1．（3 分）方程(x ? 2)2 ? 9 的解是()
A． x1 ? 5 ， x2 ? ?1
B． x1 ? 5 ， x2 ? 1
C． x1 ? 11 ， x2 ? ?7
D． x1 ? ?11 ， x2 ? 7
2．（3 分）如圖，在平面內(nèi)將三角形標志繞其中心旋轉(zhuǎn)180? 后得到的圖案()
A．B．
C． D．
3．（3 分）將拋物線 y ? 2x2 向左平移 3 個單位得到的拋物線的解析式是()
A． y ? 2x2 ? 3
B． y ? 2x2 ? 3
C． y ? 2(x ? 3)2
D． y ? 2(x ? 3)2
4．（3 分）平面內(nèi)，⊙O 的半徑為 2，點 P 到 O 的距離為 2，過點 P 可作⊙O 的切線條數(shù)為
（）
A．0 條B．1 條C．2 條D．無數(shù)條5．（3 分）下列事件中，隨機事件是()
A．擲一枚硬幣，正面朝上B．如果 a ? b ，那么 a ? c ? b ? c
C．對于實數(shù) a ， a2 ? 0
D．兩直線平行，同位角相等
6．（3 分）反比例函數(shù) y ? m ? 3 的圖象，當 x ? 0 時， y 隨 x 的增大而增大，則 m 的取值范
x
圍是()
m ? 3
m?3
m ? 3
m?3
7．（3 分）若 a 是方程2x2 ? x ? 5 ? 0 的一個解，則 4a2 ? 2a 的值是()
A．10B．5C． ?5D． ?10
8．（3 分）往一個圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖，若截面圓的直徑是70cm ，水面寬 AB ? 56cm ，則水的最大深度是()
A． 7cmB．14cmC． 21cmD． 28cm
9．（3 分）拋物線 y ? ?2(x ?1)2 ? 3 上有三個點(?1, y ) ，(0, y ) ，(4, y ) ，那么 y 、y 、y
123123
的大小關(guān)系是()
y1 ? y2 ? y3
y1 ? y3 ? y2
y1 ? y2 ? y3
y2 ? y1 ? y3
10．（3 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程(a ? 2)x2 ? (a ? 2)x ? 1 a ? 0 沒有實數(shù)根，且 a 滿足
4
? 1 ? a?3
?2a ? 5 ? 1 ，則 a 的取值范圍是()
?
a?? 2
a ? 2
a ? ? 2
3
C． ?2?a ? ? 2
3
D． ? 2 ? a ? 3 且
3
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分.）
11．（3 分）二次函數(shù) y ? 2(x ? 3)2 ? 4 的對稱軸為 ．
12．（3 分）一元二次方程 x(x ? 3) ? 0 的解是 ．
13．（3 分）小明爸爸在北京冬奧會期間購買了 3 個“冰墩墩”和 2 個“雪容融”，包裝成外觀一樣的禮物，讓小明從中隨機抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是．
14．（3 分）已知點 A(?3, ? x ) 和點 B(x ? 3, 2) 都是反比例函數(shù) y ? k ? 6 圖象上的點，則 k 的
3x
值是．
15．（3 分）如圖，在平面直角坐標系中，點 B 的坐標是(?3, 2) ， OA ? 1 ，將點 B 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到點C ，則點C 的坐標是．
2
16．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑， ?ACB 的平分線交?O 于 D ， CD ? 7， BC ? 8 ，
則?O 的半徑的長是．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟.）
17．（4 分）解方程： x2 ? 6x ? 7 ? 0 ．
18．（4 分）如圖，若四邊形 ABCD 是半徑為 2 的圓內(nèi)接正方形．求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留?)
19．（6 分）如圖，拋物線 y ? ax2 ? 2x ? c 的圖象與 x 軸交于點 A ， B(3, 0) ，與 y 軸交于點
C(0, 3) ．
求拋物線的解析式；
若當 x ? m ， y ? ax2 ? 2x ? c 取得最大值時，求 m 的值．
20．（6 分）如圖，當電壓U 一定時，電流 I （單位： A) 關(guān)于電阻 R （單位： ?) 的函數(shù)關(guān)
系式為 I ? U ．
R
求這個電阻兩端的電壓；
如果電流不超過12 A ，求電阻應控制的范圍．
21．（8 分）甲、乙兩個口袋中均裝有三張除所標數(shù)值外完全相同的卡片，甲袋中的三張卡片所標有的三個數(shù)值分別為?2 ，4， ?6 ，乙袋中的三張卡片所標的數(shù)值為?2 ，3，5．
小明在乙袋中隨機抽取一張卡片，他抽出來的卡片上所標的數(shù)值是奇數(shù)的概率是 ．
小紅先從甲袋中隨機取出一張卡片，用 x 表示取出的卡片上的數(shù)值，再從乙袋中隨機取出一張卡片，用 y 表示取出的卡片上的數(shù)值，把 x ，y 分別作為點 A 的橫坐標和縱坐標．請用列舉法寫出點 A(x, y) 的所有情況，并求點 A 在第二象限的概率．
22．（10 分）如圖，用總長為40m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖雞棚，墻長為 25m ．
如果這個矩形雞棚與墻平行的一邊 BC 長為 am ，求雞棚與墻垂直的一邊 AB 的長；（用含 a 的式子表示）
設(shè)雞棚與墻垂直的一邊 AB 的長為 x m ，求這個矩形雞棚面積 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍；
試探索，這個矩形雞棚的面積 S 能否等于 250m2 ，若可以，求出此時 AB 的長，若不行，請說明理由．
23．（10 分）如圖，四邊形 ABCD 是矩形．
尺規(guī)作圖：將矩形 ABCD 繞著點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形 AB?C?D? ，使點 B 落在CD 邊上；
若 AB ? 5 ， BC ? 3 ，連接 BB? ，求 BB? 的長；
若?DAD? ? a ，求?CB?B 的度數(shù)（用含 a 的表示）．
24．（12 分）如圖，?O 為等邊?ABC 的外接圓，半徑為 4，點 D 在劣弧 AC 上運動（不與 A 、
C 重合），連結(jié) DA 、 DB 、 DC ．
若?CAD ? 15? ，求?BCD 的大?。?br>求證： AD ? DC ? BD ．
試探索：四邊形 ABCD 的面積 S 與 BD 的長 x 之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)解析式．
25．（12 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 ? 0 ．
求證：一元二次方程 x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 ? 0 一定有兩個不相等的實數(shù)根．
若拋物線 y ? x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 的圖象與 x 軸交于 A(?3, 0) ，B 兩點，與 y 軸交于點C ，一次函數(shù) y ? ax ? 3 圖象過 A ， C 兩點，點 P(m, n) 在拋物線上．
①若 m ? 0 ，且 S?ABP ? S?ABC ，求點 P 的坐標．
②點 P(m, n) 在直線 AC 下方，求四邊形 ABCP 的面積的最大值．
2022-2023 學年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.）
1．（3 分）方程(x ? 2)2 ? 9 的解是()
A． x1 ? 5 ， x2 ? ?1
B． x1 ? 5 ， x2 ? 1
C． x1 ? 11 ， x2 ? ?7
D． x1 ? ?11 ， x2 ? 7
【解答】解：?(x ? 2)2 ? 9 ，
? x ? 2 ? ?3 ，
即 x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? ?3 ， 解得 x1 ? 5 或 x2 ? ?1 ，
故選： A ．
2．（3 分）如圖，在平面內(nèi)將三角形標志繞其中心旋轉(zhuǎn)180? 后得到的圖案()
B．
C． D．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知只有 D 選項符合題意； 故選： D ．
3．（3 分）將拋物線 y ? 2x2 向左平移 3 個單位得到的拋物線的解析式是()
A． y ? 2x2 ? 3
B． y ? 2x2 ? 3
C． y ? 2(x ? 3)2
D． y ? 2(x ? 3)2
【解答】解：將拋物線 y ? 2x2 向左平移 3 個單位所得直線解析式為： y ? 2(x ? 3)2 ； 故選： C ．
4．（3 分）平面內(nèi)，⊙O 的半徑為 2，點 P 到 O 的距離為 2，過點 P 可作⊙O 的切線條數(shù)為
（）
A．0 條B．1 條C．2 條D．無數(shù)條
【解答】解：∵⊙O 的半徑為 2，點 P 到 O 的距離為 2，
∴點 P 在⊙O 上，
∴過點 P 可作⊙O 的一條切線． 故選：B．
5．（3 分）下列事件中，隨機事件是()
A．擲一枚硬幣，正面朝上B．如果 a ? b ，那么 a ? c ? b ? c
C．對于實數(shù) a ， a2 ? 0
D．兩直線平行，同位角相等
【解答】解： A 、擲一枚硬幣，正面朝上，屬于隨機事件，故符合題意；
B 、如果 a ? b ，那么 a ? c ? b ? c ，屬于必然事件，不符合題意；
C 、對于實數(shù) a ， a2 ? 0 ，屬于不可能事件，不符合題意；
D 、兩直線平行，同位角相等，屬于必然事件，不符合題意． 故選： A ．
6．（3 分）反比例函數(shù) y ? m ? 3 的圖象，當 x ? 0 時， y 隨 x 的增大而增大，則 m 的取值范
x
圍是()
m ? 3
m?3
m ? 3
m?3
【解答】解：?當 x ? 0 時， y 隨 x 的增大而增大，
? m ? 3 ? 0 ， 解得 m ? 3 ， 故選： A ．
7．（3 分）若 a 是方程2x2 ? x ? 5 ? 0 的一個解，則 4a2 ? 2a 的值是( )
A．10B．5C． ?5
【解答】解：? a 是方程 2x2 ? x ? 5 ? 0 的一個解，
? 2a2 ? a ? 5 ? 0 ，
? 2a2 ? a ? 5 ，
D． ?10
?4a2 ? 2a ? 2(2a2 ? a) ? 2 ? 5 ? 10 ，
故選： A ．
8．（3 分）往一個圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖，若截面圓的直徑是70cm ，水面寬 AB ? 56cm ，則水的最大深度是()
A． 7cmB．14cmC． 21cmD． 28cm
【解答】解：連接OA ，過點O 作OC ? AB ，交 AB 于點 D ，交圓O 于C ，如圖所示：
?OA ? OC ? 35cm ， AD ? 1 AB ? 28cm ，
2
OA2 ? AD2
? OD ?? 21cm ，
? DC ? OC ? OD ? 14cm ，
?水的最大深度為14cm ； 故選： B ．
9．（3 分）拋物線 y ? ?2(x ?1)2 ? 3 上有三個點(?1, y ) ，(0, y ) ，(4, y ) ，那么 y 、y 、y
123123
的大小關(guān)系是()
y1 ? y2 ? y3
y1 ? y3 ? y2
y1 ? y2 ? y3
y2 ? y1 ? y3
【解答】解：根據(jù)題意得：拋物線 y ? ?2(x ?1)2 ? 3 的對稱軸為直線 x ? 1 ，
??2 ? 0 ，
?拋物線上的點離對稱軸的距離越遠函數(shù)值越小，
? 4 ? 1 ? ?1 ? 1 ? 0 ? 1，
? y2 ? y1 ? y3 ．
故選： D ．
10．（3 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程(a ? 2)x2 ? (a ? 2)x ? 1 a ? 0 沒有實數(shù)根，且 a 滿足
4
? 1 ? a?3
?2a ? 5 ? 1 ，則 a 的取值范圍是()
?
a?? 2
a ? 2
a ? ? 2
3
C． ?2?a ? ? 2
3
D． ? 2 ? a ? 3 且
3
【解答】解：?關(guān)于 x 的一元二次方程(a ? 2)x2 ? (a ? 2)x ? 1 a ? 0 沒有實數(shù)根，
4
? ?? (a ? 2)2 ? 4(a ? 2) ? 1 a ? 6a ? 4 ? 0 ， a ? 2 ? 0 ，
4
? a ? ? 2 ， a ? 2 ，
3
? 1 ? a?3
? a 滿足?2a ? 5 ? 1 ，
?
由 2a ? 5 ? 1 得 a ? 3 ， 由1 ? a?3 得 a?? 2 ，
??2?a ? 3 ，
? ?2?a ? ? 2 ．
3
故選： C ．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分.）
11．（3 分）二次函數(shù) y ? 2(x ? 3)2 ? 4 的對稱軸為 x ? 3 ．
【解答】解：由 y ? 2(x ? 3)2 ? 4 知該拋物線的對稱軸為 x ? 3 ， 故答案為： x ? 3 ．
12．（3 分）一元二次方程 x(x ? 3) ? 0 的解是 x1 ? 0 ， x2 ? 3 ．
【解答】解： x ? 0 或 x ? 3 ? 0 ， 所以 x1 ? 0 ， x2 ? 3 ．
故答案為 x1 ? 0 ， x2 ? 3 ．
13．（3 分）小明爸爸在北京冬奧會期間購買了 3 個“冰墩墩”和 2 個“雪容融”，包裝成外
觀一樣的禮物，讓小明從中隨機抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是3．
5
【解答】解： 3? 3 ，

3 ? 25
因此小明抽到“冰墩墩”的概率是 3 ，
5
3
故答案為： ．
5
14．（3 分）已知點 A(?3, ? x ) 和點 B(x ? 3, 2) 都是反比例函數(shù) y ? k ? 6 圖象上的點，則 k 的
3x
值是 0．
【解答】解：把點 A(?3, ? x ) ， B(x ? 3, 2) 代入反比例函數(shù) y ? k ? 6 得：
3x
? k ? 6 ? ? x
? ?33 ，
? k ? 6
?? 2
?? x ? 3
?x ? 6
解得： ?k ? 0 ；
?
故答案為：0．
15．（3 分）如圖，在平面直角坐標系中，點 B 的坐標是(?3, 2) ， OA ? 1 ，將點 B 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到點C ，則點C 的坐標是(3, 4) ．
【解答】解： 如圖， 過點 C 作 CD ? x 軸于點 D ， 過點 B 作 BE ? x 軸于點 E ， 則
?ADC ? ?AEB ? 90? ，
??BAE ? ?ABE ? 90? ，
根據(jù)題意得： AC ? AB ， ?BAC ? 90? ，
??BAE ? ?CAD ? 90? ，
??ABE ? ?CAD ，
??ABE ? ?CAD ，
? AD ? BE ， CD ? AE ，
?點 B 的坐標是(?3, 2) ，
?OE ? 3 ， AD ? BE ? 2 ，
?OA ? 1 ，
?OD ? 3 ， CD ? AE ? 4 ，
?點C 的坐標為(3, 4) ． 故答案為： (3, 4) ．
2
16．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑， ?ACB 的平分線交?O 于 D ， CD ? 7， BC ? 8 ，
則?O 的半徑的長是 5．
【解答】解：過點 B 作 BE ? CD 于點 E ，如圖所示：
? AB 是?O 的直徑，
??ACB ? ?ADB ? 90? ，
? CD 平分?ACB ，
? ?DAB ? ?BCD ? 1 ?ACB ? 45? ，
2
??ABD ， ?BEC 都為等腰直角三角形，
? CE ? BE ?
2
? CD ? 7
2 BC ? 4 2, AB ?
2
，
2BD ，
2
? ED ? 3，
DE2 ? BE2
2
? BD ?? 5，
? AB ? 2BD ? 10 ，
??O 的半徑的長 5； 故答案為：5．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟.）
17．（4 分）解方程： x2 ? 6x ? 7 ? 0 ．
【解答】解：? x2 ? 6x ? 7 ? 0 ，
?(x ? 7)(x ? 1) ? 0 ，
? x1 ? ?7 或 x2 ? 1 ．
18．（4 分）如圖，若四邊形 ABCD 是半徑為 2 的圓內(nèi)接正方形．求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留?)
【解答】解：連接 AC ， BD 交于點O ，如圖：
?四邊形 ABCD 是半徑為 2 的圓內(nèi)接正方形，
?點O 是圓心， OD ? OC ? 2 ， ?DOC ? 90? ，
??O 的面積為：?? OD2 ? 4?，
正方形 ABCD 的面積為： 4S
?DOC
? 4 ? 1 OD ? OC ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 8 ，
22
?陰影部分的面積為： 4?? 8 ．
19．（6 分）如圖，拋物線 y ? ax2 ? 2x ? c 的圖象與 x 軸交于點 A ， B(3, 0) ，與 y 軸交于點
C(0, 3) ．
求拋物線的解析式；
若當 x ? m ， y ? ax2 ? 2x ? c 取得最大值時，求 m 的值．
【解答】解：（1）把點 B(3, 0) ， C(0, 3) 代入拋物線 y ? ax2 ? 2x ? c 得：
?9a ? 6 ? c ? 0 ，
?
?c ? 3
? c ? 3
解得： ?a ? ?1 ，
?
?拋物線解析式為 y ? ?x2 ? 2x ? 3 ；
（2）由（1）可知拋物線解析式為 y ? ?x2 ? 2x ? 3 ，則有拋物線開口向下，對稱軸為直線
x ? ?
2
2 ? (?1)
? 1 ，
?當 x ? 1 時，拋物線 y ? ?x2 ? 2x ? 3 有最大值，即為 y ? ?12 ? 2 ? 3 ? 4 ；
? m ? 1 ．
20．（6 分）如圖，當電壓U 一定時，電流 I （單位： A) 關(guān)于電阻 R （單位： ?) 的函數(shù)關(guān)
系式為 I ? U ．
R
求這個電阻兩端的電壓；
如果電流不超過12 A ，求電阻應控制的范圍．
【解答】解：（1）把點 A(9,3) 代入 I ? U 得：
R
3 ? U ，解得： U ? 27 ，
9
即這個電阻兩端的電壓 27V ；
（2）由（1）得：電流 I （單位： A) 關(guān)于電阻 R （單位： ?) 的函數(shù)關(guān)系式為 I ? 27 ，
R
當 I ? 12 時，12 ? 27 ，
R
解得： R ? 9 ，
4
? 27 ? 0 ， R ? 0 ，
? I 隨 R 的增大而減小，
?電流不超過12 A ，
?電阻應控制的范圍為 R? 9 ? ．
4
21．（8 分）甲、乙兩個口袋中均裝有三張除所標數(shù)值外完全相同的卡片，甲袋中的三張卡片所標有的三個數(shù)值分別為?2 ，4， ?6 ，乙袋中的三張卡片所標的數(shù)值為?2 ，3，5．
小明在乙袋中隨機抽取一張卡片，他抽出來的卡片上所標的數(shù)值是奇數(shù)的概率是
2．
3
小紅先從甲袋中隨機取出一張卡片，用 x 表示取出的卡片上的數(shù)值，再從乙袋中隨機取出一張卡片，用 y 表示取出的卡片上的數(shù)值，把 x ，y 分別作為點 A 的橫坐標和縱坐標．請用列舉法寫出點 A(x, y) 的所有情況，并求點 A 在第二象限的概率．
【解答】解：（1）他抽出來的卡片上所標的數(shù)值是奇數(shù)的概率為 2 ；
3
故答案為： 2 ；
3
（2）根據(jù)題意點 A(x, y) 的所有情況有：(?2, ?2) ，(?2, 3) ，(?2, 5) ，(4, ?2) ，(4,3) ，(4,5) ，
(?6, ?2) ， (?6, 3) ， (?6, 5) ，
一共有 9 種等可能結(jié)果，其中點 A 在第二象限的有 4 種，
所以點 A 在第二象限的概率為 4 ．
9
22．（10 分）如圖，用總長為40m 的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)殖雞棚，墻長為 25m ．
如果這個矩形雞棚與墻平行的一邊 BC 長為 am ，求雞棚與墻垂直的一邊 AB 的長；（用含 a 的式子表示）
設(shè)雞棚與墻垂直的一邊 AB 的長為 x m ，求這個矩形雞棚面積 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍；
試探索，這個矩形雞棚的面積 S 能否等于 250m2 ，若可以，求出此時 AB 的長，若不行，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意得： AB ? 40 ? a ? (20 ? 1 a)m ；
22
（2）由題意得： S ? x(40 ? 2x) ? ?2x2 ? 40x ，
?0 ? 40 ? 2x?25 ，
?7.5?x ? 20 ；
（3）這個矩形雞棚的面積 S 不能等于 250m2 ， 理由如下：由（2）可知： ?2x2 ? 40x ? 250 ， 化簡得 x2 ? 20x ? 125 ? 0 ，
?△ ? b2 ? 4ac ? 400 ? 4 ?125 ? ?100 ? 0 ，
?該方程無實數(shù)解，
即這個矩形雞棚的面積 S 不能等于 250m2 ．
23．（10 分）如圖，四邊形 ABCD 是矩形．
尺規(guī)作圖：將矩形 ABCD 繞著點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形 AB?C?D? ，使點 B 落在CD 邊上；
若 AB ? 5 ， BC ? 3 ，連接 BB? ，求 BB? 的長；
若?DAD? ? a ，求?CB?B 的度數(shù)（用含 a 的表示）．
【解答】解：（1）如圖所示：
如圖所示即為所求．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 AB ? AB? ? 5 ，
在矩形 ABCD 中， AD ? BC ? 3 ， ?ADB? ? 90? ，
AB?2 ? AD2
52 ? 32
? DB? ??
?CB? ? 5 ? 4 ? 1 ．
(CB)2 ? BC2
?.BB? ??
? 4 ，
12 ? 32
10
?；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， ?DAD? ? ?BAB? ? a ， AB ? AB? ，
??ABB? ? ?AB?B ，
?
??AB?B ? ?ABB? ? 180? ?? ? 90? ? ? ，
22
? AB / /CD ，
?
??CB?B ? ?AB?B ? 90? ? ? ，
2
24．（12 分）如圖，?O 為等邊?ABC 的外接圓，半徑為 4，點 D 在劣弧 AC 上運動（不與 A 、
C 重合），連結(jié) DA 、 DB 、 DC ．
若?CAD ? 15? ，求?BCD 的大?。?br>求證： AD ? DC ? BD ．
試探索：四邊形 ABCD 的面積 S 與 BD 的長 x 之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)解析式．
【解答】（1）解：? ?ABC 是等邊三角形，
??BAC ? 60? ，
??CAD ? 15? ，
??BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 75? ，
?四邊形 ABCD 為圓內(nèi)接四邊形，
??BCD ? ?BAD ? 180? ，
??BCD ? 105? ；
證明：如圖，在線段 BD 上取點 P ，使 PD ? CD ，
??ABC 是等邊三角形，
??ACB ? ?BAC ? 60? ， AC ? BC ，
??BDC ? ?BAC ? 60? ，
??PDC 是等邊三角形，
? PC ? CD ， ?PCD ? ?DPC ? 60? ，
??PCD ? ?ACB ，
??ACD ? ?BCP ，
??ACD ? ?BCP(SAS ) ，
? AD ? BP ，
? BD ? BP ? PD ，
? AD ? DC ? BD ；
解：如圖，過點 B 作 BE ? AC 于點 E ，連接OA ，則OA ? 4 ， AC ? 2 AE ，
??O 為等邊?ABC 的外接圓，則點O 在 BE 上，
?OA ? OB ? 4 ， ?ABE ? ?CAO ? 30? ，
? OE ? 1 OA ? 2 ，
2
3
? AE ? 2，
3
? AC ? 2 AE ? 4，
?點 D 在劣弧 AC 上運動，
3
3
? 4? BD?4 ? 2 ? 8 ，即 4? x?8 ，
如圖， 把 ?ABD 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 60? 得到 ?CBH
?DBH ? 60? ，
? S ? S?ADB ? S?BDC ? S?BDH ，
?四邊形 ABCD 為圓內(nèi)接四邊形，
??BAD ? ?BCD ? 180? ，
??BCH ? ?BCD ? 180? ，
?點 D ， C ， H 三點共線， ?BDH 是等邊三角形，
過點 H 作 HG ? BD 于點G ，則 BG ? 1 BD ? 1 x ，
22
， 則 BD ? BH
， ?BAD ? ?BCH ，
? GH ?
? S
3 x ，
2
? 1 BD ? GH ? 1 x ?
?
3 x ?
3 x 2 ，
?BDH
2224
即四邊形 ABCD 的面積 S 與 BD 的長 x 之間的函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)， 函數(shù)解析式為
3
S ?3 x2 (4 4
? x?8) ．
25．（12 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 ? 0 ．
求證：一元二次方程 x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 ? 0 一定有兩個不相等的實數(shù)根．
若拋物線 y ? x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 的圖象與 x 軸交于 A(?3, 0) ，B 兩點，與 y 軸交于點C ，一次函數(shù) y ? ax ? 3 圖象過 A ， C 兩點，點 P(m, n) 在拋物線上．
①若 m ? 0 ，且 S?ABP ? S?ABC ，求點 P 的坐標．
②點 P(m, n) 在直線 AC 下方，求四邊形 ABCP 的面積的最大值．
【解答】（1）證明：由題意得：關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 ? 0 ，
a ? 1 ， b ? k ? 4 ， c ? k ? 1 ，
?△ ? b2 ? 4ac ? (k ? 4)2 ? 4 ?1? (k ?1) ? k 2 ? 4k ? 20 ? (k ? 2)2 ? 16 ? 0 ， 故該方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解：①把 A(?3, 0) 代入 y ? x2 ? (k ? 4)x ? k ?1 ，
得： 0 ? (?3)2 ? 3(k ? 4) ? k ?1， 解得： k ? ?2 ，
?拋物線解析式為： y ? x2 ? 2x ? 3 ， 當 y ? 0 時， 0 ? x2 ? 2x ? 3 ，
解得： x1 ? ?3 ， x2 ? 1 ，
?點 B(1, 0) ，
當 x ? 0 時， y ? 0 ? 0 ? 3 ? ?3 ，
?點C(0, ?3) ，
? AB ? 1? (?3) ? 4 ，
? S?ABC
? 1 ? AB ? CO ? 1 ? 4 ? 3 ? 6 ，
22
? P(m, n) ，過點 P 作 PH ? AB 交 AB 于點 H ，
? PH ?| n | ，
? S?ABP
? 1 ? AB ? PH ? 1 ? 4? | n |? 2 | n | ，
22
? S?ABP ? S?ABC ，
? 2 | n |? 6 ，
解得： n ? ?3 或 n ? 3 ，
當 n ? ?3 時， ?3 ? m2 ? 2m ? 3 ， 解得： m ? ?2 或 m ? 0 （舍去），當 n ? 3 時， 3 ? m2 ? 2m ? 3 ，
7
7
解得： m ? ?? 1或 m ?? 1（舍去）；
7
?點 P(?2, ?3) 或 P(?? 1, 3) ；
②把 A(?3, 0) 代入 y ? ax ? 3 ， 得： 0 ? ?3a ? 3 ，
解得： a ? ?1 ，
? y ? ?x ? 3 ，
?點 P(m, n) 在拋物線上，且在 AC 下方，
? n ? m2 ? 2m ? 3 ，
過點 P 作 PH ? x 軸，作 PN ? y 軸，
? PH ?| n |? ?m2 ? 2m ? 3 ，
PN ? ?m ，
? S四邊形ABCP ? S?BOC ? S?OPC ? S?AOP ，
又? S
?AOP
? 1 ? 3 ? (?m2 ? 2m ? 3) ? ? 3 m2 ? 3m ? 9 ，
222
S?OPC
? 1 ? 3 ? (?m) ? ? 3 m ，
22
S?BOC
? 1 ?1? 3 ? 3 ，
22
? S四邊形ABCP
? ? 3 m2 ? 3m ? 9 ? 3 m ? 3 ? ? 3 m2 ? 9 m ? 6 ，
222222
3 ?3 ?275
??
即 S四邊形ABCP ? ? 2 ?m ? 2 ? ? 8 ，
當 m ? ? 3 時，四邊形 ABCP 的面積有最大值，最大值為 75 ．
28

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