一、選擇題（共9題，每題5分，滿分45分）
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.
【詳解】解：將直線一般式方程化為斜截式方程得：，
所以直線的斜率為，
所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為.
故選：C
2. 與橢圓C：共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程先求解出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)定義求解出的值，結(jié)合可求的值，則雙曲線方程可求.
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，
記，所以，
所以，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：C.
3. 設(shè)，則“”是直線：和直線：平行的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)求解出的值，然后分析條件和結(jié)論的推出關(guān)系判斷出屬于何種條件.
【詳解】若，則有，所以或，
當(dāng)時(shí)，，故重合，舍去；
當(dāng)時(shí)，，滿足條件，
所以，
所以“”是“”的充要條件，
故選：C.
4. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為48的矩形截某圓錐得到橢圓C，且橢圓C與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓C在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，則下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意判斷出橢圓的長軸長度乘以短軸長度等于矩形的面積，然后逐項(xiàng)判斷方程是否符合即可.
【詳解】由題意可知：，所以，
A：，不滿足；
B：，不滿足；
C：，滿足；
D：，不滿足；
故選：C.
5. 向量，，，則（）
A. 9B. 3C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)先求解出的值，然后表示出的坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)下的模長計(jì)算公式求解出結(jié)果.
【詳解】因，所以，所以，
所以，
所以，
故選：A.
6. 雙曲線C：（，）的一條漸近線過點(diǎn)，，是C的左右焦點(diǎn)，且，若雙曲線上一點(diǎn)M滿足，則（）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件求解出雙曲線方程，然后根據(jù)在雙曲線的左右支上進(jìn)行分類討論，由此確定出的值.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以或（舍）?br>又因?yàn)殡p曲線的漸近線過點(diǎn)，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，
故選：B.
7. 已知點(diǎn)，，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，則的面積的最大值為（）
A. 12B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先求解出直線方程，然后將圓心到直線的距離再加上半徑作為的高的最大值，由此求解出的面積的最大值.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)閳A的方程為，所以圓心為，半徑為，
所以圓上點(diǎn)到直線的最大距離為，
所以的面積的最大值為，
故選：D.
8. 過點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且滿足.若M為直線上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法可求出直線的方程，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.
【詳解】橢圓方程.
因?yàn)?，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn).
因?yàn)?，即為線段的中點(diǎn)，
設(shè)，顯然，則，
，可得，
則，即，
所以，即直線的斜率，
所以直線為，即，
因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，
所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離.
故選：B.
9. 已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與圓：相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則離心率為（）
A. 3B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出坐標(biāo)，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，即可求出，，，，再由銳角三角函數(shù)得到，即可求出離心率.
【詳解】圓：的圓心為，半徑，
對于雙曲線，令，解得，則，
設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則，又，，，
所以，
所以，則，所以，
即，解得或（舍去）.
故選：C
二、填空題（共6題，每題5分，滿分30分.）
10. 橢圓C：（）的焦點(diǎn)為，，短軸端點(diǎn)為P，若，則________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)橢圓方程求解出的值，再根據(jù)的值求解出的值，由此求解出結(jié)果.
【詳解】記坐標(biāo)原點(diǎn)為，
因?yàn)椋越裹c(diǎn)在軸上，且，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
所以，所以，
故答案為：.
11. 直線l過點(diǎn)且被圓C：截得的弦長最短，則直線l的方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心到弦的距離最大，此時(shí)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于弦，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.
【詳解】由圓的方程知圓心，半徑為，
當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心與的連線垂直于弦，
由圓心與的連線斜率為，所以直線l的斜率為1，
直線l的方程為即.
故答案為：.
12. 圓與圓的公共弦的長為______.
【答案】
【解析】
【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.
【詳解】將圓與圓相減可得，
即兩圓的公共弦所在的直線方程為，
又圓圓心到直線的距離，
圓的半徑為，所以公共弦長為.
故答案為：.
13. 如圖所示，四邊形為正方形，為矩形，且它們所在的平面互相垂直，，為對角線上的一個(gè)定點(diǎn)，且，則到直線的距離為________.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
令，，
所以，，則點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：
14. 直線l：與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則m的取值范圍________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出直線與半圓的圖象，考慮臨界位置：直線經(jīng)過、直線與半圓相切，結(jié)合圖象求解出的取值范圍.
【詳解】即為，表示圓心在原點(diǎn)半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，
直線即為，過定點(diǎn)，
在平面直角坐標(biāo)系中作出直線和半圓的圖象如下圖所示：
圓與坐標(biāo)軸交于，且直線的斜率為，
當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，此時(shí)，解得，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得或（舍），
根據(jù)圖象可知，若直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，
故答案為：.
15. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線C準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，且，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件先確定點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，然后通過作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)結(jié)合三點(diǎn)共線求解出線段和的最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?br>不妨取，，準(zhǔn)線，
作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)，則，
所以的最小值即為，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，
所以的最小值為，
故答案為：.
三、解答題（共5題，滿分75分.）
16. 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心C在直線上，
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程
（3）求x軸被圓所截得的弦長
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)求解出圓心和半徑，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分別考慮切線的斜率存在和不存在，斜率不存在時(shí)直接分析，斜率存在時(shí)根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑完成計(jì)算；
（3）先計(jì)算出圓心到軸的距離，然后根據(jù)半徑、、半弦長之間的關(guān)系求解出軸被圓所截得的弦長即可.
【小問1詳解】
設(shè)圓心，則，
所以，
解得，所以圓心為，半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，圓心到直線的距離為，滿足條件；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
所以，解得，所以直線方程為，
所以切線方程為或；
【小問3詳解】
因?yàn)閳A心到軸()的距離為，且，
所以，
所以軸被圓所截得的弦長為.
17. 如圖，平面，，，，，
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫?，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，又平面的法向量可以為，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
點(diǎn)到平面的距離.
18. 如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)D，E，N分別為棱，，的中點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）已知點(diǎn)H在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件證明出平面平面，由此可證明平面；
（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，求解出平面的法向量，然后根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值求解出結(jié)果；
（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出直線的方向向量，根據(jù)方向向量夾角的余弦值求解出的長度.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br>又因?yàn)?，平面，所以平面平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以平?
【小問2詳解】
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又，
所以，
設(shè)平面一個(gè)法向量為，
所以，所以，
令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【小問3詳解】
設(shè)，且，
所以，
所以，
化簡得，解得或（舍），
所以.
19. 設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為A，B，，.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交y軸于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形與三角形的面積之比為，求點(diǎn)P坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知線段長度求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；
（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為三角形與三角形的面積比，由此得到關(guān)于的關(guān)系式，通過聯(lián)立直線與橢圓方程求得對應(yīng)坐標(biāo)，然后求解出參數(shù)值則的坐標(biāo)可求.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，
所以橢圓方程為；
【小問2詳解】
如下圖所示：
因?yàn)樗倪呅闻c三角形的面積之比為，
所以三角形與三角形的面積比為，
所以，所以，
顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，所以，
所以，，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，所以，
綜上可知，點(diǎn)坐標(biāo)為或.
20. 已知橢圓（）的長軸長是短軸長的2倍.
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線過點(diǎn)且與橢圓有唯一公共點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求橢圓的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，即可得到，從而求出離心率；
（2）由（1）可得橢圓方程為，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，由得到、的關(guān)系，再求出，由利用基本不等式求出面積最大值，即可求出此時(shí)的，從而求出，即可得解.
【小問1詳解】
依題意，即，
所以離心率
【小問2詳解】
由（1）可得橢圓方程為，即，
直線的斜率存在且不為，設(shè)斜率為，則直線為，
由，消去整理得，
所以，即，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
此時(shí)，解得，
所以橢圓方程為，即.

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