（7類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-6分
【備考策略】1.了解柱、錐、臺(tái)體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及其相關(guān)性質(zhì)
2.會(huì)運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體等組合體的表面積和體積的計(jì)算公式求解相關(guān)問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般給定柱、錐、臺(tái)體及簡單組合體，求對(duì)應(yīng)的表面積與體積，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).
知識(shí)講解
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
3.空間幾何體的表面積與體積公式
考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè)B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形
C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直D．棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直
2．下列命題：
①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（多選）如圖，我們常見的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足（Euler's frmula），據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說法正確的是（ ）
A．共有20個(gè)六邊形
B．共有10個(gè)五邊形
C．共有90條棱
D．共有32個(gè)面
1．下列命題是真命題的是（ ）
A．兩個(gè)四棱錐可以拼成一個(gè)四棱柱B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形
C．經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有且只有一個(gè)D．直棱柱的側(cè)面是矩形
2．下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的有（ ）
A．圓柱的所有母線長都相等B．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
C．一個(gè)棱臺(tái)最少有5個(gè)面D．用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面
3．給出下列命題：
①長方體是四棱柱；
②直四棱柱是長方體；
③底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；
④延長一個(gè)棱臺(tái)的各條側(cè)棱，它們相交于一點(diǎn)．
則正確的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
考點(diǎn)二、柱體的表面積與體積
1．（2024·上海·三模）已知圓柱的底面半徑為3cm，側(cè)面積為24πcm3，則此圓柱的體積為 cm3
2．（全國·高考真題）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為
A．8B．C．82D．83
3．（江蘇·高考真題）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且＝94，則V1V2的值是 ．
1．2．4．（2024·天津·高考真題）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A．36B．C．32D．
1．
1．（上?！じ呖颊骖}）若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .
2．（2024·山東·二模）已知圓柱的底面半徑為4，側(cè)面面積為16π，則該圓柱的母線長等于 ．
3．（全國·高考真題）正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（ ）
A．62B．6C．D．63
4．（全國·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為
A．B．C．D．
考點(diǎn)三、錐體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為 .
2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐P?ABC中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．2D．3
3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長為4的正方形，，則△PBC的面積為（ ）
A．22B．32C．42D．
4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐P?ABC的體積之比為（ ）
A．19B．29C．13D．49
1．（2024·全國·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB=120°，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為（ ）
A．πB．6πC．3πD．36π
3．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A．5B．22C．D．
4．（2022·全國·高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，F(xiàn)?ABC，的體積分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)四、臺(tái)體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，，則該棱臺(tái)的體積為 ．
3．（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全國·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線長分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為 ．
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知一個(gè)高為6的圓錐被平行于底面的平面截去一個(gè)高為3的圓錐，所得圓臺(tái)的上、下底面圓周均在球的球面上，球的體積為，且球心在該圓臺(tái)內(nèi)，則該圓臺(tái)的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
3．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，，若正四棱臺(tái)的高為，則其表面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為V1，V2兩部分，則（ ）
A．1∶1B．4∶3C．6∶5D．7∶5
4．（2024·新疆喀什·二模）（多選）如圖圓臺(tái)O1O2，在軸截面中，，下面說法正確的是（ ）
A．線段AC=23
B．該圓臺(tái)的表面積為11π
C．該圓臺(tái)的體積為73π
D．沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5
考點(diǎn)五、組合體的表面積與體積
1．（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑AB=12cm，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A．B．C．D．
2．（2024·湖北武漢·二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（ ）

A．B．32πC．D．
3．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A．23B．24C．26D．27
1．（2022·河南鄭州·三模）魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（ ）
B．
C．D．
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，六面體的一個(gè)面是邊長為2的正方形，，CC1，DD1均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于 ，表面積等于 ．
考點(diǎn)六、數(shù)學(xué)文化之表面積與體積
1．（全國·高考真題）(2015新課標(biāo)全國I理科)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（ ）
A．10500B．12500C．31500D．52500
3．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）《綴術(shù)》中提出的“緣冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理常應(yīng)用于計(jì)算某些幾何體的體積.如圖，某個(gè)西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓面，側(cè)面為球面的一部分，上底直徑為，下底直徑為6cm，上下底面間的距離為3cm，則該臥足杯側(cè)面所在的球面的半徑是 cm；臥足杯的容積是 cm3（杯的厚度忽略不計(jì)）
1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm，把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為，下底直徑約為40cm，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川·三模）龍洗，古代中國盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內(nèi)有龍紋而稱之為龍洗，中國傳說中也稱作聚寶盆．其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)，現(xiàn)有一龍洗盆高，盆口直徑24cm，盆底直徑．現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為4cm時(shí)，則盆內(nèi)水的體積為（ ）（圓臺(tái)的體積公式：，其中分別表示圓臺(tái)上下底面的面積）
A．B．C．D．
3．（2024高三·河南·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
考點(diǎn)七、表面積與體積中的最值及范圍問題
1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）“冪勢既同，則積不容異”，這是“祖暅原理”，可以描述為，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，總被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個(gè)平行六面體，則該平行六面體的體積的最大值為（ ）
A．B．34C．D．
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，已知直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，D為的中點(diǎn)，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在圓臺(tái)O1O2中，圓O1的半徑是2，母線，圓O2是的外接圓，，，則三棱錐體積最大值為 ．
2．（浙江·高考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .
1．（2024·重慶·三模）若圓錐的母線長為2，且母線與底面所成角為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·三模）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．10πD．12π
3．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為為棱的中點(diǎn)，則四面體的體積為（ ）
A．2B．423C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個(gè)圓臺(tái)型的石碑底座，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點(diǎn)的投影為下底面圓半徑的中點(diǎn)，高為3，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（ ）
A．B．5πC．7πD．
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，水面高度均為2的圓錐、圓柱容器的底面半徑相等，高均為4（不考慮容器厚度及圓錐容器開口）．現(xiàn)將圓錐容器內(nèi)的水全部倒入圓柱容器內(nèi)，則倒入前后圓柱容器內(nèi)水的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正三棱臺(tái)的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺(tái)的表面積為（ ）
A．B．C．D．18
7．（2024·天津北辰·三模）中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（ ）
A．325π12B．76π3C．215π9D．325π16
8．（2024·河南信陽·三模）如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（ ）
A．132B．142C．12D．162
9．（23-24高一下·吉林·期中）在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（ ）
A．2B．6C．D．
10．（2024·江西·二模）如圖，在直三棱柱中，，∠BAC=π2，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為邊上的點(diǎn)，且，將沿所在直線翻折到的位置，使，則四棱錐的體積為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·天津·二模）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，，，，均與底面垂直，且，點(diǎn)E、F分別為線段、的中點(diǎn)，記該幾何體的體積為，平面將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京西城·二模）楔體形構(gòu)件在建筑工程上有廣泛的應(yīng)用．如圖，某楔體形構(gòu)件可視為一個(gè)五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構(gòu)件的體積為（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為，其中分別是上?下底面的面積，是中截面的面積，為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對(duì)應(yīng)邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長?寬比下底的長?寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運(yùn)，則至少需要運(yùn)（ ）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）
A．51車B．52車C．54車D．56車
5．（2024·河北保定·三模）如圖，在長方體中，，，是上一點(diǎn)，且，則四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西·模擬預(yù)測）如圖，將邊長為1的正以邊為軸逆時(shí)針翻轉(zhuǎn)弧度得到，其中，構(gòu)成一個(gè)三棱錐．若該三棱錐的外接球半徑不超過，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
7．（2024·新疆·二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個(gè)面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，ABFE，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個(gè)羨除的體積V= ．
8．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）如圖，在幾何體中，，梯形和梯形為等腰梯形，，若幾何體的體積為，則 ．

9．（2024·重慶·三模）已知棱長為1的正方體內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為 .
10．（2024·山東菏澤·二模）已知在棱長為2的正方體中，挖去一個(gè)以上下底面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱柱，再挖去一個(gè)以左右兩側(cè)面各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為 ．
1．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
2．（2023·全國·高考真題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
3．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（ ）
A．B．4πC．D．12π
4．（2021·北京·高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
5．（2020·海南·高考真題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD1的體積為
6．（2020·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是 cm3.
7．（2019·天津·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 .
8．（2019·江蘇·高考真題）如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是 .
9．（2019·全國·高考真題）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 .
118．10．（2015·山東·高考真題）直棱柱的底面是邊長為的菱形，側(cè)棱長為，那么直棱柱的側(cè)面積是
5年考情
考題示例
考點(diǎn)分析
關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第5題,5分
圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算
圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
無
2024年新Ⅱ卷，第7題,5分
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
求線面角
2023年新I卷，第12題,5分
正棱錐及圓柱體的相關(guān)計(jì)算
球體相關(guān)計(jì)算
2023年新I卷，第14題,5分
臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
無
2023年新Ⅱ卷，第9題,5分
圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
二面角的概念及辨析
二面角大小求線段長度或距離
2023年新Ⅱ卷，第14題,5分
正棱臺(tái)及其有關(guān)計(jì)算
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
無
2022年新I卷，第4題,5分
臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
無
2022年新I卷，第8題,5分
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
球的體積的有關(guān)計(jì)算
多面體與球體內(nèi)切外接問題
由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 (不含參)
2022年新Ⅱ卷，第11題,5分
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
證明線面垂直
2021年新I卷，第3題,5分
圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算
無
2021年新Ⅱ卷，第5題,5分
棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類
臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
無
2020年新Ⅱ卷，第13題,5分
錐體體積的有關(guān)計(jì)算
無
名稱
棱柱
棱錐
棱臺(tái)
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點(diǎn)但不一定相等
延長線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
球
圖形
母線
平行、相等且垂直于底面
相交于一點(diǎn)
延長線交于一點(diǎn)
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面
展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝S底·h
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)S底·h
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
等級(jí)
24h降雨量（精確到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……
第01講 基本立體圖形、
簡單幾何體的表面積及體積
（7類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5-6分
【備考策略】1.了解柱、錐、臺(tái)體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征及其相關(guān)性質(zhì)
2.會(huì)運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體等組合體的表面積和體積的計(jì)算公式求解相關(guān)問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般給定柱、錐、臺(tái)體及簡單組合體，求對(duì)應(yīng)的表面積與體積，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).
知識(shí)講解
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
3.空間幾何體的表面積與體積公式
考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè)B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形
C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直D．棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直
【答案】D
【分析】由空間幾何體的概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷
【詳解】對(duì)于A，經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，故A正確，
對(duì)于B，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故B正確，
對(duì)于C，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，故C正確，
對(duì)于D，棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，側(cè)棱中有可能與底面垂直，故D錯(cuò)誤，
故選：D
2．下列命題：
①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】①②③④均可舉出反例.
【詳解】①如圖1，滿足有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形，
顯然不是棱柱，故①錯(cuò)誤；
②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯(cuò)誤；
③如圖3，四邊形為矩形，
即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯(cuò)誤；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因?yàn)閮傻酌娌灰欢ㄊ钦叫危苠e(cuò)誤．
故選：A
3．（多選）如圖，我們常見的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足（Euler's frmula），據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說法正確的是（ ）
A．共有20個(gè)六邊形
B．共有10個(gè)五邊形
C．共有90條棱
D．共有32個(gè)面
【答案】ACD
【分析】分別設(shè)出正五邊形和正六邊形的個(gè)數(shù)，利用關(guān)系式即可解出正五邊形和正六邊形的數(shù)量，以及棱數(shù)和面數(shù).
【詳解】解：由題意，
設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，
解得：.
B錯(cuò)誤.
∵頂點(diǎn)數(shù)：，
解得：，
∴A正確.
面數(shù)：.
∴D正確.
棱數(shù)：.
C正確.
故選：ACD.
1．下列命題是真命題的是（ ）
A．兩個(gè)四棱錐可以拼成一個(gè)四棱柱B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形
C．經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有且只有一個(gè)D．直棱柱的側(cè)面是矩形
【答案】D
【分析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)，依次分析選項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)四棱錐不一定可以拼成一個(gè)四棱柱，A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，經(jīng)過不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有無數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．
故選：D
2．下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的有（ ）
A．圓柱的所有母線長都相等B．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
C．一個(gè)棱臺(tái)最少有5個(gè)面D．用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面
【答案】AC
【分析】根據(jù)多面體和旋轉(zhuǎn)體的定義和特征即可一一判斷.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓柱的定義可知，母線均與圓柱的軸平行，則其長度都相等，故A正確；
對(duì)于B，只有底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心時(shí)，才是正四棱錐，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)棱臺(tái)的定義知，底面邊數(shù)至少為3，故棱臺(tái)的表面至少有兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面，即五個(gè)平面，故C正確；
對(duì)于D，若用一個(gè)與圓臺(tái)底面不平行的平面截圓臺(tái)，則截面將不是圓面，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
3．給出下列命題：
①長方體是四棱柱；
②直四棱柱是長方體；
③底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；
④延長一個(gè)棱臺(tái)的各條側(cè)棱，它們相交于一點(diǎn)．
則正確的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】AD
【分析】根據(jù)棱柱、棱錐及棱臺(tái)的定義判斷即可；
【詳解】解：對(duì)于①：長方體滿足有兩個(gè)面互相平行且全等，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，故長方體是四棱柱，故①正確；
對(duì)于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，則這樣的直四棱柱不是長方體，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：如果棱錐的底面是正多邊形，但頂點(diǎn)在底面的射影不是底面的中心，這樣的棱錐不是正棱錐，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分為棱臺(tái)，故延長一個(gè)棱臺(tái)的各條側(cè)棱，它們必相交于一點(diǎn)，故④正確；
故選：AD
考點(diǎn)二、柱體的表面積與體積
1．（2024·上?！と＃┮阎獔A柱的底面半徑為3cm，側(cè)面積為24πcm3，則此圓柱的體積為 cm3
【答案】36π
【分析】先根據(jù)已知條件求出圓柱的高，再利用圓柱的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓柱的高為?，則，得，
所以此圓柱的體積為，
故答案為：36π
2．（全國·高考真題）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為
A．8B．C．82D．83
【答案】C
【分析】首先畫出長方體ABCD?A1B1C1D1，利用題中條件，得到，根據(jù)AB=2，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.
【詳解】在長方體ABCD?A1B1C1D1中，連接BC1，

根據(jù)線面角的定義可知，
因?yàn)锳B=2，所以，從而求得，
所以該長方體的體積為，故選C.
【點(diǎn)睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
3．（江蘇·高考真題）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且＝94，則V1V2的值是 ．
【答案】
【詳解】試題分析：設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為R，r；高分別為H，h；∵，∴，它們的側(cè)面積相等，∴，∴．故答案為32．
考點(diǎn)：1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；2．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．
4．（2024·天津·高考真題）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A．36B．C．32D．
【答案】C
【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.
【詳解】用一個(gè)完全相同的五面體（頂點(diǎn)與五面體一一對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，
因?yàn)?，且兩兩之間距離為1．，
則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，
該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，
.
故選：C.
1．（上海·高考真題）若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .
【答案】4
【詳解】試題分析：棱柱的底面積為
考點(diǎn)：棱柱體積
2．（2024·山東·二模）已知圓柱的底面半徑為4，側(cè)面面積為16π，則該圓柱的母線長等于 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求解即可.
【詳解】由題意可知圓柱的底面周長，
所以根據(jù)圓柱的側(cè)面面積公式可知，該圓柱的母線長，
故答案為：
3．（全國·高考真題）正三棱柱側(cè)面的一條對(duì)角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（ ）
A．62B．6C．D．63
【答案】A
【分析】結(jié)合已知條件，求出正三棱柱底面邊長和高，然后利用柱體體積公式求解即可.
【詳解】因?yàn)檎庵鶄?cè)面的一條對(duì)角線長為2，且與底面成45°角，
所以正三棱柱的側(cè)面為正方形，且這個(gè)正方形的邊長為2，
即正三棱柱的底面邊長為2，高?=2，
故正三棱柱的底面面積，
從而正三棱柱的體積為.
故選：A.
4．（全國·高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.
詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為22的正方形，
結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是2的圓，且高為22，
所以其表面積為，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.
考點(diǎn)三、錐體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為 .
【答案】
【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.
【詳解】∵
∴
∴
∴.
故答案為：.
2．（2023·全國·高考真題）在三棱錐P?ABC中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【分析】證明AB⊥平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，
是邊長為2的等邊三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故選：A
3．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長為4的正方形，，則△PBC的面積為（ ）
A．22B．32C．42D．
【答案】C
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在△PAC中利用余弦定理求得，從而求得，由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在△PAC中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫?，AB=4，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在△PAC中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在△PBC中，，
所以，
又，所以，
所以△PBC的面積為.
法二：
連結(jié)AC,BD交于O，連結(jié)PO，則O為AC,BD的中點(diǎn)，如圖，
因?yàn)榈酌鏋檎叫?，AB=4，所以，
在△PAC中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因?yàn)?，所以?br>即，
則，整理得①，
又在△PBD中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在△PBC中，，
所以，
又，所以，
所以△PBC的面積為.
故選：C.
4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐P?ABC的體積之比為（ ）
A．19B．29C．13D．49
【答案】B
【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面PAC，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面PAC，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.
【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面PAC，垂足為，連接,過作,垂足為.

因?yàn)槠矫鍼AC，平面，所以平面平面PAC.
又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面PAC，且.
在中，因?yàn)?，所以，所以?br>在中，因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：B
1．（2024·全國·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程，求出解后可求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，所以即，
故r=3，故圓錐的體積為.
故選：B.
2．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB=120°，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為（ ）
A．πB．6πC．3πD．36π
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.
【詳解】在△AOB中，，而，取AB中點(diǎn)C，連接，有，如圖，
，，由△PAB的面積為934，得，
解得，于是，
所以圓錐的體積.
故選：B
3．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（ ）
A．5B．22C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將r1,r2分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】解：設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，
則，
所以，
又，
則，
所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故選：C.
4．（2022·全國·高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，F(xiàn)?ABC，的體積分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】直接由體積公式計(jì)算V1,V2，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】
設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，
，連接交于點(diǎn)，連接，易得BD⊥AC，
又平面，AC?平面，則，又，平面，則AC⊥平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.
故選：CD.
考點(diǎn)四、臺(tái)體的表面積與體積
1．（2021·全國·高考真題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.
【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，
因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺(tái)的高，
下底面面積，上底面面積，
所以該棱臺(tái)的體積.
故選：D.
2．（2023·全國·高考真題）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，，則該棱臺(tái)的體積為 ．
【答案】/
【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的高，

因?yàn)椋?br>則，
故，則，
所以所求體積為.
故答案為：.
3．（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．
【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V．
棱臺(tái)上底面積，下底面積，
∴
．
故選：C．
4．（2024·全國·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線長分別為,，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為 ．
【答案】64
【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可得解.
【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為，
，
所以.
故答案為：64.
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知一個(gè)高為6的圓錐被平行于底面的平面截去一個(gè)高為3的圓錐，所得圓臺(tái)的上、下底面圓周均在球的球面上，球的體積為，且球心在該圓臺(tái)內(nèi)，則該圓臺(tái)的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為2r，球心到圓臺(tái)上底面的距離為，由球的體積可得半徑為R=5，結(jié)合圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征列式解得，進(jìn)而可求得表面積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為2r，依題意得該圓臺(tái)的上底面半徑為r，且圓臺(tái)的高為3．
設(shè)球心到圓臺(tái)上底面的距離為，球的半徑為R，
由球的體積為，解得R=5，
因?yàn)辄c(diǎn)在該圓臺(tái)內(nèi)，則， 解得，
可得該圓臺(tái)的母線長，
所以圓臺(tái)的表面積為．
故選：B.
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，，若正四棱臺(tái)的高為，則其表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，則，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O1，連接OO1，即可得到OO1為正四棱臺(tái)的高?，由勾股定理求出，再求出斜高，最后由表面積公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)，則，
如圖，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O1，連接OO1，
由正四棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知分別是上?下底面的中心，
所以平面平面A1B1C1D1，所以O(shè)O1為正四棱臺(tái)的高?，
所以由題可知?=22，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
則，即，解得a=22，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為斜高，此時(shí)，
所以正四棱臺(tái)的表面積為.
故選：D.
3．（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為V1，V2兩部分，則（ ）
A．1∶1B．4∶3C．6∶5D．7∶5
【答案】D
【分析】根據(jù)割補(bǔ)法結(jié)合棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.
【詳解】設(shè)三棱柱的高為h，上下底面面積均為S，體積為V，
則，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，故,
結(jié)合題意可知幾何體為棱臺(tái)，
則，
故,故，
故選：D
4．（2024·新疆喀什·二模）（多選）如圖圓臺(tái)O1O2，在軸截面中，，下面說法正確的是（ ）
A．線段AC=23
B．該圓臺(tái)的表面積為11π
C．該圓臺(tái)的體積為73π
D．沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5
【答案】ABD
【分析】在等腰梯形中求出判斷A；利用圓臺(tái)表面積公式、體積公式計(jì)算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計(jì)算判斷D.
【詳解】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高
對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；
對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；
對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，
而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為COD且，又，
在Rt△中，cm，斜邊上的高為，即與弧相離，
所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.

故選：ABD
考點(diǎn)五、組合體的表面積與體積
1．（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址．如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑AB=12cm，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意先求圓錐的母線長，結(jié)合圓柱和圓錐的側(cè)面積公式分析求解.
【詳解】由題意可知：圓錐的母線長為，
所以這個(gè)陀螺的表面積是.
故選：C.
2．（2024·湖北武漢·二模）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為4，則該幾何體的體積是（ ）

A．B．32πC．D．
【答案】C
【分析】求出圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐以及圓柱的體積公式，即可求得答案.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，高為，
故圓錐的體積為，
圓柱的底面半徑也為，母線長也即高為4，
則圓柱的體積為，
故幾何體的體積為，
故選：C
3．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）
A．23B．24C．26D．27
【答案】D
【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.
【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,
在直棱柱中，AB⊥平面BHC，則,
由AB∩BC=B可得平面，
設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為
則
則該幾何體的體積為.
故選：D.
1．（2022·河南鄭州·三模）魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出正八邊形的面積，再由該魯班鎖玩具的表面積為6個(gè)邊長為1的正八邊形和8個(gè)邊長為1的正三角形的面積和計(jì)算表面積即可.
【詳解】
由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個(gè)邊長為1的正八邊形和8個(gè)邊長為1的正三角形的面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得，作，垂足為，則，則八邊形的面積為，則該魯班鎖玩具的表面積為.
故選：A.
2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，六面體的一個(gè)面是邊長為2的正方形，，CC1，DD1均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于 ，表面積等于 ．
【答案】 6 22
【分析】根據(jù)，CC1，DD1均垂直于平面，所以，在DD1上取，連接，從而根據(jù)線線平行可得故為三棱柱，為三棱柱，根據(jù)柱體體積公式即可得該六面體的體積，根據(jù)幾何體外表面的線線關(guān)系結(jié)合勾股定理、余弦定理、三角形面積公式、梯形面積公式、正方形面積公式，即可得幾何體的表面積.
【詳解】如圖，在DD1上取，連接，
因?yàn)?，CC1，DD1均垂直于平面，所以，
則，因?yàn)檎叫?，所以?br>又平面，所以DC⊥平面，
由可得四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槊鏋檎叫?，則，所以，
則四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，MC?平面，所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
故為三棱柱，為三棱柱，
則該六面體的體積；
如圖，連接，
又，，
所以，
則在四邊形中，由余弦定理得，
所以，則，
該六面體的表面積
.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定六面體的線線關(guān)系.關(guān)于求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．
考點(diǎn)六、數(shù)學(xué)文化之表面積與體積
1．（全國·高考真題）(2015新課標(biāo)全國I理科)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
【答案】B
【詳解】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.
考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（ ）
A．10500B．12500C．31500D．52500
【答案】A
【分析】利用棱臺(tái)的體積公式,即可計(jì)算得出答案．
【詳解】一斛米的體積為，
因?yàn)槲宥窞橐货砸欢访椎捏w積為，
故選：A.
3．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）《綴術(shù)》中提出的“緣冪勢既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理常應(yīng)用于計(jì)算某些幾何體的體積.如圖，某個(gè)西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓面，側(cè)面為球面的一部分，上底直徑為，下底直徑為6cm，上下底面間的距離為3cm，則該臥足杯側(cè)面所在的球面的半徑是 cm；臥足杯的容積是 cm3（杯的厚度忽略不計(jì)）
【答案】
【分析】設(shè)球體的半徑為R，OO1=x，得到，解出，求出球體半徑；由祖暅原理知，碗的體積等于下圖右邊中間高為的圓柱體積減去一個(gè)圓臺(tái)，分別求出圓柱和圓臺(tái)的容積，作差即可求解.
【詳解】如下圖：設(shè)球體的半徑為R，OO1=x，由，
得，解得，所以；
作一個(gè)高與球的半徑相等，底面半徑也與球的半徑相等的圓柱，可得過O1的兩截面的面積相等，
由祖暅原理知，碗的體積等于下圖右邊中間高為的圓柱體積減去一個(gè)圓臺(tái)，
設(shè)圓臺(tái)上表面半徑為r1，則，
下表面半徑為r2，所以，
， .
.故答案為：；.
1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對(duì)于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實(shí)物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm，把該瓷器看作兩個(gè)相同的圓臺(tái)拼接而成（如圖），圓臺(tái)的上底直徑約為，下底直徑約為40cm，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓臺(tái)體積公式求解.
【詳解】根據(jù)題意，.
故選：B
2．（2024·四川·三模）龍洗，古代中國盥洗用具，狀貌像鼎，用青銅鑄造，因盆內(nèi)有龍紋而稱之為龍洗，中國傳說中也稱作聚寶盆．其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)，現(xiàn)有一龍洗盆高，盆口直徑24cm，盆底直徑．現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為4cm時(shí)，則盆內(nèi)水的體積為（ ）（圓臺(tái)的體積公式：，其中分別表示圓臺(tái)上下底面的面積）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出有水部分的高，根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，即可求得答案.
【詳解】由題意可知，該龍洗盆的軸截面圖如圖：
龍洗盆上底半徑為12cm，下底半徑為6cm，
當(dāng)水深為4cm時(shí)，占盆高的，此時(shí)水面的半徑為cm，
則盆內(nèi)水的體積，
故選：B
3．（2024高三·河南·專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
【答案】C
【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.
【詳解】
如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，
因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，
則盆中水的體積為立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故選：C.
考點(diǎn)七、表面積與體積中的最值及范圍問題
1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑R=3,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時(shí)，，時(shí)，,
所以正四棱錐的體積的最小值為274，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)?=4取到，
當(dāng)時(shí)，得，則
當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）“冪勢既同，則積不容異”，這是“祖暅原理”，可以描述為，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，總被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個(gè)平行六面體，則該平行六面體的體積的最大值為（ ）
A．B．34C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)祖暅原理知，圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積與直平行六面體的體積相同，所以圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積的最大值為圓錐內(nèi)接正四棱柱的體積的最大值，求解即可.
【詳解】根據(jù)祖暅原理知，圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積與直平行六面體的體積相同．
當(dāng)?shù)酌鏋檎叫螘r(shí)，平行六面體的底面面積最大，
所以圓錐內(nèi)接斜平行六面體的體積的最大值為圓錐內(nèi)接正四棱柱的體積的最大值，
如圖（1），設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為y，
作出圓錐的軸截面，如圖（2），

由圖可知，，，，AB=2．
易知，，
所以，而，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用祖暅原理將問題轉(zhuǎn)化為求圓錐的內(nèi)接正四棱柱的體積，從而得解.
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，已知直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，D為的中點(diǎn)，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面BDE截直三棱柱所得的截面面積的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】過作，交A1C1于，連接，取的中點(diǎn)，連接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面為梯形，根據(jù)邊長關(guān)系求出梯形的面積即可得到答案.
【詳解】直三棱柱的體積為4，AC⊥BC，，所以，解得，
過作，交A1C1于，連接，取的中點(diǎn)，連接，

設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，平面BDE截直三棱柱所得的截面為正方形，面積為，
②當(dāng)0

相關(guān)學(xué)案

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第01講函數(shù)及其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第01講函數(shù)及其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)(學(xué)生版+解析)，共83頁。學(xué)案主要包含了命題規(guī)律，備考策略，命題預(yù)測等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合(學(xué)生版+解析)：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合(學(xué)生版+解析)，共165頁。學(xué)案主要包含了高斯取整函數(shù)，二階行列式，狄利克雷函數(shù)，sgnx函數(shù)，最大值最小值函數(shù)，歐拉函數(shù)，黎曼函數(shù)，曲率等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章 §7.1　基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章 §7.1　基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（含解析），共22頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第1節(jié)　立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積（講義）

高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第1節(jié)　立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積（講義）
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)8.3 簡單幾何體的表面積與體積導(dǎo)學(xué)案及答案

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)8.3 簡單幾何體的表面積與體積導(dǎo)學(xué)案及答案
備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第七章立體幾何與空間向量第1講基本立體圖形簡單幾何體的表面積與體積

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第七章立體幾何與空間向量第1講基本立體圖形簡單幾何體的表面積與體積
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第1課時(shí)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積學(xué)案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第1課時(shí)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部