1．下列說法中，正確的是( )
A.棱柱的側(cè)面可以是三角形
B.若棱柱有兩個側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形
C.正方體的所有棱長都相等
D.棱柱的所有棱長都相等
2．一個菱形的邊長為4 cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為( )
A.2 eq \r(3) cm2 B．2 eq \r(6) cm2
C.4 eq \r(6) cm2 D．8 eq \r(3) cm2
3．在正四棱錐P-ABCD中，PA＝6，且PA與底面所成的角為60°，則該四棱錐的體積為( )
A.16 B．18 eq \r(3)
C.36 eq \r(3) D．54 eq \r(3)
4．已知圓錐的底面周長為6π，其側(cè)面展開圖的圓心角為 eq \f(2,3)π，則該圓錐的高為( )
A.6 eq \r(2) B．9
C.3 D．3 eq \r(2)
5．如圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2 cm、底面邊長為1 cm的正三棱錐，后段是高為0.6 cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為( )
cm3 B．0.65 cm3
cm3 D．0.45 cm3
6．已知圓臺下底面的半徑為2、高為2、母線長為 eq \r(5)，則這個圓臺的體積為( )
A. eq \f(14,3)π B． eq \f(7,2)π
C. eq \f(14,5)π D． eq \f(7,3)π
7．在我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為( )
A.2丈4尺 B．2丈5尺
C.2丈6尺 D．2丈8尺
8．如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________．
9．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.
10．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是________．
11．在三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則 eq \f(V1,V2)＝________．
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1．已知正四棱錐的底面邊長為2，高為2，O為底面四邊形的中心．若存在點O′到該正四棱錐的四個側(cè)面和底面的距離都等于d，則d＝( )
A. eq \f(\r(5)－1,2) B． eq \f(\r(3)－1,2)
C. eq \f(\r(3)－\r(2),2) D． eq \f(\r(6)－\r(2),2)
2．扇面是中國書畫作品的一種重要表現(xiàn)形式．一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為27和12的兩個同心圓上的弧，側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心且圓心角為 eq \f(2π,3).若某幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為( )
A.15 B． eq \r(223)
C.10 eq \r(2) D．12
3．(多選)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則( )
A.V3＝2V2
B.V3＝V1
C.V3＝V1＋V2
D.2V3＝3V1
4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1，點M在線段BC上(點M異于B，C兩點)，點N為線段CC1的中點．若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為五邊形，則線段BM的取值范圍是( )
A. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
5．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，點M，N分別為棱AA1，CC1的中點，則棱錐B-AMNC的體積為________．
6．某同學的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱組成．已知正四棱柱的底面邊長為3 cm，則這兩個正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.
7．已知球O是圓錐PO1的外接球，圓錐PO1的母線長是底面半徑的3倍，且球O的表面積為 eq \f(81π,8)，則圓錐PO1的側(cè)面積為________．
8．如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
1．解析：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A錯誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，B錯誤；棱柱的側(cè)棱與底面邊長并不一定相等，D錯誤；易知C正確．
答案：C
2．解析：直觀圖的面積為 eq \f(\r(2),4)× eq \f(\r(3),2)×42＝2 eq \r(6)(cm2).
答案：B
3．解析：設(shè)四棱錐的高h＝PA·sin 60°＝6× eq \f(\r(3),2)＝3 eq \r(3)，AC＝PA＝6，則該四棱錐的體積V＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×6×6))×3 eq \r(3)＝18 eq \r(3).
答案：B
4．解析：由題意得，該圓錐的底面半徑r＝ eq \f(6π,2π)＝3，母線長l＝ eq \f(6π,\f(2,3)π)＝9，所以該圓錐的高h＝ eq \r(l2－r2)＝6 eq \r(2).
答案：A
5．解析：設(shè)正三棱錐底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為r，
由等面積法，可得 eq \f(1,2)×1×1×sin 60°＝ eq \f(1,2)×(1＋1＋1)r，解得r＝ eq \f(\r(3),6).
由三棱錐體積公式與圓柱體積公式可得，
所求體積V＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×1×1×sin 60°×2＋π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6))) eq \s\up12(2)×0.6≈0.45(cm3).
答案：D
6．解析：設(shè)圓臺上底面的半徑為r，下底面半徑為R，高為h，
則有( eq \r(5))2＝(2－r)2＋22，解得r＝1或r＝3(舍去).
圓臺的體積V＝ eq \f(1,3)πh(r2＋R2＋rR)＝ eq \f(1,3)×π×2×(12＋22＋2×1)＝ eq \f(14,3)π.
答案：A
7．解析：如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形ABEF，一條直角邊(即圓木的高)長AB＝24尺，另一條直角邊長BE＝5尺，因此葛藤繞圓木2周后最少長為BD＝ eq \r(AB2＋(2BE)2)＝ eq \r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．
答案：C
8．解析：利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標系x′O′y′中，
B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.過點B′作x′軸的垂線，垂足為點D′.
在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin 45°＝1× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),2).
答案： eq \f(\r(2),2)
9．解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．
由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝ eq \f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2).
答案：2 600π
10．解析：設(shè)BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，
∴VE-BCD＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)ab× eq \f(1,2)c＝ eq \f(1,12)abc＝10.
答案：10
11．解析：如圖，設(shè)S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝ eq \f(1,3)S1h1，V2＝ eq \f(1,3)S2h2，∴ eq \f(V1,V2)＝ eq \f(S1h1,S2h2)＝ eq \f(1,4).
答案： eq \f(1,4)
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1．解析：如圖，在正四棱錐S-ABCD中，連接OS，取BC的中點E，連接OE，SE，
易知點O′在線段OS上，過O′作O′F⊥SE，交SE于點F，
易知O′F⊥平面SBC.設(shè)∠OSE＝α，
由題意可得OE＝1，SO＝2，O′F＝OO′＝d，則SO′＝SO－OO′＝2－d，
sin α＝ eq \f(OE,SE)＝ eq \f(O′F,SO′)，即 eq \f(1,\r(22＋12))＝ eq \f(d,2－d)，解得d＝ eq \f(\r(5)－1,2).
答案：A
2．解析：由題意知該幾何體為圓臺，如圖所示，其中AB，CD分別為上、下底面圓的直徑，
設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為r1，圓心為O1，下底面圓的半徑為r2，圓心為O2，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2πr1＝12×\f(2π,3)＝8π，,2πr2＝27×\f(2π,3)＝18π，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r1＝4，,r2＝9，))
過點A作AM⊥CD，交CD于點M，連接O1O2，則四邊形AO1O2M為矩形，
所以△ADM為直角三角形，AO1＝MO2，AM＝O1O2.圓臺的母線長l＝AD＝27－12＝15，
所以圓臺的高h＝AM＝ eq \r(\a\vs4\al(AD2－DM2))＝ eq \r(152－(r2－r1)2)＝10 eq \r(2).
答案：C
3．解析：因為ED⊥平面ABCD，且FB∥ED，所以FB⊥平面ABCD.
設(shè)AB＝ED＝2FB＝2a，則FB＝a，
則V1＝ eq \f(1,3)S△ACD·ED＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)·2a·2a·2a＝ eq \f(4,3)a3，
所以V2＝ eq \f(1,2)V1＝ eq \f(2,3)a3.如圖，連接BD，交AC于O，連接OE，OF.
易證AC⊥平面BDEF.S△EOF＝S梯形BDEF－S△ODE－S△OBF＝ eq \f(1,2)(a＋2a)×2 eq \r(2)a－ eq \f(1,2)×2a× eq \r(2)a－ eq \f(1,2)×a× eq \r(2)a＝ eq \f(3\r(2),2)a2，故V3＝ eq \f(1,3)S△EOF·AO×2＝ eq \f(1,3)× eq \f(3\r(2),2)a2× eq \r(2)a×2＝2a3，
故V1＋V2＝V3，2V3＝3V1成立．
答案：CD
4．解析：∵正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1，
∴正方體的棱長為1，點M在線段BC上(點M異于B，C兩點)，
當點M為線段BC的中點時，MN∥AD1，A，M，N，D1共面，截面為四邊形AMND1，如圖，
即BM＝ eq \f(1,2)，不合題意，排除選項A，C，D；當BM> eq \f(1,2)時，截面為五邊形，如圖，符合題意，
即平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為五邊形，線段BM的取值范圍為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
答案：B
5．解析：如圖，連接AN，
對于三棱錐B-ACN，B-AMN，顯然它們等底同高，故VB-ACN＝VB-AMN，而VB-ACN＝VN-ABC，
注意到CN＝C1N，
于是三棱錐N-ABC的高是三棱柱ABC-A1B1C1高的一半，且它們都以△ABC為底面，
故VN-ABC＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)V＝ eq \f(1,6)V，故VB-AMNC＝2× eq \f(1,6)V＝ eq \f(1,3)V.
答案： eq \f(1,3)V
6．解析：易知兩個正四棱柱的公共部分為兩個正四棱錐拼接而成，且兩個正四棱錐的底面重合，所以公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為8，因為正四棱柱的底面邊長為3，則公共部分的兩個正四棱錐的底面邊長為3 eq \r(2)，高為 eq \f(3\r(2),2)，
所以體積V＝ eq \f(1,3)×2×(3 eq \r(2))2× eq \f(3\r(2),2)＝18 eq \r(2)(cm3).
答案：8 18 eq \r(2)
7．解析：如圖，設(shè)O1B＝r，球O的半徑為R，則PB＝3r，球O的表面積為4πR2＝ eq \f(81π,8)，得R2＝ eq \f(81,32)，PO1＝ eq \r(PB2－r2)＝2 eq \r(2)r.
在Rt△OO1B中，R2＝(PO1－R)2＋r2，即R2＝(2 eq \r(2)r－R)2＋r2，解得r＝1，
故圓錐PO1的側(cè)面積為πr·PB＝3π.
答案：3π
8．解析：如圖，過BC作與EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中點O，
連接GO，F(xiàn)O，由題意可得FO＝ eq \f(\r(3),2)，F(xiàn)G＝ eq \f(1,2)，所以GO＝ eq \r(FO2－FG2)＝ eq \f(\r(2),2)，所以S△BCG＝ eq \f(1,2)×1× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),4)，VBCG-ADM＝S△BCG·AB＝ eq \f(\r(2),4)，
2VF-BCG＝2× eq \f(1,3)S△BCG·GF＝2× eq \f(1,3)× eq \f(\r(2),4)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(2),12)，
所以V多面體ABCDEF＝ eq \f(\r(2),4)＋ eq \f(\r(2),12)＝ eq \f(\r(2),3).
答案： eq \f(\r(2),3)

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