一、單項(xiàng)選擇題
1．將12根長(zhǎng)度相同的小木棍通過(guò)黏合端點(diǎn)的方式(不可折斷)，不可能拼成( )
A．正三棱柱 B．正四棱錐
C．正四棱柱 D．正六棱錐
2．已知正三角形邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為( )
A．24 B．64
C．22 D．26
3．?dāng)€尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為32 m，側(cè)棱長(zhǎng)為5 m，則其體積為( )
A．242 m3 B．24 m3
C．722 m3 D．72 m3
4．科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)(如圖1)是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9 050 m，超過(guò)珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力．“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)55 m，高19 m，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的表面積約為(參考數(shù)據(jù)：4 2582≈32.6，π≈3.14)( )
A．2 480 m2 B．2 498 m2
C．2 502 m2 D．2 508 m2
5．某車間需要對(duì)一個(gè)圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑為15 cm，高為10 cm，加工方法為在底面中心處打一個(gè)半徑為r cm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔．若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計(jì)為( )
A．10 B．15
C．4 D．5
6．長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為1，表面積為1，有一面為正方形，則其體積為( )
A．2108 B．227
C．29 D．26
7．在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝13PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝23PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為( )
A．19 B．29
C．13 D．49
8．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若S甲S乙＝2，則V甲V乙＝( )
A．5 B．22
C．10 D．5104
二、多項(xiàng)選擇題
9．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則( )
A．V3＝2V2 B．V3＝V1
C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1
10．某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，則( )
A．該圓臺(tái)的高為1 cm
B．該圓臺(tái)軸截面面積為33 cm2
C．該圓臺(tái)的體積為73π3 cm3
D．一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的最短路程為5 cm
三、填空題
11．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40 cm，母線長(zhǎng)最短為50 cm，最長(zhǎng)為80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2．
12．底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為________．
13．盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長(zhǎng)為8 cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長(zhǎng)最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為( )
A．6423 cm3 B．12823 cm3
C．25623 cm3 D．51223 cm3
14．已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝2π3，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為( )
A．π B．6π
C．3π D．36π
15．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也作陀羅，閩南語(yǔ)稱作“干樂(lè)”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形．現(xiàn)有一圓錐形陀螺(如圖所示)，其底面半徑為3，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則( )
A．圓錐的母線長(zhǎng)為9
B．圓錐的表面積為36π
C．圓錐的側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角為60°
D．圓錐的體積為122π
16．如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為163 cm2的正三角形，若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，則圓柱形冰塊的側(cè)面積的最大值為________cm2.
參考答案
1．D [正三棱柱中9條棱長(zhǎng)度可以完全相等，A成立；
正四棱錐中8條棱長(zhǎng)度可以完全相等，B成立；
正四棱柱中12條棱長(zhǎng)度可以完全相等，C成立；
因?yàn)檎呅蔚闹行牡搅鶄€(gè)頂點(diǎn)的距離都等于邊長(zhǎng)，
所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)總比底邊長(zhǎng)，D不成立．
故選D.]
2．B [由斜二測(cè)畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系S直觀圖S原圖＝24，
∴該三角形直觀圖的面積為24×34×22＝64.故選B.]
3．B [如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，連接AC，BD交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，
連接OP，則底面邊長(zhǎng)AB＝32(m)，對(duì)角線BD＝2AB＝6(m)，BO＝12BD＝3(m)．
又BP＝5(m)，故高OP＝BP2?BO2＝4(m)．
故該正四棱錐的體積為V＝13×322×4＝24(m3)．]
4．A [由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為R＝192＝9.5(m)，
而圓臺(tái)另一個(gè)底面的半徑為r＝1(m)，
圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l＝1722+31.52＝4 2582≈32.6(m)，則S半球＝12×4×π×9.52＝180.5π(m2)，S圓柱側(cè)＝2π×9.5×14＝266π(m2)，
S圓臺(tái)側(cè)≈π1+192×32.6＝342.3π(m2)，S圓臺(tái)底＝π(m2)，
所以S表＝180.5π＋266π＋342.3π＋π＝789.8π≈789.8×3.14≈2 480(m2)．
故選A.]
5．D [大圓柱表面積為2×152π＋10×2×15π＝750π，
小圓柱側(cè)面積為10×2πr，上、下底面積之和為2πr2，
所以加工后工件的表面積為750π＋20πr－2πr2，當(dāng)r＝5時(shí)表面積最大．故選D.]
6．B [不妨設(shè)長(zhǎng)方體底面為正方形，邊長(zhǎng)為a，高為b，
則底面的對(duì)角線為a2+a2＝2a，
∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為1，表面積為1，
∴4ab+2a2=1， 2a2+b2=1，解得a=26，b=223，
∴長(zhǎng)方體體積為a2b＝227.
故選B.]
7．B [如圖，因?yàn)镻M＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×23＝29，所以VP?AMNVP?ABC＝VA?PMNVA?PBC＝13S△PMN·d13S△PBC·d＝S△PMNS△PBC＝29(其中d為點(diǎn)A到平面PBC的距離，因?yàn)槠矫鍼MN和平面PBC重合，所以點(diǎn)A到平面PMN的距離也為d)．故選B.]
8．C [設(shè)母線長(zhǎng)為l，甲圓錐底面圓半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，
則S甲S乙＝πr1lπr2l＝r1r2＝2，所以r1＝2r2.
又2πr1l+2πr2l＝2π，
則r1+r2l＝1，
所以r1＝23l，r2＝13l，
所以甲圓錐的高h(yuǎn)1＝l2?49 l2＝53l，
乙圓錐的高h(yuǎn)2＝l2?19 l2＝223l，
所以V甲V乙＝13πr12?113πr22?2＝49l2×53l19l2×223l＝10.故選C.]
9．CD [設(shè)AB＝ED＝2FB＝2，則V1＝13×12×2×2×2＝43，V2＝13×12×2×2×1＝23.連接BD交AC于M，連接EM、FM(圖略)，則FM＝3，EM＝6，EF＝3，故S△EMF＝12×3×6＝322，V3＝13S△EMF×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故選CD.]
10．BCD [如圖1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝CD?AB2＝1(cm)，則BE＝22?12＝3(cm)，則圓臺(tái)的高為3 cm，A錯(cuò)誤；
圓臺(tái)的軸截面面積為12×(2＋4)×3＝33(cm2)，B正確；
圓臺(tái)的體積為13×3×(π＋4π＋π·4π)＝73π3(cm3)，C正確；
將圓臺(tái)的一半側(cè)面展開，如圖2中ABCD，設(shè)P為AD中點(diǎn)，圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開為扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2 cm，則OC＝4 cm，∠COD＝4π24＝π2，又OP＝OA＋AD2＝3(cm)，則CP＝42+32＝5(cm)，即點(diǎn)C到AD的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的最短路程為5 cm，D正確．故選BCD.]
11．2 600π [將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面面積S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．]
12．28 [如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，用平行于底面的平面截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐P-A′B′C′D′后，得到正四棱臺(tái)A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．記O′，O分別為正四棱臺(tái)A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分別為A′B′，AB的中點(diǎn)，連接PO，PH，O′H′，OH，則PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以O(shè)O′＝PO－PO′＝3，所以該正四棱臺(tái)的體積V＝13×3×(22＋2×4＋42)＝28．]
13．C [依題意，要將棱長(zhǎng)為8 cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長(zhǎng)最小，則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)等于正四面體的棱長(zhǎng)，即它們有相同的外接球，如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為8 cm，
所以該正方體棱長(zhǎng)為42 cm，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為4×13×12×42×42×42＝25623(cm3)．故選C.]
14．B [在△AOB中，AO＝BO＝3，∠AOB＝2π3，由余弦定理得AB＝3+3?2×3×3×?12＝3，設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝12×3h＝934，解得h＝332，由勾股定理得母線PA＝322+3322＝3，則該圓錐的高PO＝PA2?OA2＝6，所以該圓錐的體積為13×3π×6＝6π，故選B.]
15．AB [設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為πl(wèi)2，
圓錐的側(cè)面積為πrl＝3πl(wèi)，
當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則πl(wèi)2＝9πl(wèi)，所以圓錐的母線長(zhǎng)為l＝9，A正確；
圓錐的表面積3π×9＋π×32＝36π，B正確；
圓錐的底面圓周長(zhǎng)為2π×3＝6π，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖(扇形)的圓心角為α rad，
則6π＝9α，解得α＝2π3，即α＝120°，C錯(cuò)誤；
圓錐的高h(yuǎn)＝l2?r2＝92?32＝62，所以圓錐的體積為V＝13πr2h＝13π×32×62＝182π，D錯(cuò)誤．
故選AB.]
16．83π [設(shè)該圓錐的軸截面正三角形的邊長(zhǎng)為a cm，由該圓錐軸截面的面積為163 cm2，得12a2sin 60°＝163，所以a＝8(cm)，所以該圓錐底面圓半徑為4 cm，高為43 cm.
設(shè)圓錐中放置的圓柱形冰塊的底面圓半徑為x cm，高為h cm，其中0＜x＜4，0＜h＜43.
如圖所示，
由CD∥OB可得，CDOB＝ACAO，
即x4＝43??43，所以h＝3(4－x)．
所以圓柱形冰塊的側(cè)面積為S＝2πx·h＝2πx·3(4－x)＝－23π(x－2)2＋83π.
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x＝2時(shí)，Smax＝83π，即圓柱形冰塊的側(cè)面積的最大值為83π cm2．

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