1．（3 分）下列圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
等邊三角形B．平行四邊形C．正六邊形D．正五角星2．（3 分）下列說法正確的是（ ）
A．13 名同學(xué)中，至少有兩人的出生月份相同是必然事件
投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 1000 次，正面朝上的次數(shù)一定是 500 次
概率很小的事情不可能發(fā)生
從 1、2、3、4、5 中任取一個(gè)數(shù)是偶數(shù)的可能性比較大
3．（3 分）用配方法解關(guān)于 x 的方程 x2﹣6x+5＝0 時(shí)，此方程可變形為（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x+3）2+4＝0C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2+4＝0
4．（3 分）若點(diǎn) A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在反比例函數(shù) y＝的圖象上，則 y1、 y2、y3 的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
5．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O，若四邊形 AOCD 是菱形，則∠B 的度數(shù)為（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
6．（3 分）某中學(xué)的初三籃球賽中，參賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽，共比賽 21
場，設(shè)參加比賽的球隊(duì)有 x 支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（ ）
A．x（x+1）＝21B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21D．x（x﹣1）＝21
7．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，現(xiàn)以 AC 為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐．則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．48πB．60πC．80πD．65π
8．（3 分）二次函數(shù) y＝ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則一次函數(shù) y＝ax+b 和反比例函數(shù) y＝
在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3 分）如圖，從一塊直徑是 4m 的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為 60°的扇形，如果剪出來的扇形圍成一個(gè)圓錐，那么圍成的圓錐的高是（ ）
A．3mB． mC． mD． m
10．（3 分）如圖，在等腰△ABC 和等腰△ABE 中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D為 AE 的中點(diǎn)，則線段 CD 的最小值為（ ）
A．2B． ﹣1C．2 ﹣1D． ﹣1 二、填空題（木大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分，）
11．（3 分）若點(diǎn)（a，1）與（﹣3，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則 ab＝ ．
12．（3 分）在一個(gè)不透明的箱子里裝有紅色、藍(lán)色、黃色的球共 50 個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到紅色、黃色球的頻率分別穩(wěn)定在 20%和 30%，則箱子里藍(lán)色球的個(gè)數(shù)很可能是 ．
13．（3 分）如圖，⊙O 是△ABC 的外接圓，∠COB＝60°，AB＝BC＝3，則弦 AC
＝．
14．（3 分）若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一個(gè)根，則 6m2﹣9m+2021 的值為 ．
15．（3 分）如圖，點(diǎn) A 是 x 軸負(fù)半軸上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 y 軸的平行線，分別與反比例
函數(shù) y＝﹣和 y＝的圖象交于點(diǎn) B 和 C 點(diǎn)，若 D 為 y 軸上任意一點(diǎn)，連接 DC、DB， 則△BCD 的面積為．
16．（3 分）拋物線 y＝ax2+bx+c 交 x 軸于點(diǎn) A（﹣3，0）、B（1，0）．下列結(jié)論：①2a﹣b
＝0；②2c＝3b；③當(dāng) a＜0 時(shí)，無論 m 取何值都有 a﹣b≥am2+bm；④若 a＜0 時(shí)，拋物線交 y 軸于點(diǎn) C，且△ABC 是等腰三角形，c＝或； ⑤拋物線交 y 軸于正半軸，
拋物線上的兩點(diǎn) E（x1，y1）、F（x2，y2）且 x1＜x2，x1+x2＞﹣2，則 y1＞y2；則其中正確的是 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）
17．（4 分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（4 分）已知關(guān)于 x 的反比例函數(shù) y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（2，3）．
求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
當(dāng) 1≤x＜4 時(shí)，求 y 的取值范圍．
19．（6 分）如圖，已知△ABO，點(diǎn) A、B 坐標(biāo)分別為（2，4）、（2，1）．
把△ABO 繞著原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得△A1B1O，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1O；
在（1）的條件下，求點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) B1 經(jīng)過的路徑的長．（結(jié)果保留 π）
20．（6 分）為深化疫情防控國際合作、共同應(yīng)對全球公共衛(wèi)生危機(jī)，我國有序開展醫(yī)療物
資出口工作．2020 年 10 月，國內(nèi)某企業(yè)口罩出口訂單額為 1000 萬元，2020 年 12 月該
企業(yè)口罩出口訂單額為 1210 萬元．
求該企業(yè) 2020 年 10 月到 12 月口罩出口訂單額的月平均增長率；
按照（1）的月平均增長率，預(yù)計(jì)該企業(yè) 2021 年 1 月口罩出口訂單額為多少萬元？
21．（8 分）在一個(gè)不透明的布袋里裝有四個(gè)完全相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、2、
3．
若小明隨機(jī)抽出一個(gè)小球，求抽到標(biāo)有數(shù)字 2 的小球的概率；
小明先從口袋里隨機(jī)不放回地取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為 x．小紅再從剩下的三個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為 y，點(diǎn) Q 坐標(biāo)記作（x，y）．規(guī)定：若點(diǎn) Q（x，y）在反比例函數(shù) y＝ 圖象上則小明勝；若點(diǎn) Q 在反比例函數(shù) y＝ 圖象上，則小紅勝．請
你通過計(jì)算，判斷這個(gè)游戲是否公平？
22．（10 分）如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，PA 是⊙O 的切線，CD 是⊙O 的直徑，點(diǎn) P 在 CD
延長線上，且 AP＝AC．
求∠B 的度數(shù)；
若點(diǎn) E 在線段 AP 上，且 PE＝2AE，連接 DE，求證：DE 是⊙O 的切線．
23．（10 分）已知二次函數(shù) y＝﹣x2+bx+c 的圖象與直線 y＝x+3 相交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，點(diǎn) A 在
x 軸上，點(diǎn) B 在 y 軸上．拋物線的頂點(diǎn)為 P．
求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
現(xiàn)將拋物線向右平移 m 個(gè)單位，當(dāng)拋物線與△ABP 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求 m
的值；
在直線 AB 下方的拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使得 S△ABQ＝2S△ABP，若存在，請求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
24．（12 分）已知：拋物線 y＝kx2﹣（2k+1）x+（k≠0）．
證明：該拋物線與 x 軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
若該拋物線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn) D（異于拋物線與 y 軸的交點(diǎn)），且定點(diǎn) D 到拋物線的對稱軸的距離為 3，求 k 的值；
若 k＝1，點(diǎn) E 為拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為﹣．已知點(diǎn) F（1，0），
此時(shí)拋物線上是否存在一點(diǎn) K，使得 KF+KE 的值最小，若存在，求出 K 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
25．（12 分）如圖，BC 是⊙O 的直徑，點(diǎn) A 在⊙O 上且 AB＝AC．
如圖 1，點(diǎn) D 為直徑 BC 上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B，C 重合），將線段 AD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 AE，連接 DE、BE，試探索線段 BD，CD，DE 之間滿足的等量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論；
如圖 2，若點(diǎn) D 為⊙O 外一點(diǎn)且∠ADB＝45°，試探索線段 AD，BD，CD 之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
若點(diǎn) D 為⊙O 上一點(diǎn)且∠ADB＝45°，試探索線段 AD，BD，CD 之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
2020-2021 學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．（3 分）下列圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
等邊三角形B．平行四邊形C．正六邊形D．正五角星
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
B、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意； C、正六邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意； D、正五角星是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意． 故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn) 180 度后與原圖重合．
2．（3 分）下列說法正確的是（ ）
A．13 名同學(xué)中，至少有兩人的出生月份相同是必然事件
投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 1000 次，正面朝上的次數(shù)一定是 500 次
概率很小的事情不可能發(fā)生
從 1、2、3、4、5 中任取一個(gè)數(shù)是偶數(shù)的可能性比較大
【分析】利用概率的意義和隨機(jī)事件的定義分別對每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．
【解答】解：A、13 名同學(xué)中，至少有兩人的出生月份相同是必然事件，正確；
B、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 1000 次，正面朝上的次數(shù)不一定是 500 次，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、概率很小的事也可能發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、從 1、2、3、4、5 中任取一個(gè)數(shù)是偶奇數(shù)的可能性比較大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了隨機(jī)事件和概率的意義，正確掌握隨機(jī)事件的定義和概率的意義是解題關(guān)鍵．
3．（3 分）用配方法解關(guān)于 x 的方程 x2﹣6x+5＝0 時(shí)，此方程可變形為（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x+3）2+4＝0C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2+4＝0
【分析】把常數(shù)項(xiàng) 5 移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣6 的一半的平方．
【解答】解：把方程 x2﹣4x+2＝0 的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到 x2﹣6x＝﹣5， 方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到 x2﹣6x+9＝﹣5+9，
配方得（x﹣3）2＝4． 故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟：
把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
把二次項(xiàng)的系數(shù)化為 1；
等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為 1，一次項(xiàng)的系數(shù)是 2
的倍數(shù)．
4．（3 分）若點(diǎn) A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在反比例函數(shù) y＝的圖象上，則 y1、 y2、y3 的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式計(jì)算出
y1、y3、y2 的值，然后比較大小即可．
【解答】解：∵點(diǎn) A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在反比例函數(shù) y＝的圖象上，
∴y1＝﹣4，y2＝4，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2． 故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù) y＝（k 為常數(shù)，k
≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值 k，即 xy＝k．
5．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O，若四邊形 AOCD 是菱形，則∠B 的度數(shù)為（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠B+∠D＝180°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，圓周角定理列式計(jì)算即可．
【解答】解：∵四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四邊形 OACD 是菱形，
∴∠AOC＝∠D，
由圓周角定理得，∠B＝ ∠AOC，
∴∠B+2∠B＝180°， 解得，∠B＝60°， 故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
6．（3 分）某中學(xué)的初三籃球賽中，參賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽，共比賽 21
場，設(shè)參加比賽的球隊(duì)有 x 支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（ ）
A．x（x+1）＝21B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21D．x（x﹣1）＝21
【分析】根據(jù)“每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽，且共比賽 21 場”，即可得出關(guān)于 x
的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝21． 故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，現(xiàn)以 AC 為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐．則
該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．48πB．60πC．80πD．65π
【分析】根據(jù)勾股定理求出 AB，根據(jù)圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝＝10，
∴該圓錐的側(cè)面積＝ ×2×π×6×10＝60π， 故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
8．（3 分）二次函數(shù) y＝ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則一次函數(shù) y＝ax+b 和反比例函數(shù) y＝
在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù) y＝ax2+bx+c 的圖象開口向上，得出 a＞0，與 y 軸交點(diǎn)在 y 軸的
負(fù)半軸，得出 c＜0，利用對稱軸 x＝﹣＜0，得出 b＞0，進(jìn)而對照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù) y＝ax2+bx+c 的圖象開口向上，得出 a＞0，與 y 軸交點(diǎn)在 y
軸的負(fù)半軸，得出 c＜0，利用對稱軸 x＝﹣＜0，得出 b＞0，
所以一次函數(shù) y＝ax+b 經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù) y＝經(jīng)過二、四象限， 故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象，得出 a＞0、b＞0、c＜0 是解題的關(guān)鍵．
9．（3 分）如圖，從一塊直徑是 4m 的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為 60°的扇形，如果剪出來的扇形圍成一個(gè)圓錐，那么圍成的圓錐的高是（ ）
A．3mB． mC． mD． m
【分析】連接 OA，OC，BC，過點(diǎn) O 作 OH⊥AC 于 H．想辦法求出圓錐的母線，底面圓半徑即可解決問題．
【解答】解：連接 OA，OC，BC，過點(diǎn) O 作 OH⊥AC 于 H．
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等邊三角形，
∵O 是△ABC 的外心，
∴∠OAH＝ ∠ABC＝30°，
∵OH⊥AC，
∴∠OHA＝90°，AH＝CH＝OA?cs30°＝（m），
∴AB＝AC＝2AH＝2（m），
∴圓錐底面圓的周長＝＝π（m），
∴圓錐底面圓的半徑為（m），
∴圓錐的高＝＝（m）．故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
10．（3 分）如圖，在等腰△ABC 和等腰△ABE 中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D為 AE 的中點(diǎn)，則線段 CD 的最小值為（ ）
A．2B． ﹣1C．2 ﹣1D． ﹣1
【分析】取 AB 的中點(diǎn) G，連接 DG，CG，過 C 作 CH⊥AB 于點(diǎn) H，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【解答】解：取 AB 的中點(diǎn) G，連接 DG，CG，過 C 作 CH⊥AB 于點(diǎn) H，
∵D 是 AE 的中點(diǎn)，G 是 AB 的中點(diǎn)，
∴DG 是△ABE 的中位線，
∴DG＝ BE，
∵AB＝BC＝BE＝2，
∴DG＝1，BG＝1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∵CH⊥BH，
∴∠CHB＝90°，∠BCH＝90°﹣60°＝30°，
∴BH＝ BC＝1，
∴CH＝ ，
∴HG＝BG+BH＝1+1＝2，
在 Rt△CHG 中，CG＝，
∵CG﹣DG≤CD≤DG+CG，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng) D，G，C 三點(diǎn)共線時(shí)，CD 最短為﹣1， 故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理解答． 二、填空題（木大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分，）
11．（3 分）若點(diǎn)（a，1）與（﹣3，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則 ab＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出 a，b 的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn) A（a，1）與點(diǎn) B（﹣3，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴a＝3，b＝﹣1， 故 ab＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．（3 分）在一個(gè)不透明的箱子里裝有紅色、藍(lán)色、黃色的球共 50 個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到紅色、黃色球的頻率分別穩(wěn)定在 20%和 30%，則箱子里藍(lán)色球的個(gè)數(shù)很可能是 25 ．
【分析】利用頻率估計(jì)概率，可得到摸到紅色、黃色球的概率為 20%和 30%，則摸到藍(lán)球的概率為 50%，然后根據(jù)概率公式可計(jì)算出箱子中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題意得摸到紅色、黃色球的概率為 20%和 30%， 所以摸到藍(lán)球的概率為 50%，
因?yàn)?50×50%＝25（個(gè)），
所以可估計(jì)箱子中藍(lán)色球的個(gè)數(shù)為 25 個(gè)． 故答案為 25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確．
13．（3 分）如圖，⊙O 是△ABC 的外接圓，∠COB＝60°，AB＝BC＝3，則弦 AC＝ 3 ．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出 OC，根據(jù)垂徑定理得到 OD⊥AC，CD＝AD，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．
【解答】解：設(shè) OB 與 AC 交于點(diǎn) D，
∵∠COB＝60°，AB＝BC，
∴△COB 為等邊三角形，
∴OC＝BC＝3，
∵AB＝BC，
∴＝，
∴OD⊥AC，CD＝AD，
在 Rt△COD 中，sin∠COD＝，
∴CD＝OC?sin∠COD＝ ，
∴AC＝3 ，
故答案為：3 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理、解直角三角形的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．（3 分）若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一個(gè)根，則 6m2﹣9m+2021 的值為 2024 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2021＝2024． 故答案為：2024．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義， 本題屬于基礎(chǔ)題型．
15．（3 分）如圖，點(diǎn) A 是 x 軸負(fù)半軸上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 y 軸的平行線，分別與反比例
函數(shù) y＝﹣和 y＝的圖象交于點(diǎn) B 和 C 點(diǎn)，若 D 為 y 軸上任意一點(diǎn)，連接 DC、DB， 則△BCD 的面積為 3.5 ．
【分析】設(shè) A（m，0）（m＜0），由直線 BC∥y 軸，則 B，C 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為 m，而點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y＝﹣的圖象上，點(diǎn) C 在反比例函數(shù) y＝的圖象上，可得到 B 點(diǎn)坐標(biāo)
為（m，﹣），C 點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），從而求出 BC 的長，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè) A（m，0）（m＜0），
∵直線 BC∥y 軸，
∴B，C 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為 m，而點(diǎn) B 在反比例函數(shù) y＝﹣的圖象上，點(diǎn) C 在反比例函數(shù) y＝的圖象上，
∴B 點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣），C 點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），
∴BC＝﹣ ﹣＝﹣ ，
∴S△BCD＝?BC?OA＝?（﹣）?（﹣m）＝3.5．故答案為 3.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．
16．（3 分）拋物線 y＝ax2+bx+c 交 x 軸于點(diǎn) A（﹣3，0）、B（1，0）．下列結(jié)論：①2a﹣b
＝0；②2c＝3b；③當(dāng) a＜0 時(shí)，無論 m 取何值都有 a﹣b≥am2+bm；④若 a＜0 時(shí)，拋物線交 y 軸于點(diǎn) C，且△ABC 是等腰三角形，c＝或； ⑤拋物線交 y 軸于正半軸， 拋物線上的兩點(diǎn) E（x1，y1）、F（x2，y2）且 x1＜x2，x1+x2＞﹣2，則 y1＞y2；則其中正確的是 ①③④⑤ ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與 x 軸交于點(diǎn) A（﹣3，0）、B（1，
0），可知二次函數(shù)的對稱軸為直線 x＝﹣1，即﹣＝﹣1，可得 2a 與 b 的關(guān)系，可判斷
①；根據(jù)對稱軸公式，將 B 點(diǎn)代入可得 c、b 的關(guān)系，即可判斷②；函數(shù)開口向下，x＝1 時(shí)取得最大值，可判斷③；由圖象知 BC＝AB＝4 時(shí)，當(dāng) AC＝AB＝4 時(shí)，兩種情況利用勾股定理即可求得 c 的值，可以判斷④；根據(jù)拋物線圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷⑤．
【解答】解：①∵二次函數(shù)與 x 軸交于點(diǎn) A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴二次函數(shù)的對稱軸為 x＝＝﹣1，即﹣ ＝﹣1，
∴2a﹣b＝0． 故①正確；
②∵二次函數(shù) y＝ax2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0， 又∵b＝2a．
∴b+c＝0，
∴2c＝﹣3b． 故②錯(cuò)誤；
③∵a＜0，
∴拋物線開口向下．
∴x＝1 時(shí)，二次函數(shù)有最大值．
∴a+b+c≥am2+bm+c． 即 a+b≥am2+bm．
故③正確；
④由圖象可得，AC≠BC．
當(dāng) BC＝AB＝4 時(shí)，則 12+c2＝42，解得 c＝， 當(dāng) AC＝AB＝4 時(shí)，則 32+c2＝42，解得 c＝
故△ABC 是等腰三角形時(shí)，c＝或， 故④正確；
⑤由題意可知，點(diǎn) E（x1，y1）到對稱軸的距離小于點(diǎn) F（x2，y2）到對稱軸的距離，
∴y1＞y2， 故⑤正確；
故答案為①③④⑤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是找出圖象中和題目中的有關(guān)信息， 來判斷問題中結(jié)論是否正確．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟）
17．（4 分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通過觀察方程形式，本題可用因式分解法進(jìn)行解答．
【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0 x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程．注意：常數(shù)項(xiàng)應(yīng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且這兩個(gè)的和應(yīng)等于一次項(xiàng)系數(shù)．
18．（4 分）已知關(guān)于 x 的反比例函數(shù) y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（2，3）．
求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
當(dāng) 1≤x＜4 時(shí)，求 y 的取值范圍．
【分析】（1）把點(diǎn) A（2，3）代入反比例函數(shù) y＝中，求出 1+m 的值，即可得出這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）分別求出當(dāng) x＝﹣1 時(shí)，當(dāng) x＝﹣3 時(shí) y 的值，從而得出 y 的取值范圍．
【解答】解：（1）∵關(guān)于 x 的反比例函數(shù) y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（2，3）．
∴3＝，
∴1+m＝6，
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為：y＝；
（2）∵當(dāng) x＝1 時(shí)，y＝6，
當(dāng) x＝4 時(shí)，y＝，
∴當(dāng) 1≤x＜4 時(shí)，y 的取值范圍是＜y≤6．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是掌握凡是反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，必能滿足解析式．
19．（6 分）如圖，已知△ABO，點(diǎn) A、B 坐標(biāo)分別為（2，4）、（2，1）．
把△ABO 繞著原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得△A1B1O，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1O；
在（1）的條件下，求點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) B1 經(jīng)過的路徑的長．（結(jié)果保留 π）
【分析】（1）分別作出 A，B 的對應(yīng)點(diǎn) A1，B1 即可．
（2）利用弧長公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1O 即為所求作．
（2）點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) B1 經(jīng)過的路徑的長＝＝π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)， 屬于中考?？碱}型．
20．（6 分）為深化疫情防控國際合作、共同應(yīng)對全球公共衛(wèi)生危機(jī)，我國有序開展醫(yī)療物
資出口工作．2020 年 10 月，國內(nèi)某企業(yè)口罩出口訂單額為 1000 萬元，2020 年 12 月該
企業(yè)口罩出口訂單額為 1210 萬元．
求該企業(yè) 2020 年 10 月到 12 月口罩出口訂單額的月平均增長率；
按照（1）的月平均增長率，預(yù)計(jì)該企業(yè) 2021 年 1 月口罩出口訂單額為多少萬元？
【分析】（1）設(shè)該企業(yè) 2020 年 10 月到 12 月口罩出口訂單額的月平均增長率為 x，根據(jù)
2020 年 10 月及 12 月該企業(yè)口罩出口訂單額，即可得出關(guān)于 x 的一元二次方程，解之取
其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)該企業(yè) 2021 年 1 月口罩出口訂單額＝該企業(yè) 2020 年 12 月口罩出口訂單額×
（1+增長率），即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè) 2020 年 10 月到 12 月口罩出口訂單額的月平均增長率為 x，依題意得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．
答：該企業(yè) 2020 年 10 月到 12 月口罩出口訂單額的月平均增長率為 10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（萬元）．
答：預(yù)計(jì)該企業(yè) 2021 年 1 月口罩出口訂單額為 1331 萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21．（8 分）在一個(gè)不透明的布袋里裝有四個(gè)完全相同的小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、2、
3．
若小明隨機(jī)抽出一個(gè)小球，求抽到標(biāo)有數(shù)字 2 的小球的概率；
小明先從口袋里隨機(jī)不放回地取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為 x．小紅再從剩下的三個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為 y，點(diǎn) Q 坐標(biāo)記作（x，y）．規(guī)定：若點(diǎn) Q（x，y）
在反比例函數(shù) y＝圖象上則小明勝；若點(diǎn) Q 在反比例函數(shù) y＝圖象上，則小紅勝．請你通過計(jì)算，判斷這個(gè)游戲是否公平？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，求出小明勝的概率＝小紅勝的概率，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）若小明隨機(jī)抽出一個(gè)小球，則抽到標(biāo)有數(shù)字 2 的小球的概率為＝；
（2）畫樹狀圖如圖：
共有 12 個(gè)等可能的結(jié)果，點(diǎn) Q（x，y）在反比例函數(shù) y＝圖象上的結(jié)果有 4 個(gè)，點(diǎn) Q
（x，y）在反比例函數(shù) y＝ 圖象上的結(jié)果有 4 個(gè)，
∴小明勝的概率為＝ ，小紅勝的概率為＝ ，
∴小明勝的概率＝小紅勝的概率，
∴這個(gè)游戲公平．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．（10 分）如圖，△ABC 內(nèi)接于⊙O，PA 是⊙O 的切線，CD 是⊙O 的直徑，點(diǎn) P 在 CD
延長線上，且 AP＝AC．
求∠B 的度數(shù)；
若點(diǎn) E 在線段 AP 上，且 PE＝2AE，連接 DE，求證：DE 是⊙O 的切線．
【分析】（1）連接 OA，AD，根據(jù)切線的性質(zhì)和已知條件即可求出∠B 的度數(shù)；
（2）連接 OA，OE，證明△PDE∽△PAO，即可得結(jié)論．
【解答】（1）解：連接 OA，AD，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP，
∵AO＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
設(shè)∠ACO＝x，則∠AOP＝∠ACO+∠CAO＝2x，
∵PA 是⊙O 的切線，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠AOP+∠P＝90°，
∴2x+x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠ACO＝30°，
∵CD 是⊙O 的直徑，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠B＝60°；
（2）證明：連接 OA，OE，
設(shè) OC＝OD＝OA＝r，
∵∠P＝∠ACP＝30°，
∴OP＝2r，
∴DP＝r，
∴AP＝ ＝＝r，
∵PE＝2AE，
∴PE＝r，
∴＝＝， ＝＝，
∴＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PDE∽△PAO，
∴∠PDE＝∠PAO＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴DE 是⊙O 的切線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定及圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理、圓周角定理及含 30°直角三角形的性質(zhì)．
23．（10 分）已知二次函數(shù) y＝﹣x2+bx+c 的圖象與直線 y＝x+3 相交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，點(diǎn) A 在
x 軸上，點(diǎn) B 在 y 軸上．拋物線的頂點(diǎn)為 P．
求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
現(xiàn)將拋物線向右平移 m 個(gè)單位，當(dāng)拋物線與△ABP 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求 m
的值；
在直線 AB 下方的拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使得 S△ABQ＝2S△ABP，若存在，請求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）直線 y＝x+3 中，分別令 x＝0 和 y＝0 可得點(diǎn) A 和 B 的坐標(biāo)，將點(diǎn) A 和 B
的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中列方程組，解出即可；
由圖象可知，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn) B 或點(diǎn) A 時(shí)，拋物線與△PBA 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 求得平移后的解析式，代入 A、B 的坐標(biāo)，即可求得 m 的值；
先計(jì)算△ABP 的面積，根據(jù) S△ABQ＝2S△ABP，可得△ABQ 的面積，分兩種情況：點(diǎn)
Q 在對稱軸的左側(cè)和右側(cè)，根據(jù)面積公式列方程可得結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng) x＝0 時(shí)，y＝3，
∴B（0，3），
當(dāng) y＝0 時(shí)，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把 A（﹣3，0）和 B（0，3）代入二次函數(shù) y＝﹣x2+bx+c 中得：
，解得：，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
將拋物線向右平移 m 個(gè)單位，P 對應(yīng)點(diǎn)為（﹣1+m，4），
∴平移后的拋物線解析式為 y＝﹣（x+1﹣m）2+4， 把 B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，
解得 m1＝2，m2＝0（舍去），
把 A（﹣3，0）代入得 0＝﹣（﹣2﹣m）2+4， 解得 m3＝﹣4，m4＝0（舍去），
故 m 的值為 2 或﹣4；
（3）∵S△ABP＝S△APD+S 梯形 PDOB﹣S△AOB＝ + ×（3+4）×1﹣
＝3，
∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，
設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（a，﹣a2﹣2a+3），分兩種情況：
①如圖 1，當(dāng) Q 在對稱軸的左側(cè)，過點(diǎn) P 作 PD⊥x 軸于點(diǎn) D，過點(diǎn) Q 作 QE∥y 軸交直線 AB 于 E，
∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），
∴Q（﹣4，﹣5）；
②如圖 2，當(dāng) Q 在對稱的右側(cè)，過點(diǎn) P 作 PD⊥x 軸于點(diǎn) D，過點(diǎn) Q 作 QE∥y 軸交直線
AB 于 E，
同理可得 a＝1，
∴Q（1，0），
綜上，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，第二問明確當(dāng)拋物線只經(jīng)過點(diǎn) B 或點(diǎn) A 時(shí)，拋物線與△PBA 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
24．（12 分）已知：拋物線 y＝kx2﹣（2k+1）x+（k≠0）．
證明：該拋物線與 x 軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
若該拋物線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn) D（異于拋物線與 y 軸的交點(diǎn)），且定點(diǎn) D 到拋物線的對稱軸的距離為 3，求 k 的值；
若 k＝1，點(diǎn) E 為拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為﹣．已知點(diǎn) F（1，0），
此時(shí)拋物線上是否存在一點(diǎn) K，使得 KF+KE 的值最小，若存在，求出 K 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）令 y＝0，再求出判別式，判斷即可得出結(jié)論；
先將拋物線的解析式進(jìn)行變形為：y＝kx2﹣（2k+1）x+ ＝k（x2﹣2x）﹣x+ ，令
x2﹣2x＝0，解方程可知：D 的橫坐標(biāo)為 2，根據(jù)定點(diǎn) D 到拋物線的對稱軸的距離為 3， 分兩種情況：在對稱軸左側(cè)和右側(cè)列方程可得結(jié)論；
先將 k＝1 代入得拋物線的解析式，從而知點(diǎn) E 的坐標(biāo)，根據(jù)圖象可得 KF+KE 的值最小時(shí) K 的位置，從而計(jì)算其坐標(biāo)．
【解答】（1）證明：當(dāng) y＝0 時(shí)，kx2﹣（2k+1）x+＝0，
△＝[﹣（2k+1）]2﹣4k× ＝3k2+（k﹣1）2＞0，
∴該拋物線與 x 軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）解：y＝kx2﹣（2k+1）x+
＝kx2﹣2kx﹣x+
＝k（x2﹣2x）﹣x+ ， 令 x2﹣2x＝0，
解得：x＝0 或 2，
∵拋物線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn) D（異于拋物線與 y 軸的交點(diǎn)），
∴D 的橫坐標(biāo)為 2，
∵定點(diǎn) D 到拋物線的對稱軸的距離為 3，
∴拋物線的對稱軸是 5 或﹣1，
∴﹣ ＝5 或﹣＝﹣1， 解得：k＝ 或﹣ ；
（3）解：當(dāng) k＝1 時(shí)，拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x+＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴拋物線的對稱軸是：直線 x＝，
∴E（ ，﹣ ），
當(dāng) x＝1 時(shí)，y＝﹣，
∴當(dāng) FK⊥x 軸時(shí)，此時(shí) KE⊥y 軸，KF+KE 的值最小為 + ＝1，
此時(shí) K（1，﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一元二次方程的根的判別式，含字母系數(shù)的二次函數(shù)的定點(diǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，并注意分類討論思想的運(yùn)用．
25．（12 分）如圖，BC 是⊙O 的直徑，點(diǎn) A 在⊙O 上且 AB＝AC．
如圖 1，點(diǎn) D 為直徑 BC 上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B，C 重合），將線段 AD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到線段 AE，連接 DE、BE，試探索線段 BD，CD，DE 之間滿足的等量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論；
如圖 2，若點(diǎn) D 為⊙O 外一點(diǎn)且∠ADB＝45°，試探索線段 AD，BD，CD 之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
若點(diǎn) D 為⊙O 上一點(diǎn)且∠ADB＝45°，試探索線段 AD，BD，CD 之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）如圖 1，證明△EAB≌△DAC（SAS），得 BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°，證明∠EBD＝90°，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；
如圖 2，延長 DB 交⊙O 于 E，連接 AE，CE，證明△DAB≌△EAC（SAS），得 BD
＝CE，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；
當(dāng)點(diǎn) D 在時(shí)，如圖 3，過點(diǎn) A 作 AE⊥AD 交 DB 的延長線于點(diǎn) E，連接 CD，證明△EAB≌△DAC（SAS），最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．同理當(dāng) D 在上時(shí)，同理可得結(jié)論．
【解答】證明：（1）如圖 1，BD2+CD2＝DE2，理由是：
由旋轉(zhuǎn)得：AE＝AD，∠EAD＝90°，
∵BC 是⊙O 的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°，
∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝CD2+BD2；
CD2＝2AD2+BD2，理由是：
如圖 3，延長 DB 交⊙O 于 E，連接 AE，CE，
∵∠ACB＝∠AEB＝45°，∠ADB＝45°，
∴∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∵BC 是⊙O 的直徑，
∴∠BEC＝90°，
∴CD2＝DE2+CE2，
∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴DE2＝2AD2，
∴CD2＝2AD2+BD2；
分兩種情況：
①如圖 3，BD+CD＝AD，理由如下：
如圖 3，過點(diǎn) A 作 AE⊥AD，交 DB 的延長線于點(diǎn) E，連接 CD，
∵∠ADB＝45°，
∴△AED 是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，AE＝AD，
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴EB＝CD，
∵△AED 是等腰直角三角形，
∴DE2＝2AD2，
∴DE＝ AD，
∴BE+BD＝ AD，
∴CD+BD＝ AD；
②如圖 4，BD﹣CD＝AD，理由如下：
過點(diǎn) A 作 AE⊥AD，交 DB 于點(diǎn) E，
∵∠ADB＝45°，
∴△AED 是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，AE＝AD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，∠AEB＝90°+45°＝135°，∠ADC＝90°+45°＝135°
∵AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（AAS），
∴EB＝CD，
∵△AED 是等腰直角三角形，
∴DE2＝2AD2，
∴DE＝ AD，
∴BD﹣BE＝ AD，
∴BD﹣CD＝ AD．
【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

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