考點(diǎn)一 解一元二次方程——直接開(kāi)平方法
考點(diǎn)二 解一元二次方程——配方法
考點(diǎn)三 根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況
考點(diǎn)四 解一元二次方程——公式法
考點(diǎn)五 解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）
考點(diǎn)六 解一元二次方程——換元法
考點(diǎn)一 解一元二次方程——直接開(kāi)平方法
例題：（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3)； (4)100（x－1）2＝121．
【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)，；(4)x1＝，x2＝－
【解析】
【分析】
把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后選取適當(dāng)?shù)姆椒纯汕蠼猓?br>【詳解】
解：（1），
，
，
．
（2）4（x﹣1）2＝9，
則（x﹣1）2＝，
故x﹣1＝±，
解得：x＝或x＝﹣．
(3)
移項(xiàng)得：，
開(kāi)平方得：，
解得：，；
(4)解∶ （x－1）2＝，
x－1＝±，
即x1＝，x2＝－．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法是關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）方程的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先移項(xiàng)化為，再利用直接開(kāi)平方的方法解方程即可.
【詳解】
解：
即
或

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接開(kāi)平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵.
2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線(xiàn)記成 ，定義 ＝ad﹣bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若 ，則x＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題中已知的新定義列出式子，然后化簡(jiǎn)得到關(guān)于x的一元二次方程，開(kāi)方即可求出x的值．
【詳解】
解：∵ ，
∴，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，
∴，
∴，
∴x＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查完全平方公式的運(yùn)用以及解一元二次方程，理解并運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 解一元二次方程——配方法
例題：（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)期末）解下列方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，；(2)
【解析】
【分析】
（1）先移項(xiàng)，然后配方，再開(kāi)平方，求出方程的解即可；
（2）先移項(xiàng)，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
(1)
解：，
移項(xiàng)得：，
配方得：，即，
開(kāi)平方得：，
∴，．
(2)
，
，
，
，
，
解得．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練進(jìn)行配方和因式分解，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級(jí)期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先將二次項(xiàng)配成完全平方式，再將常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，即得答案．
【詳解】
解：∵，
∴，
即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．
2.（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）解方程：．
【答案】,
【解析】
【分析】
利用配方法解一元二次方程．
【詳解】
解：x2+4x=8，
x2+4x+4=8+4，
，
，
，．
【點(diǎn)睛】
本題考查利用配方法解一元二次方程，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是降次．
考點(diǎn)三 根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況
例題：（2022·云南·昆明八中模擬預(yù)測(cè)）下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程跟的判別式進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：A．選項(xiàng)實(shí)數(shù)根為，故該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
B．選項(xiàng)實(shí)數(shù)根為和，故該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
C．選項(xiàng)依題意得：，則，故該一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
D．選項(xiàng)實(shí)數(shù)根為，故該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式， 時(shí)一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·浙江溫州·中考真題）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于c的一次方程即可．
【詳解】
解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
∴
解得
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式：一元二次方程的跟與的關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
2．（2022年河南省洛陽(yáng)市中招第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程可知，根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得，綜合求解即可．
【詳解】
∵方程是一元二次方程，且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴
解得：且，
故選： B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的概念和根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．但要注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)非零．
考點(diǎn)四 解一元二次方程——公式法
例題：（2022·云南文山·九年級(jí)期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2)．（公式法）
【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)公式法，可得方程的解；
（2）先計(jì)算根的判別式，再利用公式法解方程即可．
(1)
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
(2)
解：
則


解得：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法與公式法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·重慶市育才中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
（1），
，，，，
，
，，
(2)
解：方程中的，
，
則，
故．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．
2.（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解這個(gè)一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)一元二次方程的定義求解即可，一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可．
(1)
關(guān)于x的方程是一元二次方程，
解得
(2)
方程為，
即，
，
解得，
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的定義，解一元二次方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）
例題：（2022·四川成都·九年級(jí)期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)移項(xiàng)，分解因式，化為一元一次方程，即可求解；
（2）通過(guò)移項(xiàng)，分解因式，化為一元一次方程，即可求解．
(1)
解：x2﹣4x＝5，
移項(xiàng)得：x2﹣4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
解得：；
(2)
解：2（x+1）2＝x（x+1），
移項(xiàng)得：2（x+1）2-x（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，
∴x+1=0或2x+2-x=0，
解得：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）運(yùn)用公式法解一元二次方程即可；
（2）運(yùn)用十字相乘法解一元二次方程．
(1)
∵
∴
解得：或；
(2)
∵
∴，
解得：或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．
2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
(1)
解：
∴，
(2)
∴，
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程?因式分解法，因式分解是解本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)六 解一元二次方程——換元法
例題：（2022·江蘇南京·二模）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)t=y+1，
則原方程可化為at2+bt+c=0，
∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，
∴t1=3，t2=-5，
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y1=2，y2=-6．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了換元法解一元二次方程，關(guān)鍵是正確找出兩個(gè)方程解的關(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)期末）請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問(wèn)題：
已知，求的值．
解：設(shè)，則原方程變形為，
即
∴
得t1＝﹣2，t2＝1
∴或
已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先換元，再求出t的值，最后求出答案即可．
【詳解】
解：設(shè)
∴
即，
∴，
解得：，（舍去）
∴
即的值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵．
2．（2022·四川瀘州·一模）請(qǐng)閱讀下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
將x2﹣1視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)，則（x2﹣1）2＝y(tǒng)2，
原方程可化為y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣1＝4，解得x＝±．
綜合（1）（2），可得原方程的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
參照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解為 _____．
【答案】，
【解析】
【分析】
仿照范例，可以設(shè)，則原方程化為一元二次方程：，先解出y的值，再進(jìn)一步解出x的值．
【詳解】
解：設(shè)，則原方程可化為：，
解得：y1＝3，y2＝﹣2，
（1）當(dāng)y＝3時(shí)，x2＝3，解得x1＝，x2＝，
（2）當(dāng)y＝﹣2．時(shí)，x2＝﹣2，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
綜合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝，
故答案為：x1＝，x2＝
【點(diǎn)睛】
本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
一、選擇題
1．（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時(shí)，配方后正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】
把a(bǔ)=1，b=-8，c=16代入Δ=b2-4ac進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況．
【詳解】
解：∵a=1，b=-8，c=16，
∴Δ=b2-4ac=（-8）2-4×1×16=0，
所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式Δ=b2-4ac．當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
3．（2022·河南·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)九年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式，然后解關(guān)于的不等式，即可求出的范圍，再根據(jù)選項(xiàng)判斷即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，
∴
∴或，
選項(xiàng)中，只有3滿(mǎn)足條件，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）如果二次三項(xiàng)式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，則方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根為（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)已知分解因式和方程得出x＋3＝0，x?1＝0，求出方程的解即可．
【詳解】
解：∵二次三項(xiàng)式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1＝﹣3，x2＝1，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解分解因式法解一元二次方程，能根據(jù)題意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此題的關(guān)鍵．
5．（2022·河北張家口·一模）于實(shí)數(shù)a，b先定義一種新運(yùn)算“★”如下：a★b=，若，則實(shí)數(shù)m等于（ ）
A．6B．2C．2或D．2或或6
【答案】B
【解析】
【分析】
分兩種情況討論：當(dāng)m≤1時(shí)， 當(dāng)m＞1時(shí)，再分別根據(jù)新定義列出方程，再解方程即可．
【詳解】
解：當(dāng)m≤1時(shí)，則1★m=m+2=8，解得：m=6，故無(wú)解；
當(dāng)m＞1時(shí)，則1★m=m2+2m=8，解得：m1=2，m2=-4，
∴m=2，
綜上，m=2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查新定義，一元二次方程解法，理解新定義，列出方程是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022·云南·中考真題）方程2x2+1=3x的解為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先移項(xiàng)，再利用因式分解法解答，即可求解．
【詳解】
解：移項(xiàng)得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·遼寧丹東·九年級(jí)期末）將方程配方成的形式為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先將-9移到等號(hào)右邊變成，然后等號(hào)左右兩邊同時(shí)除以2得到，最后等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上1，再把左邊變成完全平方的形式即可．
【詳解】
解：

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解題關(guān)鍵．
8．（2022·吉林白山·二模）若關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
因?yàn)闊o(wú)實(shí)數(shù)根，即無(wú)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式，求出c的取值范圍即可．
【詳解】
∵無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴，解得，
∴當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程根的情況，根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確找到a，b，c的值是解答本題的關(guān)鍵．
9．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)__________．
【答案】且
【解析】
【分析】
根據(jù)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求解不等式得到答案．
【詳解】
∵當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴
∴
∴且
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程組的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程組的相關(guān)知識(shí)．
10．（2022·浙江臺(tái)州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，且），此方程的解為，．則關(guān)于x的一元二次方程的解為_(kāi)_____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
將和分別代入，可求得，，之間的等量關(guān)系，代入一元二次方程即可消去參數(shù)，從而解一元二次方程即可．
【詳解】
解：一元二次方程的解為，，
，解得，
一元二次方程可化為，
，
，
解得，．
一元二次方程的解為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程的解求得，，之間的等量關(guān)系，從而代入求解．
三、解答題
11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）解方程．
(1)
(2)
(3)（
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直接開(kāi)平方法解一元二次方程；
（2）根據(jù)公式法解一元二次方程；
（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；
（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程．
(1)
解：3x+2=±5，
解得；
(2)
3x2-4x-1=0，△=（-4）2-4×3×（-1）=28，
所以；
(3)
（2x+1）2-3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1-3）=0，
2x+1=0或2x+1-3=0，
解得；
(4)
（x-2）（x-5）=0，
x-2=0或x-5=0，
解得x1=2，x2=5．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）按指定的方法解下列方程：
(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法）
(2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）
(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法）
(4)5（x＋1）2＝10（直接開(kāi)平方法）
【答案】(1)x1＝7，x2＝﹣1
(2)x1＝3，x2＝5
(3)x1＝1，x2
(4)
【解析】
(1)
x2﹣6x﹣7=0
解：移項(xiàng)得：x2﹣6x=7
配方得：x2﹣6x+9=7+9
（x﹣3）2=16
開(kāi)方得：x﹣3=±4
解得：x1=7，x2=﹣1；
(2)
2x﹣6=（x﹣3）2
解：移項(xiàng)得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0
提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0
由此得：x﹣3=0，或x﹣5=0
解得：x1=3，x2=5；
(3)
（3）3x2﹣4x+1=0
解：
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
解得：x1=1，x2=；
(4)
5（x+1）2=10
解：（x+1）2=2
解得：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開(kāi)平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·湖南永州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(k+1)x+2k?3=0．
(1)當(dāng)k=3時(shí)，求一元二次方程x2?(k+1)x+2k?3=0的解；
(2)求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【答案】(1)x1=3，x2=1；
(2)見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法可求出答案；
（2）根據(jù)根的判別式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．
(1)
解：當(dāng)k=3時(shí)，原方程變?yōu)閤2-4x+3=0，
∴(x-3)(x-1)=0，
∴x1=3，x2=1；
(2)
證明：∵Δ=(k+1)2-4×(2k?3)
=k2+2k+1-8k+12
=k2-6k+11
=(k-3)2+2＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式，解一元二次方程-因式分解法，正確掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·江蘇·蘇州市吳中區(qū)城西中學(xué)八年級(jí)期中）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若的兩邊，的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．第三邊的長(zhǎng)為6，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)7
【解析】
【分析】
（1）證明△≥0即可；
（2）求出方程的解，根據(jù)△ABC是等腰三角形分類(lèi)討論即可．
(1)
證明：∵Δ＝(k＋1)2?4(2k?2)
＝k2＋2k＋1?8k＋8
＝k2?6k＋9
＝(k?3)2≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)
解：原方程分解因式得：(x?2)[x?(k?1)]＝0，
∴x1＝2，x2＝k?1，
當(dāng)?shù)妊切蔚难?時(shí)，2＋2＜6，不合題意，
∴等腰三角形的腰是6，
∴k?1＝6，
∴k＝7．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是對(duì)原方程進(jìn)行因式分解，求出方程的根．
15．（2021·河南信陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列“問(wèn)題”與“提示”后，將解方程的過(guò)程補(bǔ)充完整，求出x的值．
解方程：
提示：可以用“換元法”解方程．
解；設(shè)，則有．
原方程可化為：
續(xù)解：
【答案】，
【解析】
【分析】
利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，得到，，根據(jù)可得不符合題意，然后解方程，進(jìn)而進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．
【詳解】
解：，
∴，，
∵，
∴，
則有，配方，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根．
【點(diǎn)睛】
本題考查了無(wú)理方程，解無(wú)理方程的基礎(chǔ)思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法，注意：用乘方法來(lái)解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意檢驗(yàn)．
16．（2021·福建·莆田第二十五中學(xué)九年級(jí)期中）閱讀下面材料：并解答問(wèn)題．
為解方程，我們可以將x2－1視為一個(gè)整體，然后設(shè)，則，原方程可化為，解此方程，得．
當(dāng)時(shí)，，，∴．
當(dāng)時(shí)，，∴．
∴原方程的解為．
以上解題方法就叫換元法，請(qǐng)利用換元法解方程．．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，則原方程化為：再解關(guān)于的一元二次方程方程可得再分兩種情況解方程即可.
【詳解】
解：
設(shè)，則原方程化為：

解得：
當(dāng)時(shí)，則
整理得：
解得：
當(dāng)時(shí)，則
整理得：
由
所以方程無(wú)解，
所以原方程的解為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是利用換元的方法解方程，熟練的通過(guò)換元把高次方程化為一元二次方程是解本題的關(guān)鍵.

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21.1 一元二次方程

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