE=CE=2×32=3,PC=6,
故PC2=PE2+CE2,即PE⊥CE.
又AB∩CE=E,AB,CE?平面ABC,
所以PE⊥平面ABC.
所以V=13S△ABC·PE=13×12×2×2×sin 60°×3=1.故選A.
11.解析:如圖(1)所示,作BE⊥CD交CD于點E,易得CE=CD-AB2=1 cm,則BE=22-12=3 cm,則圓臺的高為3 cm,A錯誤;
圓臺的軸截面面積為12×(2+4)×3=33 cm2,B正確;圓臺的體積為13×3×(π+4π+π·4π)=73π3 cm3,C正確;
將圓臺一半側面展開,如圖(2)陰影部分所示,設P為AD的中點,
由O2B∶O1C=1∶2可得OB∶OC=1∶2,則OC=4 cm,∠COD=4π24=π2,又OP=
OA+AD2=3 cm,則CP=42+32=5 cm,即點C到AD的中點所經(jīng)過的最短路程為5 cm,D正確.故選BCD.
12.解:Ⅰ生成圓錐,Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圓錐,Ⅲ生成的是圓柱去掉扇形ABD生成的半球.
設正方形的邊長為a,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分經(jīng)旋轉所得幾何體的體積分別為VⅠ,VⅡ,VⅢ,
則VⅠ=13πa3,VⅡ=12×43πa3-13πa3=13πa3,
VⅢ=πa3-12×43πa3=13πa3.所以三部分經(jīng)旋轉所得幾何體的體積之比為1∶1∶1.
13.解:(1)設OB=R,由題意,AB=23,
因為圓錐的側面展開圖為半圓,則2πR=23π,
所以R=3,故圓錐的底面積為πR2=3π.
(2)設圓柱的高OO1=h,OD=r,
在Rt△AOB中,AO=AB2-OB2=3,
因為△AO1D1∽△AOB,
所以AO1AO=O1D1OB,
即3-?3=r3,h=3-3r,
S圓柱側=2πrh=2πr(3-3r)=-23π(r2-3r)
=-23π(r-32)2+33π2,
所以當r=32,h=32時,
圓柱的側面積最大,此時圓柱的體積V=πr2h=9π8.
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14.解析:對于選項A,因為0.99 m1.4,所以能夠被整體放入正方體內,故B正確;對于選項C,因為正方體的體對角線長為3 m,且31 m,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓,如圖,過AC1的中點O作OE⊥AC1,設OE∩AC=E,可知AC=2 m,CC1=1 m,
AC1=3 m,OA=32 m,則tan ∠CAC1=CC1AC=OEAO,即12=OE32,解得OE=64 m,且(64)2=38=924>925=0.62,即64>0.6,故以AC1為軸可能對稱放置底面直徑為1.2 m 的圓柱;若底面直徑為1.2 m的圓柱與正方體的上下底面均相切,設圓柱的底面圓心為O1,圓O1與正方體的下底面的切點為M,可知AC1⊥O1M,O1M=0.6 m,則tan ∠CAC1=CC1AC=O1MAO1,即12=0.6AO1,解得AO1=
0.62 m,根據(jù)對稱性可知圓柱的高為3-2×0.62≈1.732-1.2×
1.414=0.035 2>0.01,所以能夠被整體放入正方體內,故D正確.故選ABD.

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