x
有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1．（3 分）點(diǎn)(3, ?2) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是(
)
A． (?3, 2)B． ( 3， 2)
C． ( 2， ?3)
D． ( 2， 3)
2．（3 分）下列方程中，是一元二次方程的是(
A． (x ? 3)2 ? 25 ? 0B． xy ? 1 ? 0
)
C． x2 ? y3 ? 2 ? 0
D． x ? 2x2 ? 1
3．（3 分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是()
x
A．正五邊形B．平行四邊形C．等腰梯形D．半圓4．（3 分）下列函數(shù)關(guān)系式中， y 是 x 的反比例函數(shù)的是()
y ? 1
x2
xy ? 64
y ? 5x ? 6
? 1
y
5．（3 分）如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)分成 3 個(gè)大小相同的扇形，標(biāo)號(hào)分別為Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ，三個(gè)數(shù)字．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形）．指針指向扇形Ⅰ的概率是()
1
3
1
4
1
6
1
2
6．（3 分）如果在反比例函數(shù) y ? 2t ? 1 圖象的每一支上， y 隨 x 的增大而增大，那么t 的取
x
值范圍是()
t ? 1
2
t? 1
2
t ? 1
2
t? 1
2
7．（3 分）如圖，PA 、PB 是?O 的切線， A 、B 為切點(diǎn)， AC 是圓的直徑，若?CAB ? 25? ，則?P 的度數(shù)為()
A． 50?B． 65?C． 25?D． 75?
8．（3 分）方程 x2 ? 4x ? 9 ? 0 的根的情況是()
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根9．（3 分）圓錐的底面直徑是 8，母線長(zhǎng)是 9，則該圓錐的全面積為()
A． 36?B． 52?C．100?D．136? 10．（3 分）下列關(guān)于拋物線 y ? 3x ? 2x2 ? 1 的說(shuō)法中，正確的是( )
開(kāi)口向上B．必過(guò)點(diǎn)(1, 0)
C．對(duì)稱軸為 x ? 3
4
D．與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分.）
11．（3 分）已知一個(gè)等邊三角形三條角平分線的交點(diǎn)為O ，把這個(gè)三角形繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合．（填寫(xiě)小于180? 的度數(shù)）
12．（3 分）已知函數(shù) y ? x2 ? 2x ，當(dāng) x ? a 時(shí)，記函數(shù)值 y 為 f （a），則 f (?10) f (?1)（填寫(xiě)“ ? ”“ ? ”或“ ? ” ) ．
13．（3 分）如圖，?O 的直徑是 AB 為10cm ，弦 AC 為6cm ，?ACB 的平分線交?O 于點(diǎn) D ，
則 BC ? AD ?cm ．
14．（3 分）方程 x2 ? 3x ? 2 ? 10 兩個(gè)根的和為 a ，兩個(gè)根的積為b ，則 a ? b ? ．
15．（3 分）為了估計(jì)箱子中白球的個(gè)數(shù)，在該箱再放入 10 個(gè)紅球（紅球與白球除顏色不同以外，其他均相同），攪勻后，從箱子中摸出 15 個(gè)球．如果在這 15 個(gè)球中有 2 個(gè)是紅球，那么估計(jì)箱子中白球的個(gè)數(shù)為 個(gè)．
16．（3 分）點(diǎn) A 是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 AB ? x 軸，垂足為點(diǎn)
B ， ?OAB 的面積是 1，則下列結(jié)論中，正確的是 （填序號(hào)）．
①此反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1) ；
②此反比例函數(shù)的解析式為 y ? 2 ；
x
③若點(diǎn)(a,b) 在此反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)(?a, ?b) 也在此反比例函數(shù)圖象上；
④點(diǎn) A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 在此反比例函數(shù)的圖象上且 x1 ? x2 ? 0 ，則 y1 ? y2 ．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（4 分）尺規(guī)作圖：
如圖，已知?ABC ．作邊 BC 關(guān)于點(diǎn) A 對(duì)稱的圖形．（保留作圖痕跡，但不要求寫(xiě)作法）
18．（4 分）求二次函數(shù) y ? x2 ? 3x ?10 的最小值，并寫(xiě)出當(dāng)自變量 x 取何值時(shí)， y 取得最小值．
19．（6 分）解下列方程：
（1） (x ? 3)2 ? 1；（2） x2 ? 2x ? 3 ? 0 ．
19．（6 分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流 I （單位： A) 與電阻 R （單位：
?) 是反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng) R ? 9? 時(shí)， I ? 4 A ，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．
21．（8 分）如圖， AB ， CD 是?O 的兩條弦， AB ? CD ， OE ? CD ， OF ? AB ，垂足分別為 E ， F ．比較CE 和 AF 的大小，并證明你的結(jié)論．
22．（10 分）線上教學(xué)的師生，可采用的方式包括：①連麥問(wèn)答；②視頻對(duì)話；③不定時(shí)簽到；④投票；⑤選擇題推送等．為了解學(xué)生最喜愛(ài)的方式，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查， 將調(diào)查結(jié)果繪制成兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖 1 和圖 2 :
本次隨機(jī)抽查的學(xué)生人數(shù)為人，補(bǔ)全圖 2；
參加線上教學(xué)的學(xué)生共有 6000 名，可估計(jì)出其中最喜愛(ài)“①連麥問(wèn)答”的學(xué)生人數(shù)為人，圖 1 中扇形①的圓心角度數(shù)為度；
若在“①，②，③，④”四種方式中隨機(jī)選取兩種作為重點(diǎn)交互方式，請(qǐng)用列表或畫(huà) 樹(shù)狀圖的方法，求恰好選中“②，③”這兩種方式的概率．
23．（10 分）一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽兩場(chǎng)），共要比賽 90 場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？
24．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? 2x ? m ．
若 m ? ?3 ，求該拋物線與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
判斷該拋物線與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
若?2 ? x ? 1時(shí)，該拋物線與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求 m 的取值范圍．
25．（12 分）如圖，已知正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為 2，點(diǎn)O 是 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EO ? 1．
連接 BE ， CE ，求?BEC 的度數(shù)；
連接 DE ，若?DEO ? 90? ，求 BE 的長(zhǎng)度；
將線段 DE 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 后，得到線段 DF ，連接CF ，線段CF 長(zhǎng)是否存在最小值，若無(wú)，說(shuō)明理由；若有，求出這個(gè)最小值．
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1．（3 分）點(diǎn)(3, ?2) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是()
A． (?3, 2)
B． ( 3， 2)C． ( 2， ?3)
D． ( 2， 3)
【解答】解：點(diǎn)(3, ?2) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(?3, 2) ， 故選： A ．
2．（3 分）下列方程中，是一元二次方程的是()
A． (x ? 3)2 ? 25 ? 0
xy ? 1 ? 0
C． x2 ? y3 ? 2 ? 0
D． x ? 2x2 ? 1
x
【解答】解： A 、(x ? 3)2 ? 25 ? 0 ，是一元二次方程，故符合題意；
B 、 xy ? 1 ? 0 ，含有兩個(gè)未知數(shù)，故不符合題意；
C 、 x2 ? y3 ? 2 ? 0 ，含有兩個(gè)未知數(shù)，故不符合題意；
D 、 x ? 2x2 ? 1 ，不是整式方程，故不符合題意；
x
故選： A ．
3．（3 分）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是()
A．正五邊形B．平行四邊形C．等腰梯形D．半圓
【解答】解：中心對(duì)稱圖形，即把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180? 后能和原來(lái)的圖形重合， A 、
C 、 D 都是軸對(duì)稱圖形不符合要求； 是中心對(duì)稱圖形的只有 B ．
故選： B ．
4．（3 分）下列函數(shù)關(guān)系式中， y 是 x 的反比例函數(shù)的是()
y ? 1
x2
xy ? 64
y ? 5x ? 6
? 1
x
y
【解答】解： A 、該函數(shù)不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B 、該函數(shù)是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
C 、該函數(shù)是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
D 、該函數(shù)不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意． 故選： B ．
5．（3 分）如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)分成 3 個(gè)大小相同的扇形，標(biāo)號(hào)分別為Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ，三個(gè)數(shù)字．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€(gè)扇形的交線時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形）．指針指向扇形Ⅰ的概率是()
1
3
1
4
1
6
1
2
【解答】解：?轉(zhuǎn)盤(pán)分成 3 個(gè)大小相同的扇形，標(biāo)號(hào)分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三個(gè)數(shù)字，
1
?指針指向扇形Ⅰ的概率是 ．
3
故選： A ．
6．（3 分）如果在反比例函數(shù) y ? 2t ? 1 圖象的每一支上， y 隨 x 的增大而增大，那么t 的取
x
值范圍是()
t ? 1
2
t? 1
2
t ? 1
2
t? 1
2
【解答】解：?在反比例函數(shù) y ? 2t ? 1 圖象的每一支上， y 隨 x 的增大而增大，
x
? 2t ? 1 ? 0 ，
?t ? 1 ．
2
故選： C ．
7．（3 分）如圖，PA 、PB 是?O 的切線， A 、B 為切點(diǎn)， AC 是圓的直徑，若?CAB ? 25? ，則?P 的度數(shù)為()
A． 50?B． 65?C． 25?D． 75?
【解答】解：? PA 、 PB 是?O 的切線， A 、 B 為切點(diǎn)，
? PA ? PB ， CA ? PA ，
??PAB ? ?PBA ， ?CAP ? 90? ，
??PAB ? 90? ? ?CAB ? 90? ? 25? ? 65? ，
??PBA ? 65? ，
??P ? 180? ? 65? ? 65? ? 50? ． 故選： A ．
8．（3 分）方程 x2 ? 4x ? 9 ? 0 的根的情況是()
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【解答】解：? a ? 1 ， b ? ?4 ， c ? 9 ，
?△ ? b2 ? 4ac ? 16 ? 36 ? ?20 ，
?△ ? 0 ，
?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 故選： A ．
9．（3 分）圓錐的底面直徑是 8，母線長(zhǎng)是 9，則該圓錐的全面積為()
A． 36?B． 52?C．100?D．136?
【解答】解：圓錐的全面積? 圓錐的側(cè)面積? 底面圓的面積
2
? 1 ? 8?? 9 ? ?? ( 8 )
22
? 36?? 16?
? 52?， 故選： B ．
10．（3 分）下列關(guān)于拋物線 y ? 3x ? 2x2 ? 1 的說(shuō)法中，正確的是()
A．開(kāi)口向上B．必過(guò)點(diǎn)(1, 0)
C．對(duì)稱軸為 x ? 3
4
D．與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)
【解答】解：?拋物線 y ? 3x ? 2x2 ? 1 ? ?2x2 ? 3x ? 1，
?該拋物線開(kāi)口向下，故選項(xiàng) A 錯(cuò)誤，不符合題意； 當(dāng) x ? 1 時(shí)， y ? 2 ，故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤，不符合題意；
對(duì)稱軸為直線 x ? ?3? 3 ，故選項(xiàng)C 正確，符合題意；
2 ? (?2)4
當(dāng) y ? 0 時(shí)， x1
? 3 ?
4
17 ， x
? 3 ?
4
17 ，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤，不符合題意；
2
故選： C ．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分.）
11．（3 分）已知一個(gè)等邊三角形三條角平分線的交點(diǎn)為O ，把這個(gè)三角形繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120? 后，所得圖形與原來(lái)的圖形重合．（填寫(xiě)小于180? 的度數(shù)）
【解答】解：根據(jù)題意知， O 為等邊三角形的對(duì)稱中心，即把這個(gè)三角形繞點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120? ，所得圖形與原來(lái)的圖形重合，
故答案為：120? ．
12．（3 分）已知函數(shù) y ? x2 ? 2x ，當(dāng) x ? a 時(shí)，記函數(shù)值 y 為 f （a），則 f (?10) ? f (?1)
（填寫(xiě)“ ? ”“ ? ”或“ ? ” ) ．
【解答】解：由題意知： f (?10) ? (?10)2 ? 2 ? (?10) ? 120 ， f (?1) ? (?1)2 ? 2 ? (?1) ? 3 ，
?120 ? 3 ，
? f (?10) ? f (?1) ． 故答案為： ? ．
13．（3 分）如圖，?O 的直徑是 AB 為10cm ，弦 AC 為6cm ，?ACB 的平分線交?O 于點(diǎn) D ，
則 BC ? AD ?(8 ? 5 2)cm ．
【解答】解：? AB 是直徑，
??ACB ? ?ADB ? 90? ，
? AB ? 10cm ， AC ? 6cm ，
AB2 ? AC 2
102 ? 62
? BC ??? 8(cm) ，
? CD 平分?ACD ，
? ?AD ? B?D ，
? AD ? BD ?
2 AB ? 5 2(cm) ，
2
? BC ? AD ? (8 ? 5 2)(cm) ．
故答案為： (8 ? 5 2) ．
14．（3 分）方程 x2 ? 3x ? 2 ? 10 兩個(gè)根的和為 a ，兩個(gè)根的積為b ，則 a ? b ? 11．
【解答】解：? x2 ? 3x ? 2 ? 10 ，
? x2 ? 3x ? 8 ? 0 ，
?方程 x2 ? 3x ? 2 ? 10 兩個(gè)根的和為 a ，兩個(gè)根的積為b ，
? a ? 3 ， b ? ?8 ，
? a ? b
? 3 ? (?8)
? 3 ? 8
? 11 ，
故答案為：11．
15．（3 分）為了估計(jì)箱子中白球的個(gè)數(shù)，在該箱再放入 10 個(gè)紅球（紅球與白球除顏色不同以外，其他均相同），攪勻后，從箱子中摸出 15 個(gè)球．如果在這 15 個(gè)球中有 2 個(gè)是紅球，那么估計(jì)箱子中白球的個(gè)數(shù)為 65 個(gè)．
【解答】解：設(shè)箱子中白球的個(gè)數(shù)為 x ，根據(jù)題意得：
x? 15 ? 2 ，
x ? 1015
解得 x ? 65 ，
經(jīng)檢驗(yàn) x ? 65 是原方程的解，
答：估計(jì)箱子中紅球的數(shù)量為 65 個(gè)； 故答案為：65．
16．（3 分）點(diǎn) A 是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 AB ? x 軸，垂足為點(diǎn)
B ， ?OAB 的面積是 1，則下列結(jié)論中，正確的是 ②③ （填序號(hào)）．
①此反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1) ；
②此反比例函數(shù)的解析式為 y ? 2 ；
x
③若點(diǎn)(a,b) 在此反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)(?a, ?b) 也在此反比例函數(shù)圖象上；
④點(diǎn) A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 在此反比例函數(shù)的圖象上且 x1 ? x2 ? 0 ，則 y1 ? y2 ．
【解答】解：根據(jù)題意可得，
| k |? 2S?OAB ? 2 ?1 ? 2 ，
?反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)，
? k ? 0 ，
? k ? 2 ，
?反比例函數(shù)的解析式為 y ? 2 ，
x
故結(jié)論②正確；
1?1 ? 1 ? 2 ，故結(jié)論①錯(cuò)誤；
若點(diǎn)(a,b) 在此反比例函數(shù)圖象上，則 ab ? 2 ，
?a ? (?b) ? ab ? 2 ， 故結(jié)論③正確；
結(jié)合函數(shù)圖象特點(diǎn)，
x1 ? x2 ? 0 時(shí)，
y1 ? y2 ，
故結(jié)論④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確結(jié)論為②③． 故答案為：②③．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17．（4 分）尺規(guī)作圖：
如圖，已知?ABC ．作邊 BC 關(guān)于點(diǎn) A 對(duì)稱的圖形．（保留作圖痕跡，但不要求寫(xiě)作法）
【解答】解：如圖， DE 為所作．
18．（4 分）求二次函數(shù) y ? x2 ? 3x ?10 的最小值，并寫(xiě)出當(dāng)自變量 x 取何值時(shí)， y 取得最小
值．
【解答】解：? y ? x2 ? 3x ? 10 ? (x ? 3)2 ? 31 ，
24
?該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( 3 ， 31) ，且開(kāi)口方向向上，
24
?當(dāng) x ? 3 時(shí)， y 取得最小值，最小值為 31 ．
24
19．（6 分）解下列方程：
（1） (x ? 3)2 ? 1；
（2） x2 ? 2x ? 3 ? 0 ．
【解答】解：（1） (x ? 3)2 ? 1，
x ? 3 ? ?1，
所以 x1 ? 2 ， x2 ? 4 ；
（2） x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，
(x ? 3)(x ?1) ? 0 ，
x ? 3 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ， 所以 x1 ? ?3 ， x2 ? 1 ．
20．（6 分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流 I （單位： A) 與電阻 R （單位：
?) 是反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng) R ? 9? 時(shí)， I ? 4 A ，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．
【解答】解：設(shè) I ? k ，
R
?當(dāng) R ? 9? 時(shí)， I ? 4 A ，
? 4 ? k ，
9
解得 k ? 36 ，
即這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是 I ? 36 ．
R
21．（8 分）如圖， AB ， CD 是?O 的兩條弦， AB ? CD ， OE ? CD ， OF ? AB ，垂足分別為 E ， F ．比較CE 和 AF 的大小，并證明你的結(jié)論．
【解答】解： CE ? AF ，理由如下：
? OE ? CD ，
?CE ? 1 CD ，
2
? OF ? AB ，
? AF ? 1 AB ，
2
? AB ? CD ，
?CE ? AF ．
22．（10 分）線上教學(xué)的師生，可采用的方式包括：①連麥問(wèn)答；②視頻對(duì)話；③不定時(shí)簽到；④投票；⑤選擇題推送等．為了解學(xué)生最喜愛(ài)的方式，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查， 將調(diào)查結(jié)果繪制成兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖 1 和圖 2 :
本次隨機(jī)抽查的學(xué)生人數(shù)為 400人，補(bǔ)全圖 2；
參加線上教學(xué)的學(xué)生共有 6000 名，可估計(jì)出其中最喜愛(ài)“①連麥問(wèn)答”的學(xué)生人數(shù)為人，圖 1 中扇形①的圓心角度數(shù)為度；
若在“①，②，③，④”四種方式中隨機(jī)選取兩種作為重點(diǎn)交互方式，請(qǐng)用列表或畫(huà) 樹(shù)狀圖的方法，求恰好選中“②，③”這兩種方式的概率．
【解答】解：（1）本次隨機(jī)抽查的學(xué)生人數(shù)為60 ? 15% ? 400 （人) ； “②”種方式的人數(shù)為 400 ? 120 ? 60 ? 80 ? 100 ? 40 （人) ，
條形統(tǒng)計(jì)圖為：
故答案為：400；
（2） 6000 ? 120 ? 1800 （人) ，
400
所以估計(jì)最喜愛(ài)“①連麥問(wèn)答”的學(xué)生人數(shù)為 1800 人，
圖 1 中扇形①的圓心角度數(shù)為360?? 120 ? 108? ；
400
故答案為：1800，108；
（3）畫(huà)樹(shù)狀圖為：
共有 12 種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“②，③”這兩種方式的結(jié)果數(shù)為 2，
所以恰好選中“②，③”這兩種方式的概率?
2 ? 1 ．
126
23．（10 分）一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽兩場(chǎng)），共要比賽 90 場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？
【解答】解：設(shè)有 x 隊(duì)參加比賽． 依題意，得 x(x ? 1) ? 90 ，
(x ?10)(x ? 9) ? 0 ，
解得 x1 ? 10 ， x2 ? ?9 （不合題意，舍去）．答：共有 10 支隊(duì)參加比賽．
24．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? 2x ? m ．
若 m ? ?3 ，求該拋物線與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
判斷該拋物線與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
若?2 ? x ? 1時(shí)，該拋物線與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求 m 的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng) m ? ?3 時(shí)，拋物線為 y ? x2 ? 2x ? 3 ，令 y ? 0 ，則 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，
解得 x1 ? ?3 ， x2 ? 1 ，
?拋物線與 x 軸的交點(diǎn)為(?3, 0) 和(1, 0) ；
（2）令 y ? 0 ，則 x2 ? 2x ? m ? 0 ，
△ ? 22 ? 4m ? 4 ? 4m ，
當(dāng)△ ? 0 時(shí)，即4 ? 4m ? 0 ， 解得 m ? 1；
當(dāng)△ ? 0 時(shí)，即4 ? 4m ? 0 ， 解得 m ? 1；
當(dāng)△ ? 0 時(shí)，即4 ? 4m ? 0 ， 解得 m ? 1；
?當(dāng) m ? 1時(shí)，拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) m ? 1時(shí)，拋物線與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) m ? 1時(shí)，拋物線與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)；
（3）? y ? x2 ? 2x ? m ? (x ? 1)2 ? m ?1，
?拋物線對(duì)稱軸為直線 x ? ?1 ，
①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，由（2）知，當(dāng)拋物線與 x 軸有且只有 1 個(gè)交點(diǎn)時(shí)， m ? 1；
②當(dāng)?2 ? x ? 1時(shí)，該拋物線與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖：
△ ? 4 ? 4m ? 0 ， 解得 m ? 1，
當(dāng) x ? ?2 時(shí)， y?0 ，
?4 ? 4 ? m?0 ， 解得 m?0 ；
當(dāng) x ? 1 時(shí)， y ? 0 ，
?1 ? 2 ? m ? 0 ， 解得 m ? ?3 ，
??3 ? m?0 ，
綜上所述， m 的取值范圍為?3 ? m?0 或 m ? 1．
25．（12 分）如圖，已知正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為 2，點(diǎn)O 是 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 EO ? 1．
連接 BE ， CE ，求?BEC 的度數(shù)；
連接 DE ，若?DEO ? 90? ，求 BE 的長(zhǎng)度；
將線段 DE 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 后，得到線段 DF ，連接CF ，線段CF 長(zhǎng)是否存在
最小值，若無(wú)，說(shuō)明理由；若有，求出這個(gè)最小值．
【解答】解：（1）由題意知，點(diǎn) E 在以 BC 為直徑的半圓上，
??BEC ? 90? ；
（2）當(dāng)?DEO ? 90? 時(shí)， DE 切?O 于點(diǎn) E ，連接 BE ， EC ， OD ，
??BCD ? 90? ，
? ED ? DC ? 2 ，
又? EO ? OC ，
?OD ? EC 且OD 平分 EC ，
? BE / /OD ，
即?DOC ? ?ECO ? 90? ， ?DOC ? ?ODC ? 90? ，
??ECO ? ?ODC ，
?tan ?ECO ? tan ?ODC ， 即 BE ? OC ? 1 ，

CECD2
?CE ? 2BE ，
2 5
5
? BC 2 ? BE 2 ? EC 2 ， 即 BE2 ? 4BE2 ? 22 ，
解得 BE ?（舍去負(fù)值）；
（3）??ADC ? ?ADE ? ?CDE ? 90? ， ?EDF ? ?CDE ? ?CDF ? 90? ，
??ADE ? ?CDF ， 在?ADE 和?CDF 中，
? AD ? CD
?
??ADE ? ?CDF ，
?
?DE ? DF
??ADE ? ?CDF (SAS ) ，
?CF ? AE ，
?CF 最小時(shí)， AE 最小， 連接 AO 交?O 于點(diǎn) E? ，
AB2 ? OB2
5
在Rt?ABO 中， OA ??，
5
? AE? ? OA ? OE? ?? 1 ，
5
?CF 存在最小值為? 1 ．

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