1．（3 分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A． B．
C． D．
2．（3 分）不解方程，判斷方程 2x2﹣6x＝7 的根的情況是（）
A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
3．（3 分）已知⊙O 半徑為 10cm，圓心 O 到點 A 的距離為 10cm，則點 A 與⊙O 的位置關(guān)系是（）
相切B．圓外C．圓上D．圓內(nèi)
4．（3 分）將二次函數(shù) y＝（x﹣2）2+2 的圖象向下平移 3 個單位長度，再向右平移 3 個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1 5．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 時，原方程應(yīng)變形為（）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
6．（3 分）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則 m 的取值范圍是（）
A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5
7．（3 分）設(shè) A（2，y1），B（﹣2，y2）是拋物線 y＝﹣（x+1）2+a 上的兩點，則 y1、y2 的
大小關(guān)系為（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
8．（3 分）如圖，△ABC 的內(nèi)切圓圓 O 與 AB，BC，CA 分別相切于點 D，E，F(xiàn)，若∠DEF
＝53°，則∠A 的度數(shù)是（）
A．36°B．53°C．74°D．128°
9．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點 E 在 CD 邊上，DE＝2CE，連接 AE 交
BD 于點 F，則 DF：BD＝（）
A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3
10．（3 分）如圖，拋物線 y＝﹣x（x+6）與 x 軸負(fù)半軸交于點 A，點 B 為線段 OA 上一動
點，點 D 的坐標(biāo)為（﹣3，﹣6），連接 BD，以 BD 為底邊向右側(cè)作等腰直角△DCB，若點 C 恰好在拋物線上，則 AB 長為（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
二、填空題（每題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）已知點 A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函數(shù)上，則 m＝ ．
12．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A（a，﹣3）與點 B（2，b）關(guān)于原點對稱，則 ab＝．
13．（3 分）如圖，將△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，則∠AOB'的度數(shù)是．
14 ．（ 3 分） 已知圓錐的底面半徑為cm ， 母線長為 3 cm ， 則圓錐的側(cè)面積為．
15．（3 分）如圖，一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為 2 米時，水面寬度為 4 米；那么當(dāng)水位上升 0.5 米后，水面的寬度為 米．（結(jié)果可帶根號）
16．（3 分）如圖，矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形 AEFG
繞點 A 旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③當(dāng)∠BAG＝60°時，4S△ABG
＝3 S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正確的結(jié)論．
三、解答題
17．（4 分）解方程：x2﹣10x+9＝0．
18．（4 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC 的三個頂點都在格點上．
畫出△ABC 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 180°后的△A1B1C1．
求線段 OC 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形面積．
19．（6 分）已知二次函數(shù) y＝ax2+bx+c（a≠0），函數(shù) y 與自變量 x 的部分對應(yīng)值如下表：
求該二次函數(shù)的表達式；
根據(jù)二次函數(shù) y＝ax2+bx+c 圖象，直接寫出不等式 ax2+bx+c＞0 的 x 的取值范圍．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
20．（6 分）某校準(zhǔn)備從 2 名男生（A、B）和 3 名女生（C、D、E）五人中選拔學(xué)生，代表學(xué)校參加區(qū)中學(xué)生“黨史知識競賽”．
（ 1 ） 如 果 確 定 只 需 要 一 名 女 生 參 加 ， 則 女 生 E 被 選 中 的 概 率 是
（直接填寫答案）；
（2）如果確定只需要兩名學(xué)生參加，請用畫樹狀圖或列表法求恰好選中 2 名女生的概率．
21．（8 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 有兩個實數(shù)根．
求實數(shù) m 的取值范圍；
若 x1，x2 是該方程的兩個根，且滿足 x1x2+x1+x2＝m2+6，求 m 的值．
22．（10 分）（1）據(jù)統(tǒng)計，三月份的全天包車數(shù)為 36 次，在租金不變的基礎(chǔ)上，四、五月的全天包車數(shù)持續(xù)走高，五月份的全天包車數(shù)達到 81 次．若從三月份到五月份的全天包車數(shù)月平均增長率不變，求全天包車數(shù)的月平均增長率；
（2）一段時間后，當(dāng)全天包車的租金為每輛 120 元時，每月的全天包車數(shù)為 60 次，該
公司決定降低租金，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，租金每降價 1 元，平均每月全天包車數(shù)增加 2 次，盡
可能的減少租車次數(shù)．當(dāng)租金降價多少元時，公司每月獲得的租金總額為 8800 元？
23．（10 分）如圖，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 CA 于 D 點，O 是 BC
上一點，經(jīng)過 B、D 兩點的⊙O 分別交 BC、BA 于點 E、F．
用尺規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
求證：CA 與⊙O 相切；
當(dāng) BD＝2，∠ABD＝30°時，求劣弧 BD 的長．
24．（12 分）給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
以下四邊形中，是勾股四邊形的為 （填序號即可）；
①平行四邊形；②矩形；③有一個角為直角的任意凸四邊形；④有一個角為 60°的菱形．
如圖 1，將△ABC 繞頂點 C 按順時針方向旋轉(zhuǎn) n°得到△EDC．
①連接 AD，當(dāng) n＝60，∠BAD＝30°時，求證：四邊形 ABCD 是勾股四邊形．
②如圖 2，將 DE 繞點 E 順時針方向旋轉(zhuǎn)得到 EF，連接 BF，BF 與 AE 交于點 P，連接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求 AC 的長度．
25．（12 分）已知：拋物線 y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
求證：拋物線與 x 軸有兩個交點．
設(shè)拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為 x1，x2（其中 x1＞x2）．若 t 是關(guān)于 a 的函數(shù)、且 t＝ax2﹣x1，求這個函數(shù)的表達式；
若 a＝1，將拋物線向上平移一個單位后與 x 軸交于點 A、B．平移后如圖所示，過A 作直線 AC，分別交 y 的正半軸于點 P 和拋物線于點 C，且 OP＝1．M 是線段 AC 上一動點，求 2MB+MC 的最小值．
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（30 分）
1．（3 分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A． B．
C． D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠 互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．
【解答】解：A．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意； C．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意； D．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意． 故選：A．
【點評】本題考查軸對稱圖形，中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形，中心對稱圖形 的定義．
2．（3 分）不解方程，判斷方程 2x2﹣6x＝7 的根的情況是（）
A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根
D．無法確定
【分析】利用根的判別式Δ＝b2﹣4ac 進行求解并判斷即可．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，
∴2x2﹣6x﹣7＝0，
原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根， 故選：B．
【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式Δ＝b2﹣4ac 是解答此題的關(guān)鍵，當(dāng)判別式Δ＝b2﹣4ac＞0 時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式Δ＝b2﹣4ac＝0 時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式Δ＝b2﹣4ac＜0 時，一元二次方程沒有實數(shù)根．
3．（3 分）已知⊙O 半徑為 10cm，圓心 O 到點 A 的距離為 10cm，則點 A 與⊙O 的位置關(guān)系是（ ）
A．相切B．圓外C．圓上D．圓內(nèi)
【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；利用 d
＞r 時，點在圓外；當(dāng) d＝r 時，點在圓上；當(dāng) d＜r 時，點在圓內(nèi)判斷出即可．
【解答】解：∵⊙O 的半徑為 10cm，點 A 到圓心 O 的距離為 10cm，
∴d＝r，
∴點 A 與⊙O 的位置關(guān)系是：點 A 在圓上， 故選：C．
【點評】此題主要考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為 r，點到圓心的距離為 d，則有：當(dāng) d＞r 時，點在圓外；當(dāng) d＝r 時，點在圓上，當(dāng) d＜r 時，點在圓內(nèi)．
4．（3 分）將二次函數(shù) y＝（x﹣2）2+2 的圖象向下平移 3 個單位長度，再向右平移 3 個單位長度，得到的拋物線的解析式為（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律左加右減，上加下減，得出平移后解析式即可．
【解答】解：將二次函數(shù) y＝（x﹣2）2+2 的圖象向下平移 3 個單位長度，再向右平移 3 個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝（x﹣2﹣3）2+2﹣3，即 y＝（x﹣5）2﹣1， 故選：D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此
題的關(guān)鍵．
5．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 時，原方程應(yīng)變形為（）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步驟：
把常數(shù)項移到等號的右邊；
把二次項的系數(shù)化為 1；
等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
【解答】解：由原方程移項，得
x2﹣2x＝5，
方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2 的一半的平方 1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6． 故選：C．
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為 1，一次項的系數(shù)是 2 的倍數(shù)．
6．（3 分）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則 m 的取值范圍是（）
A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2）
k＜0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，可解的答案．
【解答】解：∵圖象在第一、三象限，
∴m﹣5＞0， 解得 m＞5． 故選：B．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確把握好 （k≠0）中 k 與其所在象
限的關(guān)系即可．
7．（3 分）設(shè) A（2，y1），B（﹣2，y2）是拋物線 y＝﹣（x+1）2+a 上的兩點，則 y1、y2 的大小關(guān)系為（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【分析】先根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的圖象開口方向和對稱軸，再根據(jù)點 A、B 的橫坐
標(biāo)的大小即可判斷出 y1 與 y2 的大小關(guān)系．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+a，
∴拋物線的開口向下，的對稱軸是直線 x＝﹣1，
∴離對稱軸越近越大，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2），
∴y1＜y2． 故選：A．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，在解題時要能靈活應(yīng)用二次函 數(shù)的圖象和性質(zhì)以及點的坐標(biāo)特征是本題的關(guān)鍵．
8．（3 分）如圖，△ABC 的內(nèi)切圓圓 O 與 AB，BC，CA 分別相切于點 D，E，F(xiàn)，若∠DEF
＝53°，則∠A 的度數(shù)是（）
A．36°B．53°C．74°D．128°
【分析】連接 OD、OF，由切線的性質(zhì)得∠ODA＝∠OFA＝90°，再根據(jù)圓周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，則∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝74°，于是得 到問題的答案．
【解答】解：連接 OD、OF，
∵⊙O 分別與 AB、AC 相切于點 D、點 F，
∴AB⊥OD，AC⊥OF，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∵∠DEF＝53°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，
∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°， 故選：C．
【點評】此題重點考查三角形的內(nèi)切圓、切線的性質(zhì)、圓周角定理、多邊形的內(nèi)角和等 知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點 E 在 CD 邊上，DE＝2CE，連接 AE 交
BD 于點 F，則 DF：BD＝（）
A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3
【分析】由△DFE∽△BFA 得到 DF：BF＝DE：AB，由 DE＝2CE 得出 DE：AB＝2：3， 從而可以解決問題．
【解答】解：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△DFE∽△BFA
∴DF：BF＝DE：AB，
∵DE＝2CE，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴DF：BF＝2：3，
∴DF：BD＝2：5， 故選：C．
【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握并熟練應(yīng) 用以上知識點．
10．（3 分）如圖，拋物線 y＝﹣x（x+6）與 x 軸負(fù)半軸交于點 A，點 B 為線段 OA 上一動
點，點 D 的坐標(biāo)為（﹣3，﹣6），連接 BD，以 BD 為底邊向右側(cè)作等腰直角△DCB，若
點 C 恰好在拋物線上，則 AB 長為（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】過點 C 作 CE⊥x 軸，垂足為 E，過點 D 作 DF⊥EC，交 EC 延長線于點 F，設(shè)
點 ，然后證明△CBE≌△DCF，則 CE＝DF，BE＝CF，即可求出點 C 的坐標(biāo)，再求出點 B 的坐標(biāo)，從而求出 AB 的長度．
【解答】解：∵ ，
令 y＝0，則 x1＝0，x2＝﹣6，
∴點 A 的坐標(biāo)為：（﹣6，0），
過點 C 作 CE ⊥ x 軸， 垂足為 E ， 過點 D 作 DF ⊥ EC ， 交 EC 延長線于點 F ， 設(shè)點 ，如圖：
∵△DCB 是等腰直角三角形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
∵CE⊥x 軸，DF⊥EC
∴∠BEC＝∠F＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
∴△CBE≌△DCF，
∴CE＝DF，BE＝CF，
∵，D（﹣3，﹣6），
∴ ，
∴ ，
解得： ，x2＝1；
∵x＞﹣3，
∴x＝1，
∴點 C 的坐標(biāo)為（1，﹣4），
∴BE＝CF＝﹣4﹣（﹣6）＝2，
∴點 B 的橫坐標(biāo)為 1﹣2＝﹣1，
∴AB 的長度為﹣1﹣（﹣6）＝5； 故選：C．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形 的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題 3 分，共 18 分）
11．（3 分）已知點 A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函數(shù)上，則 m＝ ﹣2．
【分析】利用待定系數(shù)法求出 k 的值，代入點 B 的橫坐標(biāo)計算即可．
【解答】解：∵點 A（﹣2，3）在反比例函數(shù)上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
則反比例函數(shù)的解析式為：y＝ ，
∴當(dāng) x＝3 時，m＝＝﹣2， 故答案為：﹣2．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)圖象上的點的
坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
12．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A（a，﹣3）與點 B（2，b）關(guān)于原點對稱，則 ab＝ ﹣6．
【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出 a，b 的值，即可得出答案．
【解答】解：∵點 A（a，﹣3）與點 B（2，b）關(guān)于原點對稱，
∴a＝﹣2，b＝3，
則 ab＝﹣2×3＝﹣6． 故答案為：﹣6．
【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確得出 a，b 的值是解題關(guān)鍵．
13．（3 分）如圖，將△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，則∠AOB'的度數(shù)是 35° ．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角等于 60°，從而可以得到∠BOB′的度數(shù)，由∠
AOB＝15°可以得到∠AOB′的度數(shù)．
【解答】解：∵△AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 50°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝50°．
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°． 故答案為：35°．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵明確旋轉(zhuǎn)角是什么，對應(yīng)邊旋轉(zhuǎn)前后的夾角 是旋轉(zhuǎn)角．
14．（3 分）已知圓錐的底面半徑為cm，母線長為 3cm，則圓錐的側(cè)面積為6πcm2．
【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．
【解答】解：底面半徑是 cm，則底面周長＝2 πcm， 圓錐的側(cè)面積＝×2π×3＝6π（cm2）．
故答案為：6πcm2．
【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是記住圓錐是側(cè)面積公式．
15．（3 分）如圖，一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為 2 米時，水面寬度為 4 米；那么當(dāng)水位上升 0.5 米后，水面的寬度為 2 米．（結(jié)果可帶根號）
【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式，求出解析式確定出水面的寬度即可．
【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線解析式為 y＝ax2+c， 把（2，0）和（0，2）代入得，
，
解得
，
∴拋物線解析式為 y＝﹣x2+2，
把 y＝0.5 代入得：x＝±， 則水面的寬度是 2米．
故答案為：2 ．
【點評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
16．（3 分）如圖，矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形 AEFG
繞點 A 旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③當(dāng)∠BAG＝60°時，4S△ABG
＝3 S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正確的結(jié)論 ②③．
【分析】通過證明△ADG∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)可求 4BE＝3DG，可以判斷① 錯誤；由相似三角形的性質(zhì)可得∠AEB＝∠AGD，由余角的性質(zhì)可證 BE⊥DG，可以判 斷②正確；由勾股定理可求 BG2+DE2＝325，可以判斷④錯誤；分別求出 S△ABG，S△ADG， 即可判斷③，即可求解．
【解答】解：∵矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°， ＝ ， ＝ ，
∴∠DAG＝∠BAE， ＝ ，
∴△ADG∽△ABE，
∴ ＝ ＝ ，
∴4BE＝3DG，故①錯誤；
如圖：設(shè) BE 與 DG 交于點 H，
∵△ADG∽△ABE，
∴∠AEB＝∠AGD， 又∵∠AOE＝∠GOH，
∴∠EAO＝∠GHO＝90°，
∴BE⊥DG，故②正確；
如圖，連接 BD，GE，DE，BG，
∵AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，
∴BD2＝AB2+AD2＝81+144＝225，GE2＝AE2+AG2＝100，
∵BE⊥DG，
∴BH2+DH2＝BD2，BH2+HG2＝BG2，HG2+HE2＝GE2，DH2+HE2＝DE2，
∴BD2+GE2＝BG2+DE2，
∴BG2+DE2＝325，故④錯誤；
如圖，過點 G 作 GN⊥AB 于 N，GP⊥直線 AD 于 P，
∵∠BAP＝90°，
∴四邊形 APGN 是矩形，
∴AN＝GP，NG＝AP，
∵∠BAG＝60°，
∴∠GAP＝30°，
∴GP＝ AG＝4，AP＝PG＝4，
∴S△ABG＝ ×AB?NG＝ ×9×4＝18，S△ADG＝ ×AD?GP＝ ×12×4＝24，
∴4S△ABG＝3 S△ADG．故③正確； 綜上所述：正確的結(jié)論是②③． 故答案為：②③．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)， 勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．（4 分）解方程：x2﹣10x+9＝0．
【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣10x+9＝0，
（x﹣1）（x﹣9）＝0， x﹣1＝0 或 x﹣9＝0， x1＝1，x2＝9．
【點評】本題考查了解一元一次方程和解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能把解一元二次 方程轉(zhuǎn)化成解一元一次方程．
18．（4 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC 的三個頂點都在格點上．
畫出△ABC 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 180°后的△A1B1C1．
求線段 OC 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形面積．
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出 A1、B1、C1 的坐標(biāo)，然后描點，連線組成三角形即可；
（2）根據(jù)扇形面積公式可得答案．
【解答】解：（1）如圖：
△A1B1C1 即為所求三角形；
（2）∵OC2＝52+32＝34，
∴線段 OC 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的圖形面積為＝ ＝17π．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，涉及扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點對稱 的點的坐標(biāo)特征．
19．（6 分）已知二次函數(shù) y＝ax2+bx+c（a≠0），函數(shù) y 與自變量 x 的部分對應(yīng)值如下表：
求該二次函數(shù)的表達式；
根據(jù)二次函數(shù) y＝ax2+bx+c 圖象，直接寫出不等式 ax2+bx+c＞0 的 x 的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求 x 的取值范圍即可．
【解答】解：（1）由表格可知拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣4）．設(shè)拋物線的解析式為 y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵拋物線過點（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
∴a＝1，
∴二次函數(shù)的表達式為 y＝（x﹣1）2﹣4（或 y＝x2﹣2x﹣3）；
（2）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線 x＝1，
∴點（﹣1，0）的對稱點為（3，0），
∴不等式 ax2+bx+c＞0 的 x 的取值范圍是 x＞3 或 x＜﹣1．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析式．
20．（6 分）某校準(zhǔn)備從 2 名男生（A、B）和 3 名女生（C、D、E）五人中選拔學(xué)生，代表學(xué)校參加區(qū)中學(xué)生“黨史知識競賽”．
如果確定只需要一名女生參加，則女生 E 被選中的概率是 （直接填寫答案）；
如果確定只需要兩名學(xué)生參加，請用畫樹狀圖或列表法求恰好選中 2 名女生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖，共有 20 種等可能的結(jié)果，其中恰好選中 2 名女生的結(jié)果有 6 種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）如果確定只需要一名女生參加，則女生 E 被選中的概率是，
故答案為： ；
（2）畫樹狀圖如下：
共有 20 種等可能的結(jié)果，其中恰好選中 2 名女生的結(jié)果有 6 種，
∴恰好選中 2 名女生的概率為＝ ．
【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能 的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總 情況數(shù)之比．
21．（8 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 有兩個實數(shù)根．
求實數(shù) m 的取值范圍；
若 x1，x2 是該方程的兩個根，且滿足 x1x2+x1+x2＝m2+6，求 m 的值．
【分析】（1）利用根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；
（2）先將足 x1x2+x1+x2＝m2+6 轉(zhuǎn)化成﹣2m+5+4＝m2+6，再運用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0 有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴m≥ ；
（2）∵x1，x2 是該方程的兩個根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵x1x2+x1+x2＝m2+6，
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
∴m＝﹣3 或 1．
∵m≥ ；
∴m＝1．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根的判別式以 及根與系數(shù)的關(guān)系的公式是解題關(guān)鍵．
22．（10 分）（1）據(jù)統(tǒng)計，三月份的全天包車數(shù)為 36 次，在租金不變的基礎(chǔ)上，四、五月的全天包車數(shù)持續(xù)走高，五月份的全天包車數(shù)達到 81 次．若從三月份到五月份的全天包車數(shù)月平均增長率不變，求全天包車數(shù)的月平均增長率；
（2）一段時間后，當(dāng)全天包車的租金為每輛 120 元時，每月的全天包車數(shù)為 60 次，該
公司決定降低租金，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，租金每降價 1 元，平均每月全天包車數(shù)增加 2 次，盡
可能的減少租車次數(shù)．當(dāng)租金降價多少元時，公司每月獲得的租金總額為 8800 元？
【分析】（1）設(shè)全天包車數(shù)的月平均增長率為 x，利用五月份的全天包車數(shù)＝三月份的全天包車數(shù)×（1+全天包車數(shù)的月平均增長率）2，可得出關(guān)于 x 的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)租金降價 y 元時，全天包車的租金為每輛（120﹣y）元，每月的全天包車數(shù)為（60+2y）次，根據(jù)公司每月獲得的租金總額為 8800 元，可得出關(guān)于 y 的一元二次方程，解之即可得出 y 值，再結(jié)合要盡可能的減少租車次數(shù)，即可得出租金需降價 10 元．
【解答】解：（1）設(shè)全天包車數(shù)的月平均增長率為 x，根據(jù)題意得：36（1+x）2＝81，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合題意，舍去）．答：全天包車數(shù)的月平均增長率為 50%；
（2）當(dāng)租金降價 y 元時，全天包車的租金為每輛（120﹣y）元，每月的全天包車數(shù)為（60+2y）次，
根據(jù)題意得：（120﹣y）（60+2y）＝8800，整理得：y2﹣90y+800＝0，
解得：y1＝10，y2＝80，
又∵要盡可能的減少租車次數(shù)，
∴y＝10．
答：當(dāng)租金降價 10 元時，公司每月獲得的租金總額為 8800 元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解 題的關(guān)鍵．
23．（10 分）如圖，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 CA 于 D 點，O 是 BC
上一點，經(jīng)過 B、D 兩點的⊙O 分別交 BC、BA 于點 E、F．
用尺規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
求證：CA 與⊙O 相切；
當(dāng) BD＝2，∠ABD＝30°時，求劣弧 BD 的長．
【分析】（1）線段 BD 的垂直平分線與 BC 的交點即為圓心 O；
連接 OD，根據(jù)角平分線的定義，可得∠BDO＝∠ABD，從而證明 AB∥OD，得到OD⊥AC，即可 CA 與⊙O 相切；
求出∠BOD＝120°，設(shè) BD 的中點為 G，則 OG⊥BD，在 Rt△BOG 中求出 BO＝2，
即可求劣弧 BD 的長＝．
【解答】（1）解：如圖：
（2）證明：連接 OD，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵BD 是∠ABC 的平分線，
∴∠ABD＝∠DBO，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴AB∥OD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥AC，
∵D 點在圓 O 上，
∴CA 與⊙O 相切；
（3）解：∵∠ABD＝30°，
由（2）可知∠BDO＝∠DBO＝30°，
∴∠BOD＝120°，
設(shè) BD 的中點為 G，則 OG⊥BD，
∵BD＝2 ，
在 Rt△BOG 中，BG＝，∠GBO＝30°，
∴BO＝2，
∴劣弧 BD 的長＝＝．
【點評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓的切線的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直 角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（12 分）給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
以下四邊形中，是勾股四邊形的為 ②③（填序號即可）；
①平行四邊形；②矩形；③有一個角為直角的任意凸四邊形；④有一個角為 60°的菱形．
如圖 1，將△ABC 繞頂點 C 按順時針方向旋轉(zhuǎn) n°得到△EDC．
①連接 AD，當(dāng) n＝60，∠BAD＝30°時，求證：四邊形 ABCD 是勾股四邊形．
②如圖 2，將 DE 繞點 E 順時針方向旋轉(zhuǎn)得到 EF，連接 BF，BF 與 AE 交于點 P，連接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求 AC 的長度．
【分析】（1）由勾股四邊形的定義得出至少有一個內(nèi)角是直角四邊形必是勾股四邊形， 即可得出答案；
（2）①只要證明△DAE 是直角三角形，再利用勾股定理/旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解決問題．
②如圖 2 中，延長 BC 交 FE 的延長線于 H．由△FPE≌△BPA，推出 PE＝PA＝5，由
CA＝CE，推出 CP⊥AE，推出∠APC＝90°，根據(jù) AC＝計算即可．
【解答】（1）解：∵一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，
∴此四邊形的內(nèi)角中至少有一個角為直角，
①∵平行四邊形的內(nèi)角不一定有直角，
∴平行四邊形不一定是勾股四邊形；
②∵矩形的四個角都為直角，
∴矩形是勾股四邊形；
③∵有一個角為直角的任意凸四邊形，
∴此四邊形為勾股四邊形；
④∵有一個角為 60°的菱形，
∴菱形的四個內(nèi)角分別為 60°，120°，60°，120°，
∴有一個角為 60°的菱形不是勾股四邊形， 故答案為：②③；
（2）①證明：如圖 1 中，連接 AE．
∵△ABC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)了 60°到△DCE，
∴AC＝BC，∠ACE＝60°，
∴△ACE 是等邊三角形．
∴AE＝AC，∠ACE＝60°，
∵∠DCB＝60°，∠BAD＝30°
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∴∠ADC+∠CDE＝170°，
∴∠ADE＝90°，
在 Rt△DAE 中，AD2+DE2＝AE2，
∵DE＝AB，AC＝AE，
∴AD2+AB2＝AC2，
∴四邊形 ABCD 是勾股四邊形；
②解：如圖 2 中，延長 BC 交 FE 的延長線于 H．
∵∠DCH＝180°﹣n°＝（180﹣n）°，∠DEF＝（180﹣n）°，
∴∠DEF＝∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH＝180°，
∴∠DEH+∠DCH＝180°，
∴∠CDE+∠H＝180°，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠ABC+∠H＝180°，
∴AB∥FH，
∴∠F＝∠ABP，
∵DE＝EF＝AB，∠EPF＝∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE＝PA，
∵AE＝PE+PA＝8，
∴PE＝PA＝4，
∵CA＝CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝2 ．
【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)等知識，解本題的關(guān)鍵是理解勾股四邊形的定義，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
25．（12 分）已知：拋物線 y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
求證：拋物線與 x 軸有兩個交點．
設(shè)拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為 x1，x2（其中 x1＞x2）．若 t 是關(guān)于 a 的函數(shù)、且 t＝ax2﹣x1，求這個函數(shù)的表達式；
若 a＝1，將拋物線向上平移一個單位后與 x 軸交于點 A、B．平移后如圖所示，過A 作直線 AC，分別交 y 的正半軸于點 P 和拋物線于點 C，且 OP＝1．M 是線段 AC 上一動點，求 2MB+MC 的最小值．
【分析】（1）可求出根的判別式的值，由根的判別式的值直接判斷；
令 y＝0，求出含 a 的兩個交點的橫坐標(biāo)，代入 t＝ax2﹣x1 即可；
求出平移后拋物線的解析式及 A，B 的坐標(biāo)，求出直線 AC 的解析式及點 C 的坐標(biāo)，過 C 作 CN⊥y 軸，過 M 作 MG⊥CN 于 G，過 C 作 CH⊥x 軸于 H，證△AOP∽△CGM，
推出＝，2MB+MC＝2（MB+GM），而 MB+GM 的最小值即 B 到 CN 最小距離 CH，
即可寫出 2MB+MC 的最小值．
【解答】（1）證明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，
∵a＞0，
∴（a+3）2＞0，
∴拋物線與 x 軸有兩個交點；
（2）解：令 y＝0，則 ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，
∴ 或 ，
∵a＞0，
∴ 且 x1＞x2，
∴x1＝2， ，
∴ ，
∴t＝a﹣5；
（3）解：當(dāng) a＝1 時，則 y＝x2﹣4， 向上平移一個單位得 y＝x2﹣3，
令 y＝0，則 x2﹣3＝0， 得 ，
∴ ， ，
∵OP＝1，
∴直線 ，
聯(lián)立：，
解得，，，
即， ，
∴AO＝ ， 在 Rt△AOP 中，
AP＝ ＝2，
過 C 作 CN⊥y 軸，過 M 作 MG⊥CN 于 G，過 C 作 CH⊥x 軸于 H，
∵CN∥x 軸，
∴∠GCM＝∠PAO，
又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，
∴△AOP∽△CGM，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
∵B 到 CN 最小距離為 CH，
∴MB+GM 的最小值為 CH 的長度，
∴2MB+MC 的最小值為．
【點評】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點的求法，最短路徑問題等，解題關(guān)鍵是能夠通 過作合適的輔助線，將相關(guān)線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段最短的問題等．

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