1．（3 分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P(?3, 4) 關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A． (3, 4)B． (?3, ?4)
C． (3, ?4)
D． (4, ?3)
2．（3 分）如圖，在?O 中， OC ? AB ，若?BOC ? 40? ，則?OAB 等于()
A． 40?B． 50?C． 80?D．120? 3．（3 分）拋物線 y ? ?2(x ? 3)2 ? 4 的對稱軸是()
直線 x ? 3
直線 x ? ?3
直線 x ? 4
直線 x ? ?4
4．（3 分）連續(xù)拋擲兩次骰子，它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的概率是()
1
36
1
9
1
4
1
2
5．（3 分）在一幅長60cm ，寬 40cm 的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是 2816cm2 ，設(shè)金色紙邊的寬為 xcm ，那么 x 滿足的方程是( )
A． (60 ? x)(40 ? 2x) ? 2816
C． (60 ? 2 x)(40 ? x) ? 2816
B． (60 ? x)(40 ? x) ? 2816
D． (60 ? 2x)(40 ? 2x) ? 2816
6．（3 分）二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象如圖所示，則一次函數(shù) y ? ?bx ? c 的圖象不經(jīng)過( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．（3 分）如圖，正六邊形螺帽的邊長是 4cm ，那么這個(gè)正六邊形半徑 R 和扳手的開口 a 的值分別是()
3
A．2， 2
3
B．4， 4
3
C．4， 2
D．4，
3
8．（3 分）如圖，將?ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?，得到?ADE ，若點(diǎn) D 恰好在CB 的延長線上，則?CDE 等于()
A．?B． 90? ? ?
2
C． 90? ? ?
2
D．180? ? 2?
9．（3 分）定義新運(yùn)算“ a ? b ”：對于任意實(shí)數(shù) a ， b ，都有 a ?b ? (a ? b)2 ? b ，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運(yùn)算，如3 ? 2 ? (3 ? 2) 2 ? 2 ? ?1 ．若 x ? k ? 0(k 為實(shí)數(shù)） 是關(guān)于 x 的方程，且 x ? 2 是這個(gè)方程的一個(gè)根，則 k 的值是()
A．4B． ?1 或 4C．0 或 4D．1 或 4
10．（3 分）已知平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn) A(?4, ?4) ，點(diǎn) B(a, 0) ，二次函數(shù) y ? x2 ? (k ? 3)x ? 2k
的圖象必過一定點(diǎn)C ，則 AB ? BC 的最小值是()
13
4
2
6
3
13
2
2
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分。）
11．（3 分）若方程 mx2 ? 3x ? 4 ? 3x2 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是 ．
12．（3 分）為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘中捕撈了 100 條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時(shí)間等有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈 300 條．若其中有標(biāo)記的魚有 15 條，則可估計(jì)池塘里有魚 條．
3
13．（3 分）如圖，扇形 AOB 的圓心角為120? ，弦 AB ? 2
，則圖中陰影部分的面積是．
14．（3 分）已知?O 的直徑為8cm ，如果直線 AB 上的一點(diǎn)與圓心的距離為 4cm ，則直線 AB
與?O 的位置關(guān)系是．
15．（3 分）已知二次函數(shù) y ? ?x2 ? bx ? c 與一次函數(shù) y ? mx ? n 的圖象相交于點(diǎn) A(?2, 4) 和
點(diǎn) B(6, ?2) ，則不等式?x2 ? bx ? c ? mx ? n 的解集是．
16．（3 分）如圖，已知Rt?ABC 中， ?ABC ? 90? ， ?ACB ? 30? ，斜邊 AC ? 4 ，點(diǎn) P 是三角形內(nèi)的一動點(diǎn)，則 PA ? PB ? PC 的最小值是．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟。）
17．（4 分）解方程： (x ? 3)2 ? 2x(x ? 3) ? 0 ．
18．（4 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ，E 為 BC 延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C 為 B?D 的中點(diǎn)．若
?DCE ? 110? ，求?BAC 的度數(shù)．
19．（6 分）如圖，已知?ABC 中， BD 是中線．
尺規(guī)作圖：作出以 D 為對稱中心，與?BCD 成中心對稱的?EAD ．
猜想 AB ? BC 與2BD 的大小關(guān)系，并說明理由．
20．（6 分）如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內(nèi)，與水平橋相交于 A ， B 兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C 到 AB 的距離為9m ， AB ? 36m ， D ， E 為拱橋底部的兩點(diǎn)， DE / / AB ．
以C 為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，求出此時(shí)拋物線的解析式．（忽
略自變量取值范圍）
若 DE ? 48m ，求 E 點(diǎn)到直線 AB 的距離．
標(biāo)號
1
2
3
4
次數(shù)
16
14
20
10
21．（8 分）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為 1，2，3，4，小明隨機(jī)從口袋中摸取一個(gè)小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個(gè)小球，又放 回．小明摸取了 60 次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
上述試驗(yàn)中，小明摸取到“2”號小球的頻率是；小明下一次在袋中摸取小球， 摸到“2”號小球的概率是；
若小明隨機(jī)從口袋中摸取一個(gè)小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個(gè)小 球，請用列舉法求小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的概率．
若小明一次在袋中摸出兩個(gè)小球，求小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號的和為 5 的概率．
22．（10 分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的?O 半徑為 3．
試判斷點(diǎn) A(3,3) 與?O 的位置關(guān)系，并加以說明．
若直線 y ? x ? b 與?O 相交，求b 的取值范圍．
若直線 y ? x ? 3 與?O 相交于點(diǎn) A ， B ．點(diǎn) P 是 x 軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，以 A ， B ，
P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
23．（10 分）已知關(guān)于 x 的方程 ax2 ? (2a ?1)x ? a ? 2 ? 0 ．
若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 a 的取值范圍．
若 x ? 2 是方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根．
在（1）的條件下，試判斷直線 y ? (2a ? 3)x ? a ? 5 能否過點(diǎn) A(?1, 3) ，并說明理由．
24．（12 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程? 1 x2 ? ax ? a ? 3 ? 0 ．
2
求證：無論 a 為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
如圖，若拋物線 y ? ? 1 x2 ? ax ? a ? 3 與 x 軸交于點(diǎn) A(?2, 0) 和點(diǎn) B ，與 y 軸交于點(diǎn)C ，
2
連結(jié) BC ， BC 與對稱軸交于點(diǎn) D ．
①求拋物線的解析式及點(diǎn) B 的坐標(biāo)；
②若點(diǎn) P 是拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P 位于直線 BC 的上方，連接 PC ，PD ，過點(diǎn) P 作 PN ? x
軸，交 BC 于點(diǎn) M ，求?PCD 的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
25．（12 分）已知：如圖①， AD 為?O 的直徑，點(diǎn) A 為優(yōu)弧 B?C 的中點(diǎn)，延長 BO 交 AC 于點(diǎn) E ．
求證： ?BAC ? 2?ABE ；
若?BCE 是等腰三角形時(shí)，求?BCE 的度數(shù)；
如圖②，若弦 BC 垂直平分半徑OD ，連接 DE 交 BC 于點(diǎn) F ， DF ? a ， EF ? k ? DF ，
S?BEF ? 1 ， M 、N 、P 分別為直線 BD 、BF 、DF 上的三個(gè)動點(diǎn)，求?MNP 周長的最小值．
2021-2022 學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．（3 分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn) P(?3, 4) 關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A． (3, 4)B． (?3, ?4)
C． (3, ?4)
D． (4, ?3)
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反， 可以直接得到答案．
【解答】解：? P(?3, 4) ，
?關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(3, ?4) ， 故選： C ．
【點(diǎn)評】此題主要考查了原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)的變化規(guī)律：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)
于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反．
2．（3 分）如圖，在?O 中， OC ? AB ，若?BOC ? 40? ，則?OAB 等于()
A． 40?B． 50?C． 80?D．120?
【分析】根據(jù)垂徑定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論求出?AOC ? ?BOC ? 40? ，那么?AOB ? 80? ，再利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出?OAB 的度數(shù)．
【解答】解：在?O 中， OC ? AB ，
? ?AC ? B?C ，
??AOC ? ?BOC ? 40? ，
??AOB ? ?AOC ? ?BOC ? 80? ，
? OA ? OB ，
??OAB ? ?OBA ? 50? ． 故選： B ．
【點(diǎn)評】此題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．難度適中．
3．（3 分）拋物線 y ? ?2(x ? 3)2 ? 4 的對稱軸是()
直線 x ? 3
直線 x ? ?3
直線 x ? 4
直線 x ? ?4
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，直接可以寫出對稱軸，本題得以解決．
【解答】解：?拋物線 y ? ?2(x ? 3)2 ? 4 ，
?該拋物線的對稱軸是直線 x ? 3 ， 故選： A ．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
4．（3 分）連續(xù)拋擲兩次骰子，它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的概率是()
1
36
1
9
1
4
1
2
【分析】列舉出所有情況，看點(diǎn)都是奇數(shù)的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．
【解答】解：列表如下：
由表可知，共 36 種情況，其中它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的有 9 種結(jié)果，
所以它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的概率為 9 ? 1 ，
364
故選： C ．
【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù) 不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以 上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率? 所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
5．（3 分）在一幅長60cm ，寬 40cm 的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛
1
2
3
4
5
6
1
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
2
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2 2
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2 4
2 5
2 6
3
3 1
3 2
3 3
3 4
3 5
3 6
4
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4 2
4 3
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5
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
5 6
6
6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
6 6
圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是 2816cm2 ，設(shè)金色紙邊的寬為 xcm ，那么 x 滿足的方程是()
A． (60 ? x)(40 ? 2x) ? 2816
C． (60 ? 2 x)(40 ? x) ? 2816
B． (60 ? x)(40 ? x) ? 2816
D． (60 ? 2x)(40 ? 2x) ? 2816
【分析】根據(jù)題意可知：矩形掛圖的長為(60 ? 2x)cm ，寬為(40 ? 2x)cm ；則運(yùn)用面積公式列方程即可．
【解答】解：掛圖長為(60 ? 2x)cm ，寬為(40 ? 2x)cm ，
所以根據(jù)矩形的面積公式可得： (60 ? 2x)(40 ? 2x) ? 2816 ． 故選： D ．
【點(diǎn)評】此題是一元二次方程的應(yīng)用，解此類題的關(guān)鍵是看準(zhǔn)題型列面積方程，矩形的面積
? 矩形的長? 矩形的寬．
6．（3 分）二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c 的圖象如圖所示，則一次函數(shù) y ? ?bx ? c 的圖象不經(jīng)過(
)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由拋物線的對稱軸在 y 軸左側(cè)，得到 a 與b 同號號，根據(jù)拋物線開口向下得到 a 小于 0，故b 小于 0，再利用拋物線與 y 軸交點(diǎn)在 y 軸正半軸，得到c 大于 0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出一次函數(shù) y ? ?bx ? c 不經(jīng)過的象限．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象得： a ? 0 ， c ? 0 ，
?? b
2a
? 0 ，
??b ? 0 ，
故一次函數(shù) y ? ?bx ? c 的圖象不經(jīng)過第四象限． 故選： D ．
【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌
握一次、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
7．（3 分）如圖，正六邊形螺帽的邊長是 4cm ，那么這個(gè)正六邊形半徑 R 和扳手的開口 a 的值分別是()
3
A．2， 2
3
B．4， 4
3
C．4， 2
D．4，
3
【分析】設(shè)正六邊形的中心為 O ，連接 OA ， OC ， OB ， AB ， AB 與 OC 交于 G ，求得
?AOC ? 360? ? 60? ，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OA ? AC ? 4cm ，即這個(gè)正六邊形半徑 R 為
6
4cm ；根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形 ACBO 是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AB ? OC ，
?CAG ? 1 ?CAO ? 30? ，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
2
【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為O ，連接OA ， OC ， OB ， AB ， AB 與OC 交于G ，
則?AOC ? 360? ? 60? ，
6
? OA ? OC ，
??AOC 是等邊三角形，
?OA ? AC ? 4cm ，
即這個(gè)正六邊形半徑 R 為 4cm ；
??AOC 是等邊三角形， 同理?BOC 是等邊三角形，
? AC ? OA ? OB ? BC ，
?四邊形 ACBO 是菱形，
? AB ? OC ， ?CAG ? 1 ?CAO ? 30? ，
2
? AC ? 4cm ，
?CG ? 2cm ，
AC 2 ? CG2
? AG ?? 2 3(cm) ，
? a ? AB ? 4 3(cm) ，
即 a 的值是 4 3cm ， 故選： B ．
【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，解直角三角形，牢記正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 8．（3 分）如圖，將?ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?，得到?ADE ，若點(diǎn) D 恰好在CB 的延長線 上，則
?CDE 等于()
A．?B． 90? ? ?
2
C． 90? ? ?
2
D．180? ? 2?
【分析】證明?ABE ? ?ADE ? 180? ，推出?BAD ? ?BED ? 180? 即可解決問題．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知： AB ? AD ， ?ABC ? ?ADE ， ?BAD ? ?，
??ABC ? ?ABD ? 180? ，
??ABD ? ?ADE ? 180? ，
? AB ? AD ，
??ABD ? ?ADB ，
??ADB ? ?ADE ? 2?ADB ? ?BED ? 180? ，
??BAD ? ?，
? 2?ABD ? 180? ??，
??BED ? 180? ? (180? ? ?) ? ?． 故選： A ．
【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于 中考?？碱}型．
9．（3 分）定義新運(yùn)算“ a ? b ”：對于任意實(shí)數(shù) a ， b ，都有 a ?b ? (a ? b)2 ? b ，其中等
式右邊是通常的加法、減法和乘法運(yùn)算，如3 ? 2 ? (3 ? 2) 2 ? 2 ? ?1 ．若 x ? k ? 0(k 為實(shí)數(shù)） 是關(guān)于 x 的方程，且 x ? 2 是這個(gè)方程的一個(gè)根，則 k 的值是()
A．4B． ?1 或 4C．0 或 4D．1 或 4
【分析】根據(jù)定義運(yùn)算“ a ? b ”：對于任意實(shí)數(shù) a ， b ，都有 a ?b ? (a ? b)2 ? b ，進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得：
2 ? k ? 0 ，
?(2 ? k)2 ? k ? 0 ，
? k 2 ? 5k ? 4 ? 0 ，
? k1 ? 1 ， k2 ? 4 ， 故選： D ．
【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，方程的定義，解一元二次方程? 因式分解法，理解定義新運(yùn)算“ a ? b ”是解題的關(guān)鍵．
10．（3 分）已知平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn) A(?4, ?4) ，點(diǎn) B(a, 0) ，二次函數(shù) y ? x2 ? (k ? 3)x ? 2k
的圖象必過一定點(diǎn)C ，則 AB ? BC 的最小值是()
13
4
2
6
3
13
2
2
【分析】先通過二次函數(shù)的解析式求得C 的坐標(biāo)，然后作C 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)C?(2, 2) ，連接 AC? ，交 x 軸于 B ，此時(shí)，
AB ? BC 的值最小，最小值為 AC? ．
【解答】解：二次函數(shù) y ? x2 ? (k ? 3)x ? 2k ? (x ? 2)(x ?1) ? (x ? 2)k ? 2 ? (x ? 2)(x ?1 ? k) ? 2 ，
?圖象必過一定點(diǎn)C(2, ?2) ，
?點(diǎn)C 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)C?(2, 2) ，
? A(?4, ?4) ，
(?4 ? 2)2 ? (?4 ? 2)2
2
? AC? ?? 6，
2
? AB ? BC 的最小值是6，
故選： C ．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對稱 ? 最小距離問題，正確求得C 的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分。）
11．（3 分）若方程 mx2 ? 3x ? 4 ? 3x2 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是 m ? 3 ．
【分析】一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：
未知數(shù)的最高次數(shù)是 2；
二次項(xiàng)系數(shù)不為 0．
由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．
【解答】解：把方程 mx2 ? 3x ? 4 ? 3x2 轉(zhuǎn)化成一般形式，(m ? 3)x2 ? 3x ? 4 ? 0 ，(m ? 3) 是二次項(xiàng)系數(shù)不能為 0，即 m ? 3 ? 0 ，得 m ? 3 ．
故答案為： m ? 3 ．
【點(diǎn)評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2 ? bx ? c ? 0 （且 a ? 0) ．特別要注意 a ? 0 的條件．這
是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．
12．（3 分）為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘中捕撈了 100 條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時(shí)間等有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈 300 條．若其中有標(biāo)記的魚有 15 條，則可估計(jì)池塘里有魚 2000 條．
【分析】用原做有標(biāo)記的魚的數(shù)量除以抽取樣本中標(biāo)記的魚的數(shù)量所占比例即可．
【解答】解：估計(jì)池塘里有魚100 ? 15
300
? 2000 （條) ，
故答案為：2000．
【點(diǎn)評】本題主要考查用樣本估計(jì)總體，一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表 性、容量越大，這時(shí)對總體的估計(jì)也就越精確．
3
13．（3 分）如圖，扇形 AOB 的圓心角為120? ，弦 AB ? 2
3
4? ?．
3
，則圖中陰影部分的面積是
【分析】過O 作OC ? BA 于 D ，交?O 于C ，求出?OAB ? 30? ，根據(jù)含30? 角的直角三角形的性質(zhì)得出OA ? 2OD ，根據(jù)勾股定理求出OD ，求出OA ，再分別求出扇形 AOB 和?AOB
的面積即可．
【解答】解：過O 作OC ? BA 于 D ，交?O 于C ，則?ADO ? 90? ，
3
? OC ? AB ， OC 過圓心O ， AB ? 2，
3
? AD ? BD ?，
? ?AOB ? 120? ， OA ? OB ，
??OAB ? ?OBA ? 1 (180? ? ?AOB) ? 30? ，
2
?OA ? 2OD ，
由勾股定理得： OA2 ? OD2 ? AD2 ，
?(2OD)2 ? OD2 ? ( 3)2 ，
解得： OD ? 1 （負(fù)數(shù)舍去），
? OA ? 2OD ? 2 ，
?陰影部分的面積 S ? S扇形AOB ? S?AOB
? 120?? 22 ? 1 ???
?3
2
3602
3
? 4? ?，
3
(2 1)
3
故答案為： 4? ?．
3
【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積計(jì)算，三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能把求 不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．
14．（3 分）已知?O 的直徑為8cm ，如果直線 AB 上的一點(diǎn)與圓心的距離為 4cm ，則直線 AB
與?O 的位置關(guān)系是 相切或相交 ．
【分析】分OM ? AB 、OM 與 AB 不垂直兩種情況，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系判斷即可．
【解答】解：設(shè)直線 AB 上與圓心的距離為 4cm 的點(diǎn)為 M ， 當(dāng)OM ? AB 時(shí)， OM ? ?O 的半徑，
?直線 AB 與?O 相切，
當(dāng)OM 與 AB 不垂直時(shí)，圓心O 到直線 AB 的距離小于OM ，
?圓心O 到直線 AB 的距離小于?O 的半徑，
?直線 AB 與?O 相交，
綜上所述：直線 AB 與?O 的位置關(guān)系是相切或相交， 故答案為：相切或相交．
【點(diǎn)評】本題考查的是直線和圓的位置關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)?O 的半徑為 r ， 圓心 O 到直線l 的距離為 d ．①直線l 和?O 相交? d ? r ②直線l 和?O 相切? d ? r ③直線l 和?O 相離? d ? r ．
15．（3 分）已知二次函數(shù) y ? ?x2 ? bx ? c 與一次函數(shù) y ? mx ? n 的圖象相交于點(diǎn) A(?2, 4) 和
點(diǎn) B(6, ?2) ，則不等式?x2 ? bx ? c ? mx ? n 的解集是?2 ? x ? 6 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的 x 的取值范圍即可．
【解答】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖象如圖，
觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)?2 ? x ? 6 時(shí)，拋物線在直線的上方，即?x2 ? bx ? c ? mx ? n ，
?不等式?x2 ? bx ? c ? mx ? n 的解集是?2 ? x ? 6 ． 故答案為?2 ? x ? 6 ．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用函數(shù)圖象判定兩函數(shù)的大小關(guān)系， 此題型是中考中考查重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．
16．（3 分）如圖，已知Rt?ABC 中， ?ABC ? 90? ， ?ACB ? 30? ，斜邊 AC ? 4 ，點(diǎn) P 是三
7
角形內(nèi)的一動點(diǎn)，則 PA ? PB ? PC 的最小值是2．
【分析】將?BPC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60? ，得到?BHG ，連接 PH ， AG ，過點(diǎn)G 作 AB 的垂線，交 AB 的延長線于 N ，可證 PA ? PB ? PC ? PA ? PH ? HG ，則當(dāng)點(diǎn) A ，點(diǎn) P ，點(diǎn) H ， 點(diǎn)G 共線時(shí)， PA ? PH ? HG 有最小值，最小值為 AG ，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，將 ?BPC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60? ，得到 ?BHG ，連接 PH ， AG ，過點(diǎn)G 作 AB 的垂線，交 AB 的延長線于 N ，
??ABC ? 90? ， ?ACB ? 30? ， AC ? 4 ，
3
? AB ? 2 ， BC ? 2，
?將?BPC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60? ，得到?BHG ，
??BPC ? ?BHG ，
3
? BP ? BH ， ?PBH ? 60? ， HG ? PC ， BC ? BG ? 2， ?PBC ? ?GBN ，
??PBH 是等邊三角形，
? PH ? BP ，
? PA ? PB ? PC ? PA ? PH ? HG ，
?當(dāng)點(diǎn) A ，點(diǎn) P ，點(diǎn) H ，點(diǎn)G 共線時(shí)， PA ? PH ? HG 有最小值，最小值為 AG ，
??ABP ? ?PBH ? ?GBH ? ?ABP ? ?PBC ? ?PBH ? 150? ，
??ABG ? 150? ，
??GBN ? 30? ，
? GN ? AB ，
3
?GN ? 1 BG ?， BN ?
2
? AN ? 5 ，
3NG ? 3 ，
AN 2 ? NG2
25 ? 3
7
? AG ??? 2，
7
? PA ? PB ? PC 的最小值是 2，
7
故答案為： 2．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性
質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬
于中考壓軸題．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟。）
17．（4 分）解方程： (x ? 3)2 ? 2x(x ? 3) ? 0 ．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解： (x ? 3)(x ? 3 ? 2x) ? 0 ，
x ? 3 ? 0 或 x ? 3 ? 2x ? 0 ， 所以 x1 ? ?3 ， x2 ? 3 ．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程? 因式分解法：就是先把方程的右邊化為 0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為 0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化 為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
18．（4 分）如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ，E 為 BC 延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C 為 B?D 的中點(diǎn)．若
?DCE ? 110? ，求?BAC 的度數(shù)．
【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得?BAD ，然后根據(jù)等弧對等角求得答案即可．
【解答】解：?四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ， ?DCE ? 110? ，
??BAD ? ?DCE ? 110? ，
?點(diǎn)C 為 B?D 的中點(diǎn)，
??BAC ? ?DAC ? 1 ?BAD ? 55? ．
2
【點(diǎn)評】考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi) 對角，難度不大．
19．（6 分）如圖，已知?ABC 中， BD 是中線．
尺規(guī)作圖：作出以 D 為對稱中心，與?BCD 成中心對稱的?EAD ．
猜想 AB ? BC 與2BD 的大小關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系解決問題即可．
【解答】解：（1）如圖， ?ADE 即為所求．
（2）結(jié)論： AB ? BC ? 2BD ． 理由：在?ADE 和?CDB 中，
?DA ? DC
?
??ADE ? ?CDB ，
?
?DE ? DB
??ADE ? ?CDB(SAS ) ，
? AE ? BC ，
? AB ? AE ? BE ，
? AB ? BC ? 2BD ．
【點(diǎn)評】本題考查作圖? 旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識， 解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
20．（6 分）如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內(nèi)，與水平橋相交于 A ， B 兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C 到 AB 的距離為9m ， AB ? 36m ， D ， E 為拱橋底部的兩點(diǎn)， DE / / AB ．
以C 為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，求出此時(shí)拋物線的解析式．（忽
略自變量取值范圍）
若 DE ? 48m ，求 E 點(diǎn)到直線 AB 的距離．
【分析】（1）根據(jù)建立的坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）把 x ? 24 代入（1）中解析式求出 y 的值，再求 EF 即可．
【解答】解：（1）由題意建立如圖所示坐標(biāo)系：
? AB ? 36m ， CH ? 9m ，
? B(18, ?9) ，
設(shè)拋物線解析式為 y ? ax2 ，
把點(diǎn) B 坐標(biāo)代入拋物線解析式得： ?9 ? 324a ，
解得： a ? ? 1 ，
36
?拋物線解析式為 y ? ? 1
36
x2 ；
（2）? DE ? 48 ，
?當(dāng) x ? 24 時(shí)， y ? ? 1 ? 242 ? ?16 ，
36
? EF ? ?9 ? (?16) ? ?9 ? 16 ? 7 ，
? E 點(diǎn)到直線 AB 的距離7m ．
標(biāo)號
1
2
3
4
次數(shù)
16
14
20
10
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題是建立平面直角坐標(biāo)系求函數(shù)解析式． 21．（8 分）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為 1，2，3，4，小明隨機(jī)從口袋中摸取一個(gè)小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個(gè)小球，又放 回．小明摸取了 60 次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：
上述試驗(yàn)中，小明摸取到“2”號小球的頻率是7
30
；小明下一次在袋中摸取小球，
摸到“2”號小球的概率是；
若小明隨機(jī)從口袋中摸取一個(gè)小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個(gè)小 球，請用列舉法求小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的概率．
若小明一次在袋中摸出兩個(gè)小球，求小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號的和為 5 的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有 16 種等可能的結(jié)果，其中小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的結(jié)果有 4
種，再由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有 12 種等可能的結(jié)果，小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號的和為 5 的結(jié)果有 4 種，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由圖表中數(shù)據(jù)，小明摸取到“2”號小球的頻率是： 14 ? 7 ，
小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”號小球的概率是： 1 ，
4
6030
故答案為： 7
30
， 1 ；
4
畫樹狀圖如下：
共有 16 種等可能的結(jié)果，其中小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的結(jié)果有 4 種，
?小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的概率為 4 ? 1 ；
164
畫樹狀圖如下：
共有 12 種等可能的結(jié)果，小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號的和為 5 的結(jié)果有 4 種，
?小明摸出兩個(gè)小球標(biāo)號的和為 5 的概率為 4 ? 1 ．
123
【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法求概率．正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點(diǎn)為：概 率? 所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22．（10 分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的?O 半徑為 3．
試判斷點(diǎn) A(3,3) 與?O 的位置關(guān)系，并加以說明．
若直線 y ? x ? b 與?O 相交，求b 的取值范圍．
若直線 y ? x ? 3 與?O 相交于點(diǎn) A ， B ．點(diǎn) P 是 x 軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，以 A ， B ，
P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
【分析】（1）計(jì)算OA 與半徑 3 進(jìn)行比較即可；
當(dāng)直線 y ? x ? b 與?O 相切于點(diǎn)C 時(shí)，求出OB 的長度，即可得出相交時(shí)b 的范圍；
首先得出 A(0, 3) ， B(?3, 0) ，分 AB ? AP ， BA ? BP ， PA ? PB 三種情形，分別計(jì)算即可．
【解答】解：（1）? A(3, 3) ，
2
?OA ? 3，
2
?3? 3 ，
?點(diǎn) A 在?O 外；
如圖，當(dāng)直線 y ? x ? b 與?O 相切于點(diǎn)C 時(shí)，連接OC ， 則OC ? 3 ，
??CBO ? 45? ，
2
?OB ? 3，
2
2
?直線 y ? x ? b 與?O 相交時(shí)， ?3? b ? 3；
?直線 y ? x ? 3 與?O 相交于點(diǎn) A ， B ．
? A(0, 3) ， B(?3, 0) ，
2
? AB ? 3，
2
當(dāng) BA ? BP ? 3時(shí)，
2
? P1 (?3 ? 3
， 0) ， P2 (?3 ? 3
， 0) ，
2
當(dāng) AB ? AP 時(shí)，
? AO ? x 軸，
? BO ? OP ，
? P3 (3, 0) ，
當(dāng) PB ? PA 時(shí)，點(diǎn) P 與O 重合，
? P4 (0, 0) ，
2
?點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(?3 ? 3
， 0) 或(?3 ? 3
， 0) 或(3, 0) 或(0, 0) ．
2
【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，等腰三 角形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．
23．（10 分）已知關(guān)于 x 的方程 ax2 ? (2a ?1)x ? a ? 2 ? 0 ．
若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 a 的取值范圍．
若 x ? 2 是方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根．
在（1）的條件下，試判斷直線 y ? (2a ? 3)x ? a ? 5 能否過點(diǎn) A(?1, 3) ，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于 0，求出 a 的范圍即可；
把 x ? 2 代入方程求出 a 的值，進(jìn)而求出另一根即可；
把 A 坐標(biāo)代入直線解析式求出 a 的值，根據(jù)（1）的范圍判斷即可．
【解答】解：（1）?關(guān)于 x 的方程 ax2 ? (2a ?1)x ? a ? 2 ? 0 ，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
? a ? 0 ， (2a ? 1)2 ? 4a(a ? 2)?0 ，
整理得： 4a2 ? 4a ? 1 ? 4a2 ? 8a?0 ，即12a??1， 解得： a? ? 1 且 a ? 0 ；
12
（2）把 x ? 2 代入方程得： 4a ? 2(2a ? 1) ? a ? 2 ? 0 ， 去括號得： 4a ? 4a ? 2 ? a ? 2 ? 0 ，
解得： a ? 4 ，
方程為 4x2 ? 9x ? 2 ? 0 ，
設(shè)另一根為 m ，則有 2m ? 2 ， 解得： m ? 1，
?兩根之積為 1 ，一根為 2，
2
?另一根為 1 ；
4
（3）把 A(?1, 3) 代入直線解析式得： 3 ? ?(2a ? 3) ? a ? 5 ， 去括號得： 3 ? ?2a ? 3 ? a ? 5 ，
移項(xiàng)合并得： 3a ? 5 ，
解得： a ? 5 ，
3
經(jīng)檢驗(yàn)： a ? 5 滿足（1）中的范圍，
3
則直線 y ? (2a ? 3)x ? a ? 5 過點(diǎn) A(?1, 3) ，此時(shí) a ? 5 ．
3
【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程的解，以及一次函數(shù)圖象 上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
24．（12 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程? 1 x2 ? ax ? a ? 3 ? 0 ．
2
求證：無論 a 為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
如圖，若拋物線 y ? ? 1 x2 ? ax ? a ? 3 與 x 軸交于點(diǎn) A(?2, 0) 和點(diǎn) B ，與 y 軸交于點(diǎn)C ，
2
連結(jié) BC ， BC 與對稱軸交于點(diǎn) D ．
①求拋物線的解析式及點(diǎn) B 的坐標(biāo)；
②若點(diǎn) P 是拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P 位于直線 BC 的上方，連接 PC ，PD ，過點(diǎn) P 作 PN ? x
軸，交 BC 于點(diǎn) M ，求?PCD 的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
【分析】（1）令 y ? 0 ，得到一元二次方程，說明方程的判別式△ ? 0 即可；
（2）①利用待定系數(shù)法將點(diǎn) A 坐標(biāo)代入解析式求得 a 值即可求出二次函數(shù)的解析式；令
y ? 0 ，解一元二次方程? 1 x2 ? x ? 4 ? 0 即可得出結(jié)論；
2
② 設(shè)點(diǎn) P(x ， 1 x2 ? x ? 4)(0 ? x ? 4) ， 則線段 ON ， PN ， NE 的長度可得， 利用
2
S?PCD ? S四邊形OCPN ? S四邊形OCDE ? S四邊形DENP ，得到 S?PCD 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法即可求得?PCD 的面積的最大值，利用此時(shí)的 x 的值即可求得點(diǎn) P 坐標(biāo)．
【解答】（1）證明：?關(guān)于 x 的一元二次方程? 1 x2 ? ax ? a ? 3 ? 0 ，
2
?△ ? a2 ? 4 ? (? 1 ) ? (a ? 3) ? a2 ? 2a ? 6 ? (a ? 1)2 ? 5 ，
2
?(a ?1)2?0 ，
?△ ? (a ?1)2 ? 5?5 ，
?△ ? 0 ，
?無論 a 為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：①?拋物線 y ? ? 1 x2 ? ax ? a ? 3 與 x 軸交于點(diǎn) A(?2, 0) ，
2
?? 1 ? (?2)2 ? 2a ? a ? 3 ? 0 ，
2
解得： a ? 1，
? y ? ? 1 x2 ? x ? 4 ，
2
令 y ? 0 ，則? 1 x2 ? x ? 4 ? 0 ，
2
解得： x1 ? ?2 ， x2 ? 4 ，
?拋物線與 x 軸的交點(diǎn)為(?2, 0) 和(4, 0) ，
? A(?2, 0) ，
? B(4, 0) ，
?拋物線的解析式為 y ? ? 1 x2 ? x ? 4 ， B 點(diǎn)坐標(biāo)為(4, 0) ；
2
②由（2）知，拋物線解析式為 y ? ? 1 x2 ? x ? 4 ，
2
?對稱軸為 x ? ?
1
2 ? (? 1)
2
? 1 ，
令 x ? 0 ，則 y ? 4 ，
?C(0, 4) ，
設(shè)直線 BC 的解析式為 y ? kx ? b ，
? B(4, 0) ， C(0, 4) ，
?b ? 4
則?4k ? b ? 0 ，
?
?b ? 4
解得： ?k ? ?1 ，
?
?直線 BC 的解析式為 y ? ?x ? 4 ，
? D(1, 3) ，
設(shè)拋物線的對稱軸于 x 軸交于點(diǎn) E ，如圖，
?OE ? 1， DE ? 3 ．
? C(0, 4) ，
? OC ? 4
設(shè)點(diǎn) P(x ， 1 x2 ? x ? 4)(0 ? x ? 4) ，
2
?ON ? x ， PN ? ? 1 x2 ? x ? 4 ，
2
? EN ? ON ? OE ? x ? 1，
? S?PCD ? S四邊形OCPN ? S四邊形OCDE ? S四邊形DENP
? 1 (OC ? PN ) ? ON ? 1 (OC ? DE) ? OE ? 1 (DE ? PN ) ? EN
222
? 1 (4 ? 1 x2 ? x ? 4) ? x ? 1 (4 ? 3) ?1 ? 1 (3 ? 1 x2 ? x ? 4)(x ? 1)
22222
? ? 1 x2 ? x
4
? ? 1 (x ? 2)2 ? 1 ，
4
?? 1 ? 0 ，
4
?當(dāng) x ? 2 時(shí)， S?PCD 有最大值 1． 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, 4) ．
【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與 x 軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法，配方法確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
一元二次方程根的判別式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象 上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，梯形的面積，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
25．（12 分）已知：如圖①， AD 為?O 的直徑，點(diǎn) A 為優(yōu)弧 B?C 的中點(diǎn)，延長 BO 交 AC 于點(diǎn) E ．
求證： ?BAC ? 2?ABE ；
若?BCE 是等腰三角形時(shí)，求?BCE 的度數(shù)；
如圖②，若弦 BC 垂直平分半徑OD ，連接 DE 交 BC 于點(diǎn) F ， DF ? a ， EF ? k ? DF ，
S?BEF ? 1 ， M 、N 、P 分別為直線 BD 、BF 、DF 上的三個(gè)動點(diǎn)，求?MNP 周長的最小值．
【分析】（1）可證得點(diǎn) D 是 B?C 的中點(diǎn)，所以?BAC ? 2?BAD ，而?BAD ? ?ABE ，進(jìn)而命題得證；
設(shè)?ABE ? x ，則?BAC ? 2x ，當(dāng) BE ? BC 時(shí)，表示出?BEC ? ?ABE ? ?BAC ? 3x ， 進(jìn)而?ABC ? ?C ? 3x ，在?ABC 中，由三角形內(nèi)角和定理可求得結(jié)果，當(dāng) BC ? BE 時(shí)，同樣方法求得結(jié)果；
作 BP ? DE 于 P ．作 FM ? BD 于 M ， AD 與 BF 交于 N ，則?MNP 的周長最小，作點(diǎn) P 關(guān)于 BF 的對稱點(diǎn) P? ， P 點(diǎn)關(guān)于 BD 的對稱點(diǎn) P?? ，連接 P?P?? ，先求出?CBD ? 30? ， 進(jìn)而可得出△ P??BP? 是等邊三角形，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【解答】（1）證明：? OA ? OB ，
??BAD ? ?ABE ，
?點(diǎn) A 為優(yōu)弧 B?C 的中點(diǎn)， AD 是直徑，
?點(diǎn) D 是 B?C 的中點(diǎn)，
??BAC ? 2?BAD ，
??BAC ? 2?ABE ；
解：設(shè)?ABE ? x ，則?BAC ? 2x ， 當(dāng) BE ? BC 時(shí)， ?ABC ? ?C ? ?BEC ，
??BEC ? ?ABE ? ?BAC ? 3x ，
??ABC ? ?C ? 3x ，
在?ABC 中，由三角形內(nèi)角和定理得，
2x ? 3x ? 3x ? 180? ，
? x ? 22.5? ，
??BCE ? 3x ? 67.5? ， 當(dāng) BC ? BE 時(shí)，
?CBE ? ?BEC ? 3x ，
??C ? ?ABC ? ?ABE ? ?CBE ? 4x ，
? 2x ? 4x ? 4x ? 180? ，
? x ? 18? ，
??BCE ? 4x ? 72? ，
綜上所述： ?BEC ? 67.5? 或72? ；
解：如圖，
作 BP ? DE 于 P ．作 FM ? BD 于 M ， AD 與 BF 交于 N ，則?MNP 的周長最小， 作點(diǎn) P 關(guān)于 BF 的對稱點(diǎn) P? ， P 點(diǎn)關(guān)于 BD 的對稱點(diǎn) P?? ，連接 P?P?? ，
? BP? ? BP ? BP?? ， ?P?BC ? ?NBP ， ???PBD ? ?PBD ，
??P?BP?? ? 2?CBD ，
? BC 垂直平分OD ，
?OD ? OB ? BD ，
??ADB ? 60? ，
? ?AB ? A?B ，
??C ? ?ADB ? 60? ，
? ?AB ? ?AC ，
? AB ? AC ，
??ABC 是等邊三角形，
??DAC ? ?BAD ? 1 ?BAC ? 30? ，
2
? D?C ? D?C ，
??CBD ? ?DAC ? 30? ，
??P?BP?? ? 60? ，
?△ BP?P?? 是等邊三角形，
? P?P?? ? BP? ? BP ，
? MN ? PN ? PM ?
? EF ? k ? DF ， S?BEF ? 1 ，
? S?BDF
? 1 ，
k
? 1 DF ? BP ? 1 ，
2k
即： 1 a ? BP ? 1 ，
2k
? BP ? 2 ，
ak
??MNP 的周長最小值是： 2 ．
ak
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理的推論，圓周角定 理等知識，解決問題的關(guān)鍵熟悉“垂足三角形”的周長最小．

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