1．（3 分）下列垃圾分類標識圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
A． B．
C． D．
2．（3 分）下列事件中，屬于不可能事件的是()
A．經過紅綠燈路口，遇到綠燈 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心C．班里的兩名同學的生日是同一天
D．從一個只裝有白球的袋中摸球，摸出黃球
3．（3 分）在平面直角坐標系中，點(?5,1) 關于原點對稱的點的坐標是()
A． (5, ?1)
B． (5,1)C． (1, ?5)
D． (?5, ?1)
4．（3 分）用配方法解方程 x2 ? 2x ? 2 時，配方后正確的是()
A． (x ?1)2 ? 3
B． (x ? 1)2 ? 6
C． (x ?1)2 ? 3
D． (x ?1)2 ? 6
5．（3 分）關于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 沒有實數根，則 k 的取值范圍是()
k ? 4
k ? 4
k ? ?4
k ? ?4
6．（3 分）如圖， ?ABC 內接于?O ， AD 是?O 的直徑，若?B ? 20? ，則?CAD 的度數是
()
A． 60?B． 65?C． 70?D． 75?
7．（3 分）如圖， P 為?O 外一點， PT 與?O 相切于點T ，OP ? 10 ，?OPT ? 30? ，則 PT
的長為()
3
3
5
D．8
3
8．（3 分）一個扇形的弧長是10?，面積為60?，則其半徑為()
A．6B．36C．12D．144
9．（3 分）點 A(m ? 1, y ) ，B(m, y ) 都在拋物線 y ? x2 上．若 y ? y ，則 m 的取值范圍為()
m ? 4
12
m ? 4
12
m ? 1
2
m ? 1
2
10．（3 分）用 12 米長的圍欄圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，小紅提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是()
A．方案 1B．方案 2C．方案 3D．方案 1 或方案 2
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）拋物線 y ? ?3(x ? 2)2 ? 2 的頂點坐標為 ．
12．（3 分）一個布袋里放有 1 個紅球和 2 個白球，它們除顏色外其余都相同，從布袋中任意摸出 1 個球，摸到白球的概率是．
13．（3 分）關于 x 的方程 x2 ? 3x ? m ? 0 有兩根，其中一根為 x ? 1 ，則兩根之積為 ．
14．（3 分）右表是某球員在罰球線上投籃的結果．則估計該球員投籃一次投中的概率約為
（結果保留小數點后一位）
投籃次數
20
40
100
200
400
1000
投中次數
15
33
78
158
321
801
15．（3 分） ?O 的直徑為 10，弦 AB 的長為 8，若 P 為 AB 的中點，則OP ? ．
16．（3 分）一副三角板按圖 1 放置，O 是邊 BC(DF ) 的中點，BC ? 20cm ．如圖 2，將 ?ABC
繞點O 順時針旋轉60? ， AC 與 EF 相交于點G ，則 FG 的長是．
三、解答題（本大題共 9 題，共 72 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（8 分）解方程： x2 ? 7x ? 8 ? 0 ．
18．（8 分）如圖，已知?ABC 中， BD 是中線，且 BD ? 4 ．
用尺規(guī)作?EAD ，使它與?BCD 關于點 D 中心對稱；
若 m ? AB ? BC ，求 m 的取值范圍．
19．（8 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 與 y 軸相交于點 A ， y 與 x 的部分對應值如表所示，寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標及點 A 的坐標．
x
?1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0
20．（8 分）某校九（1）班學生成立了一個“關于新冠肺炎 45 個知識點”的防疫科普宣傳小組，其中男生 2 人，女生 3 人，現從小組中選人進社區(qū)宣傳．
若選 1 人，則恰好選中女生的概率是；
若選 2 人，求恰好選中一男一女的概率．
21．（8 分）如圖，在?ABC 中， AB ? AC ， BC ? 6cm ．完成以下兩個小題的解答：
用尺規(guī)作 BC 的中點 D ，并以 AD 為半徑作? A（不寫作法，保留作圖痕跡），求證：? A
與邊 BC 相切；
若? A 恰好交于邊 AB 的中點，求? A 的半徑長．
22．（8 分）某賓館有 50 個房間供游客居住，當每個房間定價 100 元時，房間會全部住滿，
當每個房間定價每增加 10 元時，就會有一個房間空閑，若賓館在某一個時間段把每個房間定價增加10x 元(x 為正整數且 x?15) ．
當賓館每天收入為 8000 元，求 x 的值．
如果賓館每天收入要最大，請直接寫出每個房間的定價．
23．（8 分）老師給小明出了一道題，小明感到有困難，請你幫助小明解決這個問題，題目是這樣的：一個三角形兩邊長分別是 3 和 4，第三邊長是 x2 ? 8x ? 15 ? 0 的一個實數根，請結合作圖求這個三角形的外接圓面積．
24．（8 分）已知關于 x 的方程 x2 ? 2bx ? c ? 0 有兩個相等的實數根．
若b ? 1 ，求 c 的值；
在?ABC 中，已知點 A(0, c) ，點 B(b ? 1 , 1)(b ? 0) ，點C 在 x 軸上，且該方程的解是點
b c
C 的橫坐標．
①過點C 作CD ? x 軸，交邊 AB 于點 D ，求證： CD 的長為定值；
②求?ABC 面積的最小值．
25．（8 分）在邊長為 10 的正方形 ABCD 中，以 AB 為直徑作半圓，圓心為O ， E 是半圓上一動點，過點 E 作 EF ? AB ，垂足為 F ，連接 DE ．
如圖 1，若直線 DE 與圓O 相切，求線段 DE 的長；
求 DE 的最小值；
如圖 2，若t ? EA2 ? EB2 ? EC 2 ? ED2 ，求t 的最小值．
2022-2023 學年廣東省廣州市天河區(qū)九年級（上）期末數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3 分）下列垃圾分類標識圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B 、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意； C 、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意； D 、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意； 故選： C ．
2．（3 分）下列事件中，屬于不可能事件的是()
A．經過紅綠燈路口，遇到綠燈 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心C．班里的兩名同學的生日是同一天
D．從一個只裝有白球的袋中摸球，摸出黃球
【解答】解： A 、經過紅綠燈路口，遇到綠燈是隨機事件，不符合題意；
B 、射擊運動員射擊一次，命中靶心是隨機事件，不符合題意；
C 、班里的兩名同學的生日是同一天是隨機事件，不符合題意；
D 、從一個只裝有白球的袋中摸球，摸出黃球是不可能事件，符合題意； 故選： D ．
3．（3 分）在平面直角坐標系中，點(?5,1) 關于原點對稱的點的坐標是()
A． (5, ?1)
B． (5,1)C． (1, ?5)
D． (?5, ?1)
【解答】解：點(?5,1) 關于原點對稱的點的坐標是(5, ?1) ， 故選： A ．
4．（3 分）用配方法解方程 x2 ? 2x ? 2 時，配方后正確的是()
A． (x ?1)2 ? 3
B． (x ? 1)2 ? 6
C． (x ?1)2 ? 3
D． (x ?1)2 ? 6
【解答】解：兩邊同時加 1，得： x2 ? 2x ? 1 ? 3 ， 配方，得： (x ?1)2 ? 3 ．
故選： A ．
5．（3 分）關于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 沒有實數根，則 k 的取值范圍是()
k ? 4
k ? 4
k ? ?4
k ? ?4
【解答】解：?關于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 沒有實數根，
?△ ? （4） 2 ?4 ? (?k) ? 0 ，
解得： k ? ?4 ． 故選： D ．
6．（3 分）如圖， ?ABC 內接于?O ， AD 是?O 的直徑，若?B ? 20? ，則?CAD 的度數是
()
A． 60?B． 65?C． 70?D． 75?
【解答】解：連接 BD ，
? AD 是?O 的直徑，
??ABD ? 90? ，
??ABC ? 20? ，
??CBD ? ?ABD ? ?ABC ? 70? ，
??CAD ? ?CBD ? 70? ， 故選： C ．
7．（3 分）如圖， P 為?O 外一點， PT 與?O 相切于點T ，OP ? 10 ，?OPT ? 30? ，則 PT
的長為()
3
3
5
D．8
3
【解答】解：連接OT ，
? PT 與?O 相切于點T ，
?OT ? PT ，
? PT ? OP ? cs?OPT ? 10 ?
故選： B ．
3 ? 5．
3
2
8．（3 分）一個扇形的弧長是10?，面積為60?，則其半徑為()
A．6B．36C．12D．144
【解答】解：? S ? 1 lr ，弧長是10?，面積為60?，
2
? 60?? 1 ?10?? r ，
2
解得 r ? 12 ， 故選： C ．
9．（3 分）點 A(m ? 1, y ) ，B(m, y ) 都在拋物線 y ? x2 上．若 y ? y ，則 m 的取值范圍為()
1212
m ? 4
m ? 4
m ? 1
2
m ? 1
2
【解答】解：?點 A(m ? 1, y ) ， B(m, y ) 都在二次函數 y ? x2 的圖象上，
12
? y1
? (m ?1)2 ，
2
y ? m2 ，
? y1 ? y2 ，
?(m ?1)2 ? m2 ，
?(m ?1)2 ? m2 ? 0 ，
即?2m ? 1 ? 0 ，
? m ? 1 ，
2
故選： D ．
10．（3 分）用 12 米長的圍欄圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，小紅提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是()
A．方案 1B．方案 2C．方案 3D．方案 1 或方案 2
【解答】解：方案1 :
設垂直于墻面的一邊長為 x ，則平行于墻面的邊長為(12 ? 2x) ， 則菜園面積? x(12 ? 2x) ? ?2x2 ? 12x ? ?2(x ? 3)2 ? 18 ， (0 ? x ? 6)
?當 x ? 3 時， y 有最大值，最大值為 18；
方案 2 :
設等腰三角形底邊長為 d ，高為 h ，
??ABC 為等腰三角形，
? AD ? 1 AB ? d ， AC ? BC ? 1 ?12 ? 6 ，
222
d
2d 2
? AD2 ? CD2 ? AC 2 ，即( )2 ? h2 ? 36 ，整理得： h ? 36 ?，
24
? S ? 1 dh ，
2
? S 2
? 1 d 2h2 ? 1 d 2 (36 ? d ) ，
2
444
TT
2
令 d 2 ? T ，則 S 2 ? 1 T (36 ?) ? ?? 9T ? ? 1
(T ? 72)2
? 324 ，
441616
?當T ? 72 時， S 2 有最大值，最大值為 324，
6
?當 d ? 2時， S 有最大值，最大值為 18，
方案3 :
設半圓半徑為 r ，
?半圓的弧長為 12 米，
??r ? 12 ，解得： r ? 12 ，
?
()
? S ? 1?? 12 2 ，
2?
?18 ? 72 ，
?
?最佳方案是方案 3． 故選： C ．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）拋物線 y ? ?3(x ? 2)2 ? 2 的頂點坐標為 (2, 2) ．
【解答】解：?拋物線 y ? ?3(x ? 2)2 ? 2 ，
?拋物線 y ? ?3(x ? 2)2 ? 2 的頂點坐標為(2, 2) ． 故答案為： (2, 2) ．
12．（3 分）一個布袋里放有 1 個紅球和 2 個白球，它們除顏色外其余都相同，從布袋中任
意摸出 1 個球，摸到白球的概率是2．
3
【解答】解：摸到白球的概率?
2 ? 2 ，
故答案為： 2 ．
3
1 ? 23
13．（3 分）關于 x 的方程 x2 ? 3x ? m ? 0 有兩根，其中一根為 x ? 1 ，則兩根之積為 2．
【解答】解：設方程的另一個根為 a ，
?方 x2 ? 3x ? m ? 0 有兩根，其中一根為 x ? 1 ，
? a ? 1 ? 3 ， m ? a 解得： m ? 2 ， 即兩根之積為 2． 故答案為：2．
14．（3 分）右表是某球員在罰球線上投籃的結果．則估計該球員投籃一次投中的概率約為
0.8（結果保留小數點后一位）
【解答】解：15 ? 20 ? 0.75 ，
33 ? 40 ? 0.825 ，
78 ? 100 ? 0.78 ，
158 ? 200 ? 0.79 ，
321 ? 400 ? 0.8025 ，
801 ?1000 ? 0.801 ，
由此發(fā)現，隨著投籃次數的增多，投中的頻率在 0.8 附近擺動． 根據頻率的穩(wěn)定性，估計這名球員一次投中的概率為 0.8．
故答案為：0.8．
15．（3 分） ?O 的直徑為 10，弦 AB 的長為 8，若 P 為 AB 的中點，則OP ? 3．
【解答】解：連接 AO ， OP ，
? P 為 AB 的中點，
? OP ? AB ， AP ? 1 AB ? 4 ，
2
??O 的直徑為 10，
? AO ? 5 ，
AO2 ? AP2
52 ? 42
根據勾股定理可得： OP ??? 3 ．
故答案為：3．
投籃次數
20
40
100
200
400
1000
投中次數
15
33
78
158
321
801
16．（3 分）一副三角板按圖 1 放置，O 是邊 BC(DF ) 的中點，BC ? 20cm ．如圖 2，將 ?ABC
3
繞點O 順時針旋轉60? ， AC 與 EF 相交于點G ，則 FG 的長是(5? 5)cm ．
【解答】解：如圖所示， BC 交 EF 于點 N ，
由題意得， ?EGF ? ?BAC ? 90? ， ?DEF ? 60? ， ?DFE ? 30? ， ?ABC ? ?ACB ? 45? ，
BC ? DF ? 20cm ，
根據點O 是邊 BC(DF ) 的中點，可得： BO ? OC ? DO ? FO ? 10cm
??ABC 繞點O 順時針旋轉60? ， ?DFE ? 30? ，
??BOD ? NOF ? 60? ，
??NOF ? ?F ? 90? ，
??FNO ? 180? ? ?NOF ? ?F ? 90? ，
??ONF 是直角三角形，
?ON ? 1 OF ? 5cm ，
2
OF 2 ? ON 2
3
? FN ?? 5， NC ? OC ? ON ? 5cm ，
??FNO ? 90? ， ?ACB ? 45? ，
??GNC ? 180? ? ?FNO ? 90? ，
??CNG 是直角三角形，
??NGC ? 180? ? ?GNC ? ?ACB ? 45? ，
??CNG 是等腰直角三角形，
? NG ? NC ? 5cm ，
? FG ? FN ? NG ? (5 3 ? 5)cm ，
3
故答案為： (5
? 5)cm ．
三、解答題（本大題共 9 題，共 72 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（8 分）解方程： x2 ? 7x ? 8 ? 0 ．
【解答】解：? x2 ? 7x ? 8 ? 0 ，
?(x ? 1)(x ? 8) ? 0 ，
則 x ? 1 ? 0 或 x ? 8 ? 0 ， 解得 x1 ? ?1 ， x2 ? 8 ．
18．（8 分）如圖，已知?ABC 中， BD 是中線，且 BD ? 4 ．
用尺規(guī)作?EAD ，使它與?BCD 關于點 D 中心對稱；
若 m ? AB ? BC ，求 m 的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖，延長 BD 到點 E ，使得 BD ? DE ，連接 AE ，則?EAD 即為所求．
（2）??EAD ? ?BCD ， BD ? 4 ，
? AE ? BC ，
? m ? AB ? BC ? AB ? AE ? BE ? 2BD ? 24 ? 8 ．
19．（8 分）已知拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 與 y 軸相交于點 A ， y 與 x 的部分對應值如表所示，寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標及點 A 的坐標．
【解答】解：由表可知：拋物線經過(1, 0) ， (3, 0) ，
?該拋物線的對稱軸為直線： x ? ?1 ? 3 ? 1 ，
2
?當 x ? 1 時， y ? 4 ，
?該拋物線頂點坐標為(1, 4) ，
?當 x ? 1 時， y 隨 x 的增大而增大，當 x ? 1 時， y 隨 x 的增大而減小，
?拋物線開口向下，
?該拋物線對稱軸為直線 x ? 1 ，且經過(2,3) ，
?當 x ? 0 時， y ? 3 ，即 A(0, 3) ，
綜上：拋物線開口向下，對稱軸為直線 x ? 1 ，頂點坐標(1, 4) ，點 A 坐標為(0, 3) ．
20．（8 分）某校九（1）班學生成立了一個“關于新冠肺炎 45 個知識點”的防疫科普宣傳小組，其中男生 2 人，女生 3 人，現從小組中選人進社區(qū)宣傳．
若選 1 人，則恰好選中女生的概率是3；
5
若選 2 人，求恰好選中一男一女的概率．
【解答】解（1）?男生 2 人，女生 3 人，
x
?1
0
1
2
3
y
0
■
4
3
0
?選 1
人，則恰好選中女生的概率是 3 ．
5
3
故答案為： ．
5
（2）根據題意，畫樹狀圖如下：
共有 20 種等可能的結果，其中符合題意的有 12 種，
? P ? 12 ? 3 ．
205
21．（8 分）如圖，在?ABC 中， AB ? AC ， BC ? 6cm ．完成以下兩個小題的解答：
用尺規(guī)作 BC 的中點 D ，并以 AD 為半徑作? A（不寫作法，保留作圖痕跡），求證：? A
與邊 BC 相切；
若? A 恰好交于邊 AB 的中點，求? A 的半徑長．
【解答】（1）解：如圖，點 D 和? A 即為所求； 證明：? AB ? AC ， D 為 BC 的中點，
? AD ? BC ，
? AD 為? A 的半徑，
?? A 與邊 BC 相切；
（2）解：設邊 AB 的中點為點 E ， ? A 的半徑為 r cm ，
? AD ? AE ? BE ? r
? BC ? 6cm ，
? BD ? 3cm ， 在Rt?ABD 中，
cm ，
? AB2 ? BD2 ? AD2 ，
?(r ? r)2 ? 32 ? r2 ，
3
解得： r ?（負值舍去），即? A 的半徑為 3cm ．
22．（8 分）某賓館有 50 個房間供游客居住，當每個房間定價 100 元時，房間會全部住滿，
當每個房間定價每增加 10 元時，就會有一個房間空閑，若賓館在某一個時間段把每個房間定價增加10x 元(x 為正整數且 x?15) ．
當賓館每天收入為 8000 元，求 x 的值．
如果賓館每天收入要最大，請直接寫出每個房間的定價．
【解答】解：（1）由題意可得，
賓館每個房間定價增加10x 元后， 這天游客租住了 (50 ? x) 間房， 每間房間的利潤是
(100 ? 10x) 元，
由題意可得， (100 ? 10 x)(50 ? x) ? 8000 ， 解得 x1 ? 10 ， x2 ? 30 ，
? x 為正整數且 x?15 ，
? x ? 10 ，
答：賓館每天的收入為 8000 元時， x ? 10 ；
（2）設利潤為W 元，
由題意可得W ? (100 ? 10x)(50 ? x) ? ?10(x ? 20)2 ? 9000 ，
?該函數圖象開口向下，對稱軸為 x ? 20 ，
? x 為正整數且 x?15 ，
? x ? 15 時取得最大值，此時W ? 8750 ，100 ? 10x ? 100 ? 10 ?15 ? 250 ， 答：房價定為 250 元時，賓館每天的利潤最大．
23．（8 分）老師給小明出了一道題，小明感到有困難，請你幫助小明解決這個問題，題目是這樣的：一個三角形兩邊長分別是 3 和 4，第三邊長是 x2 ? 8x ? 15 ? 0 的一個實數根，請結合作圖求這個三角形的外接圓面積．
【解答】解： x2 ? 8x ? 15 ? 0 ， 解得： x1 ? 3 ， x2 ? 5 ，
當第三邊長是 3 時，三角形三邊長為 3，3，4，
如圖， AB ? AC ? 3 ， BC ? 4 ，點O 為?ABC 的外接圓，連接OA ，OB ，OA 交 BC 于點 D ，
?點O 為?ABC 的外接圓， AB ? AC ? 3 ，
?OD 垂直平分 BC ，
? BD ? 1 BC ? 2 ，
2
AB2 ? BD2
5
? AD ??， 設OA ? OB ? r ，
? OB2 ? BD2 ? OD2 ，
? r 2 ? (r ? 5)2 ? 22 ，
解得： r ? 9 5 ，
10
?這個三角形的外接圓面積為?? (9 5 )2 ? 81?；
1020
當第三邊長是 5 時，三角形三邊長為 3，4，5，
如圖， AB ? 3 ， AC ? 4 ， BC ? 5 ，點O 為?ABC 的外接圓，連接OA ，
? AB ? 3 ， AC ? 4 ， BC ? 5 ，，
? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ，
??BAC ? 90? ，
?點O 為?ABC 的外接圓，
? BC 為圓O 的直徑，
?OA ? 1 BC ? 5 ，
22
?這個三角形的外接圓面積為?? ( 5)2 ? 25?；
24
綜上所述，這個三角形的外接圓面積為 81?或 25?．
204
24．（8 分）已知關于 x 的方程 x2 ? 2bx ? c ? 0 有兩個相等的實數根．
若b ? 1 ，求 c 的值；
在?ABC 中，已知點 A(0, c) ，點 B(b ? 1 , 1)(b ? 0) ，點C 在 x 軸上，且該方程的解是點
b c
C 的橫坐標．
①過點C 作CD ? x 軸，交邊 AB 于點 D ，求證： CD 的長為定值；
②求?ABC 面積的最小值．
【解答】解：（1）?關于 x 的方程 x2 ? 2bx ? c ? 0 有兩個相等的實數根，
?△ ? (?2b)2 ? 4c ? 0 ，
?b2 ? c ，，
當b ? 1 時， c ? b2 ? 1 ；
（2）①?關于 x 的方程 x2 ? 2bx ? c ? 0 有兩個相等的實數根，
? x ? ? b
2a
? ? ?2b ? b ，
2
點C(b, 0) ，
?點 B(b ? 1 ， 1)(b ? 0) ，
bc
?b ? 1 ? b ，
b
?點C 在點 B 的左側，
?b2 ? c ， A(0, c) ，
? A(0,b2 ) ，點 B(b ? 1 ， 1 )(b ? 0) ，
bb2
設直線 AB 的解析式為 y ? kx ? b2 ，
? 1 ? k (b ? 1) ? b2 ，
b2b
解得 k ? 1 ? b ，
b
?直線 AB 的解析式為 y ? (1 ? b)x ? b2 ，
b
當 x ? b 時， y ? (1 ? b) ? b ? b2 ? 1 ，
b
? D(b,1) ，
? CD ? 1 ? 0 ? 1 ，是定值．
②? b ? 0 ， 1 ? 0 ，
b
b
?(?
1 )2?0 即b ? 1 ?2 ，
b
b
? S? 1 ? CD? | B |? 1 ?1? (b ? 1 )?1 ，
?ABC2x2b
??ABC 面積的最小值為 1．
25．（8 分）在邊長為 10 的正方形 ABCD 中，以 AB 為直徑作半圓，圓心為O ， E 是半圓上一動點，過點 E 作 EF ? AB ，垂足為 F ，連接 DE ．
如圖 1，若直線 DE 與圓O 相切，求線段 DE 的長；
求 DE 的最小值；
如圖 2，若t ? EA2 ? EB2 ? EC 2 ? ED2 ，求t 的最小值．
【解答】解：（1）連接OE ， OD ，
?邊長為 10 的正方形 ABCD ，直線 DE 與?O 相切， E 為切點，
? AD ? 10 ， ?OAD ? ?OED ? 90? ， OA ? OE ， 在?OED 和?OAD 中，
?OA ? OE
?OD ? OD ，
?
?Rt?OED ? Rt?OAD(HL) ，
?OE ? AD ? 10 ．
如圖 1，連接OD ，
設OD 與半圓于點 M ，當點 E 與點 M 重合時， DE 最短，
?邊長為 10 的正方形 ABCD ，
? AD ? 10 ， ?OAD ? 90? ， OA ? OE ? OM ? 5 ，
AD2 ? OA2
102 ? 52
5
?OD ??? 5，
5
? DE ? OD ? OE ? 5? 5 ．
? AB 為直徑，
? AB ? 10 ， ?AEB ? 90? ，
? EA2 ? EB2 ? 100 是定值，
故t 的最小值，有 EC 2 ? ED2 的最小值確定，
?點 E 在半圓弧上，
?在正方形 ABCD 中， ?EDC 只能是銳角三角形或者直角三角形，不可能是鈍角三角形，
? EC 2 ? ED2?CD2 ? 100 ，
當且當 E 位于正方形對角線交點處時（此時?EDC 是直角三角形），取等號．
? EC 2 ? ED2 ? 100 ，
?t ? EA2 ? EB2 ? EC 2 ? ED2 ? 200 ， 故t 的最小值為 200．

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