1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、考號(hào)、班級(jí)、姓名等填寫在答題卡上．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷、草稿紙上無效．
3．填空題和解答題的作答：用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷、草稿紙上無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷選擇題（共60分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 空間任意四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量加法的三角形法則和向量減法的定義即可求出答案.
【詳解】易知，.
故選：D.
2. 已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面Oxy上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.
【詳解】根據(jù)空間中點(diǎn)坐標(biāo)確定方法知，
空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，
軸上坐標(biāo)不變，軸上坐標(biāo)變?yōu)?．
所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是：
故選：C.
3. 若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理以及空間基底逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).
【詳解】解：對(duì)于A，設(shè)，
所以，此方程組無解，所以，，不共面；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，，共面?br>對(duì)于C，設(shè)，
所以，此方程組無解，所以，，不共面；
對(duì)于D，設(shè)，
所以，此方程組無解，所以，，不共面；
故選：B
4. 一入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線l：反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得點(diǎn)關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的方程，即反射光線所在直線方程.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于l：的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以反射光線的方程為.
故選：D.
5. 已知直線平行，則實(shí)數(shù)的值為
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】對(duì)x，y的系數(shù)分類討論，利用兩條直線平行的充要條件即可判斷出．
【詳解】當(dāng)m=﹣3時(shí)，兩條直線分別化為：2y=7，x+y=4，此時(shí)兩條直線不平行；
當(dāng)m=﹣5時(shí)，兩條直線分別化為：x﹣2y=10，x=4，此時(shí)兩條直線不平行；
當(dāng)m≠﹣3，﹣5時(shí)，兩條直線分別化為：y=x+，y=+，
∵兩條直線平行，∴，≠，解得m=﹣7．
綜上可得：m=﹣7．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了分類討論、兩條直線平行的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．
6. 已知橢圓的一條弦所在的直線方程是弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是則橢圓的離心率是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，選C.
7. 已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓外一點(diǎn)，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由已知條件推導(dǎo)出，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，得的最大值．
【詳解】解：點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，
，
點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)A在橢圓外，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
，
，
，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)取等號(hào)，
，
則的最大值為．
故選：．
8. 已知空間中三個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)三角形，分別在線段上取三點(diǎn)，當(dāng)周長最小時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】當(dāng)為三角形的垂足三角形時(shí)候周長最小，此時(shí)與的交點(diǎn)即為三角形的垂心.
【詳解】如圖所示：
先固定D不動(dòng)，分別作D關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)分別與和交于點(diǎn)，
利用幾何關(guān)系可知與的交點(diǎn)即為三角形的垂心，
從而，即，
不妨設(shè)垂心，坐標(biāo)原點(diǎn)為，
則，
所以有，即垂心的坐標(biāo)滿足,
又四點(diǎn)共面，
從而由四點(diǎn)共面的充要條件可知，
，
從而，結(jié)合，
解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵是分析出當(dāng)周長最小時(shí)，與的交點(diǎn)即為三角形的垂心，再求垂心時(shí)，除了利用垂直轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0以外，還要注意四點(diǎn)共面的充要條件的應(yīng)用，否則只能算出比例.
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列說法正確的有（）．
A. 直線過定點(diǎn)
B. 過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為
C. 斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為
D. 經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為
【答案】AB
【解析】
【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；寫出直線的點(diǎn)斜式方程判斷B；求出直線斜截式方程判斷C；求出直線方程判斷D作答.
【詳解】對(duì)于A，直線恒過定點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B，過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為，B正確；
對(duì)于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，
當(dāng)該直線不過原點(diǎn)時(shí)，方程為，D錯(cuò)誤.
故選：AB
10. 如圖，棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）
A. 直線與底面所成的角為B. 平面與底面夾角的余弦值為
C. 直線與直線的距離為D. 直線與平面的距離為
【答案】BCD
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出線面角，面面角，平行線間距離及線面距離.
【詳解】
如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
則，，，，，，
A選項(xiàng)：，平面的法向量，
設(shè)直線與底面所成的角為，
則，
直線與底面所成的角不為，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：，，
設(shè)平面的法向量，則，令，則
設(shè)平面與底面夾角為，
則，
平面與底面夾角的余弦值為，故B正確；
C選項(xiàng)，，
直線與直線的距離為：，故C正確；
D選項(xiàng)，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直線與平面的距離為：，故D正確；
故選：BCD.
11. 已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 公共弦所在的直線方程為
B. 線段的中垂線方程為
C. 公共弦的長為
D. 若為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三角形周長的最大值為
【答案】AB
【解析】
【分析】先找到圓和圓的圓心和半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系，確定兩圓是否相交.
再對(duì)兩圓作差得到公共弦的直線方程，即可判斷A；線段的中垂線方程為兩圓心的連線方程，可判斷B；圓心到直線的距離，再代入弦長公式即可得到C選項(xiàng)；假設(shè)的坐標(biāo)，計(jì)算，的長度相加，然后根據(jù)式子的特點(diǎn)判斷最大值即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】圓的圓心，和圓的圓心，.則圓心距為，，所以兩圓相交.
兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程為，故A正確；
線段的中垂線即為直線，由，得直線的方程為，故B正確；
圓心到直線的距離為，則弦長，故C錯(cuò)誤；
由于的長度和對(duì)角的角度固定屬于定邊定角問題：
當(dāng)時(shí)，三角形的周長最大，
此時(shí)，
則周長的最大值為：，即，故D錯(cuò)誤.
故選：AB．
12. 給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算：．規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量；②，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長方體中，
則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】在長方體中，AB=AD=2，，
A：同時(shí)與垂直，，
又因?yàn)椋?，且，?gòu)成右手系，
故成立，故A正確；
B：根據(jù)三個(gè)向量構(gòu)成右手系，可知，，
則，故B錯(cuò)誤；
C：，且與同向共線，
，且與同向共線，
又，且與同向共線，即與同向共線，所以，且與同向共線，
所以，故C正確；
D：長方體的體積，
，所以，故D正確.
故選：ACD
第Ⅱ卷非選擇題（共90分）
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若直線l的一個(gè)方向向量是，則直線l的傾斜角是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，然后可求直線的傾斜角.
【詳解】因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.
故答案為：.
14. 已知圓與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)m取值范圍______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓相交，列出不等關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【詳解】由，即，
可知圓的圓心為，半徑為5；
因?yàn)閳A與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，
則，∵，
解得：，即的取值范圍是.
故答案為：.
15. 已知，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，則C的離心率為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可得，，再在中利用余弦定理列方程可求出橢圓的離心率.
【詳解】解：因?yàn)椋蓹E圓的定義可得，可得，，
在中，由余弦定理可得：，而，
即，可得，
可得離心率，
故答案為：
16. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．如：若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______，的最大值為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系可得的最小值，把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與它到距離比值的2倍，結(jié)合圖形可得答案.
【詳解】由得，令，
則直線與圓有公共點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離為，解得，
所以的最小值為.
可以看作點(diǎn)到直線的距離與它到距離比值的2倍，
設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，此時(shí)取到最大值.
設(shè)直線方程為，
由，得，
，解得，結(jié)合圖形可知，
把代入聯(lián)立后的方程可得切點(diǎn)，
代入可得的最大值為.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與它到距離比值的2倍，數(shù)形結(jié)合可得答案.
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
17. 求分別滿足下列條件的直線的一般式方程．
（1）斜率是，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是6；
（2）經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等．
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線方程，得到與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積列出方程，求出答案；
（2）分截距為0和截距不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法求出直線方程.
【小問1詳解】
設(shè)直線的方程為．
令，得．令，得，
，解得．
直線的方程為，化為一般式為．
【小問2詳解】
設(shè)直線在軸、軸上的截距分別為．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為．
直線過點(diǎn)，
，
又，
故，解得或
直線的方程為或；
當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，
直線過原點(diǎn)且過點(diǎn)，故，解得，
直線的方程為．
綜上所述，直線的方程為或或．
18. 已知以點(diǎn)為圓心的圓與______，過點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn).從①直線相切；②圓關(guān)于直線對(duì)稱；③圓的公切線長這3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線上并回答下列問題.
（1）求圓A的方程;
（2）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.
【答案】（1）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）選①：根據(jù)圓的切線性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
選②：根據(jù)圓與圓的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可；
選③：根據(jù)兩圓公切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
（2）利用圓的垂徑定理，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
選①：因?yàn)閳AA與直線相切，
所以圓A的半徑為，
因此圓A的方程為；
選②：因?yàn)閳AA與圓關(guān)于直線對(duì)稱，
所以兩個(gè)圓的半徑相等，因此圓A的半徑為，
所以圓A的方程為；
選③：設(shè)圓的圓心為，兩圓的一條公切線為
兩圓的圓心與兩圓的一條公切線示意圖如下：
設(shè)圓A的半徑，
因此有：，
所以圓A的方程為；
【小問2詳解】
三種選擇圓A的方程都是，
當(dāng)過點(diǎn)動(dòng)直線l不存在斜率時(shí)，直線方程為，
把代入中，得，
顯然，符合題意，
當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)為，直線方程為，圓心到該直線的距離為：，
因?yàn)?，所以有?br>即方程為：
綜上所述：直線l的方程為，或.
19. 如圖，四棱錐的底面是矩形，⊥平面，，.
（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角余弦值的大??；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到，，從而得證；
（2）（3）利用空間向量法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則、、．
在中，，，
∴．
∴、，
∴，，，
∵，，
即，，
又，平面，
∴⊥平面；
【小問2詳解】
由（1）得，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，故平面的法向量可取為，
∵平面，
∴為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角的大小為，由圖易得為銳角，
依題意可得，即二面角余弦值為．
【小問3詳解】
由（1）得，，
設(shè)平面的法向量為，則，
∴，故可取為．
∵，
∴到平面的距離為.
20. 已知三棱錐（如圖①）的平面展開圖（如圖②）中，四邊形ABCD為邊長為的正方形，和均為正三角形.
（1）證明：平面⊥平面；
（2）棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使平面PBC與平面BCM所成角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO，則PO⊥AC，在△POB中利用勾股定理逆定理可得PO⊥OB，然后由線面垂直的判定定理可證得PO⊥平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論，
（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出點(diǎn)，再由平面PBC與平面BCM所成角的余弦值為可求出的值.
【小問1詳解】
設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO．
由題意得，，PO＝AO＝BO＝CO＝2．
∵在△PAC中，PA＝PC，O為AC的中點(diǎn)，
∴PO⊥AC，
∵在△POB中，PO＝2，OB＝2，，PO2+OB2＝PB2，
∴PO⊥OB
∵AC∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，
∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC
【小問2詳解】
由PO⊥平面ABC，平面ABC，OB⊥AC，
∴PO⊥OB，PO⊥OC，
∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則O（0,0,0），C（2,0,0），B（0,2,0），A（2,0,0），P（0,0,2），
設(shè)，則，
∴,
,
設(shè)平面BCM的法向量為，則
，令，則，
設(shè)PBC的法向量為，
因?yàn)椋?br>所以，令，則
設(shè)平面PBC與平面BCM所成角為，由圖可知為銳角，
則，
化簡得，
解得或（舍去）
∴存在點(diǎn)M使平面PBC與平面BCM所成角的余弦值為，且.
21. 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)，存在點(diǎn)使得恒為．
（1）求點(diǎn)軌跡方程；
（2）若點(diǎn)在第三象限，連接交軸于點(diǎn)，連交軸于點(diǎn)，四邊形面積是否為定值，若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）（或）
（2）是定值16
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中條件可直接得到點(diǎn)的軌跡，根據(jù)軌跡類型即可寫出方程；（2）設(shè)，可求得直線的方程，繼而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得,再利用計(jì)算即可.
【小問1詳解】
且，
定弦定角軌跡為圓，故點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，但點(diǎn)應(yīng)在優(yōu)弧上，
則點(diǎn)的軌跡方程為（或）
【小問2詳解】
為定值，證明如下：
設(shè)（或）則
且則
22. 生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過橢圓的上焦點(diǎn)，試問，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）能，定點(diǎn)為（0，）
【解析】
【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程；
（2）聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)論完成證明.
【小問1詳解】
由已知可設(shè)橢圓方程為，
則，，
又
所以，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【小問2詳解】
設(shè)AB方程為，由，得，
設(shè)，則..
由對(duì)稱性知，若定點(diǎn)存在，則直線BM與直線AN交于y軸上的定點(diǎn)，
由得，則直線BM方程為，
令，則
又，
則，
所以，直線BM過定點(diǎn)（0，），同理直線AN也過定點(diǎn).
則點(diǎn)（0，）即為所求點(diǎn).
【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；

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