1.若平面α⊥平面β,直線n?α,直線m?β,且m⊥n,則( )
A.n⊥β
B.n⊥β且m⊥α
C.m⊥α
D.n⊥β和m⊥α中至少有一個(gè)成立
2.如圖,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,且BC1⊥AC,過C1作C1H⊥底面ABC,垂足為H,則點(diǎn)H在( )
A.直線AC上B.直線AB上
C.直線BC上D.△ABC內(nèi)部
3.如圖,在四面體DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
4.(多選題)如圖,在以下四個(gè)正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是( )
5.已知l,m,n是三條不同的直線,α,β是不同的平面,則下列條件中能推出α⊥β的是( )
A.l?α,m?β,且l⊥m
B.l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥n
C.m?α,n?β,m∥n,且l⊥m
D.l?α,l∥m,且m⊥β
6.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,B1C的中點(diǎn),則EF與平面ABCD所成角的正切值為 .
7.在四面體PABC中,PA=PB=PC,底面△ABC為等腰直角三角形,AC=
BC,O為AB中點(diǎn),請從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面 .
(只填序號(hào))
①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC;⑤平面POC.
8.已知l是平面β外的一條直線.給出下列三個(gè)論斷:
①α⊥β;②l⊥α;③l∥β.
以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題: .
9.如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點(diǎn)O,E為PB的中點(diǎn).
(1)求證:EO∥平面PDC;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD.
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10.已知三棱錐PABC中,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,作PO⊥平面ABC,垂足為O,則點(diǎn)O是△ABC的( )
A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心
11.(多選題)如圖,點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng),則下列結(jié)論正確的是( )
A.三棱錐AD1PC的體積不變
B.A1P⊥平面ACD1
C.DP⊥BC1
D.平面PDB1⊥平面ACD1
12.(多選題)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,將△ABD沿BD折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A′,并且平面A′BD⊥平面BCD.下面四個(gè)命題正確的是( )
A.A′D⊥BC
B.三棱錐A′BCD的體積為22
C.CD⊥平面A′BD
D.平面A′BC⊥平面A′DC
13.如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求證:
(1)PA⊥平面ABCD;
(2)平面BEF∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
14.如圖,在三棱錐PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=22,O為AC的中點(diǎn).
(1)證明:PO⊥平面ABC;
(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且PM與平面ABC所成角的正切值為6,求二面角MPAC的平面角的余弦值.
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15.如圖,已知ABCDA1B1C1D1是底面為正方形的長方體,∠AD1A1=60°,AD1=4,點(diǎn)P是AD1上的動(dòng)點(diǎn),則PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值為 .
參考答案
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固】
1.解析:(1)若m垂直兩個(gè)平面的交線,那么n,β的關(guān)系不確定;
(2)若n垂直兩個(gè)平面的交線,那么m,α的關(guān)系不確定;
(3)若m,n都不垂直于兩個(gè)平面的交線,
過m上不在交線上一點(diǎn)O,做交線的垂線l,則l⊥α,所以l⊥n,
因?yàn)閘∩m=O,l?β,m?β,所以n⊥β,所以n垂直兩平面的交線,這與m,n都不垂直于兩個(gè)平面的交線相矛盾,故假設(shè)不成立,因此m,n至少有一個(gè)垂直兩平面的交線,所以n⊥β和 m⊥α至少有一個(gè)成立.故
選D.
2.解析:連接AC1,如圖.
因?yàn)椤螧AC=90°,
所以AC⊥AB,
因?yàn)锽C1⊥AC,BC1∩AB=B,
所以AC⊥平面ABC1,
又AC?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ABC1,
由面面垂直的性質(zhì)知,過平面ABC1內(nèi)一點(diǎn)C1向平面ABC作垂線,垂足必落在交線AB上.故選B.
3.解析:因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),
所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,且BE∩DE=E,
于是AC⊥平面BDE.
因?yàn)锳C?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BDE.
又AC?平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故選C.
4.解析:對(duì)于A,顯然AB與CE不垂直,則直線AB與平面CDE不垂直;對(duì)于B,因?yàn)锳B⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,所以AB⊥平面CDE;對(duì)于C,顯然AB與CE不垂直,所以直線AB與平面CDE不垂直;對(duì)于D,因?yàn)?br>ED⊥平面ABC,則ED⊥AB,同理CE⊥AB,因?yàn)镋D∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.故選BD.
5.解析:對(duì)于A,l?α,m?β,且l⊥m,α,β可以平行、相交不垂直、垂直,A不正確;對(duì)于B,l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥n,當(dāng)m,n不相交時(shí),l不一定與β垂直,則α不一定與β垂直,B不正確;對(duì)于C,m?α,
n?β,m∥n,且l⊥m,顯然直線l與α,β無關(guān)系,α,β可以平行、相交不垂直、垂直,C不正確;對(duì)于D,由l∥m,m⊥β,得l⊥β,又l?α,根據(jù)面面垂直的判定知α⊥β,D正確.故選D.
6.解析:如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OE,OF,
因?yàn)镕是B1C的中點(diǎn),
所以O(shè)F∥B1B,
所以FO⊥平面ABCD,所以∠FEO是EF與平面ABCD所成的角.設(shè)正方體的棱長為2,則FO=1,EO=2,所以EF與平面ABCD所成角的正切值為22.
答案:22
7.解析:因?yàn)樵谒拿骟wPABC中,PA=PB=PC,
底面△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,O為AB中點(diǎn),
所以CO⊥AB,PO⊥AB,CO∩PO=O,
所以AB⊥平面POC.
因?yàn)锳B?平面ABC,
所以平面POC⊥平面ABC,
所以兩個(gè)相互垂直的平面為②⑤.
答案:②⑤(答案不唯一)
8.解析:(1)①②?③.
說明:因?yàn)棣痢挺?l⊥α,所以l∥β或l?β,
又因?yàn)閘是平面β外的一條直線,
所以l∥β,命題正確.
(2)①③?②.
說明:設(shè)α∩β=m,取直線l∥m,此時(shí),l∥β,
但直線l可能平行于平面α,
也可能在平面α內(nèi),所以命題不正確.
(3)②③?①.
說明:因?yàn)閘∥β,所以平面β內(nèi)必存在一條直線與直線l平行,
設(shè)為n,即n∥l,
又因?yàn)閘⊥α,所以n⊥α,從而得α⊥β,所以命題正確.
答案:①②?③或②③?①
9.證明:(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,AC與BD交于點(diǎn)O,
所以O(shè)為BD中點(diǎn),
又E為PB的中點(diǎn),所以EO∥PD,
因?yàn)镋O?平面PDC,PD?平面PDC,
所以EO∥平面PDC.
(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,
所以AC⊥BD,
又PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以PD⊥AC,
因?yàn)镻D∩BD=D,PD,BD?平面PBD,
所以AC⊥平面PBD,
又AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.
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10.解析:如圖,連接AO并延長,交BC于D,連接BO并延長,交AC于E.
因?yàn)镻A⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,
故PA⊥平面PBC,
又BC?平面PBC,故PA⊥BC,
因?yàn)镻O⊥平面ABC,BC?平面ABC,
故PO⊥BC,
又PA∩PO=P,故BC⊥平面PAO,
故AO⊥BC,即AD⊥BC.
同理BE⊥AC,故O是△ABC的垂心. 故選D.
11.解析:在正方體ABCDA1B1C1D1中,
AB∥A1B1∥C1D1,
AB=A1B1=C1D1,
即四邊形ABC1D1為平行四邊形,
如圖(1),則BC1∥AD1,
而AD1?平面ACD1,BC1?平面ACD1,
則有BC1∥平面ACD1,
因此,點(diǎn)P到平面ACD1的距離為定值,而△ACD1面積是定值,則三棱
錐AD1PC的體積不變,A正確;
如圖(2),連接A1B,A1C1,由選項(xiàng)A知,BC1∥平面ACD1,同理BA1∥平面ACD1,而BC1∩BA1=B,BC1,BA1?平面A1BC1,則有平面A1BC1∥平面ACD1,
又A1P?平面A1BC1,因此,A1P∥平面ACD1,B不正確;
如圖(3),連接BD,C1D,顯然△BC1D是正三角形,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),∠DPC1=60°,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,不是總有DP⊥BC1成立,C不正確;
如圖(4),在正方體ABCDA1B1C1D1中,BD⊥AC,而BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
則BB1⊥AC,
又BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D,
有AC⊥平面BB1D,
又B1D?平面BB1D,
于是得AC⊥B1D,同理AD1⊥B1D,
因?yàn)锳D1∩AC=A,AD1,AC?平面ACD1,
則B1D⊥平面ACD1,又B1D?平面PDB1,
所以平面PDB1⊥平面ACD1,D正確.故選AD.
12.解析:如圖所示,取BD的中點(diǎn)E,連接A′E,
由AD∥BC,
AD=AB=1,
AD⊥AB得到∠DBC=∠ADB=45°,
又∠BCD=45°,故△BCD為等腰直角三角形.
所以CD⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,
平面A′BD∩平面BCD=BD,
所以CD⊥平面A′BD,故C正確;
因?yàn)镋為BD的中點(diǎn),A′D=A′B,
所以A′E⊥BD,
又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,則A′E⊥平面BCD,所以A′E⊥BC,
如果A′D⊥BC,則可得到BC⊥平面A′BD,
故BC⊥BD,與已知矛盾,故A錯(cuò)誤;
三棱錐A′BCD的體積為V=13×12×2×2×22=26,故B錯(cuò)誤;
因?yàn)镃D⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B,
又A′B⊥A′D,A′D∩CD=D,
所以A′B⊥平面A′DC,
又A′B?平面A′BC,
所以平面A′BC⊥平面A′DC,故D正確.故選CD.
13.證明:(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,
且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,
所以PA⊥平面ABCD.
(2)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E是CD的中點(diǎn),
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以四邊形ABED是平行四邊形,
所以AD∥BE,
因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD,
所以BE∥平面PAD,
因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),
所以EF∥PD,
因?yàn)镋F?平面PAD,PD?平面PAD,
所以EF∥平面PAD,
因?yàn)锽E∩EF=E,BE,EF?平面BEF,
所以平面BEF∥平面PAD.
(3)因?yàn)锳B⊥AD,所以平行四邊形ABED是矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD,
由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,
因?yàn)镻A∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,
因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,
又因?yàn)锽E∩EF=E,所以CD⊥平面BEF,
因?yàn)镃D?平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.
14.(1)證明:法一 如圖,連接OB.
因?yàn)锳B=BC=2,
AC=22,
所以AB2+BC2=AC2,
即△ABC是直角三角形,
又O為AC的中點(diǎn),
所以O(shè)A=OB=OC,又因?yàn)镻A=PB=PC,
所以△POA≌△POB≌△POC,
所以∠POA=∠POB=∠POC=90°.
所以PO⊥AC,PO⊥OB,
因?yàn)镺B∩AC=O,OB,AC?平面ABC,
所以PO⊥平面ABC.
法二 如圖,連接OB,
因?yàn)镻A=PC,O為AC的中點(diǎn),PA=PB=PC=AC=22,
所以PO⊥AC,PO=6,
又因?yàn)锳B=BC=2,
所以AB⊥BC,BO=2,
所以PO2+OB2=PB2,
所以PO⊥OB,
因?yàn)镺B∩AC=O,OB,AC?平面ABC,
所以PO⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知,PO⊥平面ABC,
所以O(shè)M為PM在平面ABC上的射影,
所以∠PMO為PM與平面ABC所成的角,
因?yàn)閠an∠PMO=POOM=6OM=6,所以O(shè)M=1.
所以△ABC∽△OMC,得MC=1,
所以M為BC的中點(diǎn).如圖,作ME⊥AC交AC于E,則E為OC的中點(diǎn),作EF⊥PA交PA于F,連接MF,所以MF⊥PA,
所以∠MFE即為所求二面角MPAC的平面角,ME=22,
EF=32AE=32×34×22=364,
MF=ME2+EF2=624,
所以cs∠MFE=EFMF=39331,
故二面角MPAC的平面角的余弦值為39331.
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15.解析:在Rt△AA1D1中,因?yàn)椤螦D1A1=60°,所以∠A1AD1=30°,
所以A1B1=A1D1=12AD1=2,AA1=3A1D1=23,因?yàn)锽1A1⊥平面AA1D1D,
所以∠B1PA1是PB1與平面AA1D1D所成的角,所以tan∠B1PA1=A1B1A1P=2A1P,
所以當(dāng)A1P最小時(shí),tan∠B1PA1最大,
這時(shí)A1P⊥AD1,
A1P=A1D1·AA1AD1=3,得tan∠B1PA1=233,
即PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值為233.
答案:233

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