1．（3 分）在平面直角坐標系中，點(3, ?2) 關(guān)于原點對稱點的坐標是()
A． (3, 2)B． (?3, ?2)
C． (?3, 2)
D． (3, ?2)
2．（3 分）如圖圖形中，是中心對稱圖形的是()
A． B．
C． D．
3．（3 分）方程 x2 ? x ? 56 的根是()
A． x1 ? 7 ， x2 ? 8
B． x1 ? 7 ， x2 ? ?8
C． x1 ? ?7 ， x2 ? 8
D． x1 ? ?7 ， x2 ? ?8
4．（3 分）如圖，在?O 中，弧 AB 所對的圓周角?ACB ? 50? ，若 P 為弧 AB 上一點，
?AOP ? 53? ，則?POB 的度數(shù)為()
A． 25?B． 47?C． 53?D． 37?
5．（3 分）拋物線 y ? 2(x ? 3)2 ? 7 的頂點坐標是()
A． (3, 7)B． (?3, 7)
C． (3, ?7)
D． (?3, ?7)
6．（3 分）某中學(xué)一生物興趣小組的每位同學(xué)將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共贈送了 90 件，設(shè)組員有 x 名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是()
A． x(x ?1) ? 90
B． x(x ? 1) ? 90
C． x(x ?1) ? 90 ? 2
D． x(x ? 1) ? 90 ? 2
7．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? (k ? 3)x ? k ? 1 ? 0 的根的情況，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是()
A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無法確定
8．（3 分）如圖，正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于?O ，連接 BD ．則?CBD 的度數(shù)是()
A． 30?B． 45?C． 60?D． 90?
9．（3 分）如圖， ?ABC 中， ?ACB ? 90? ， ?ABC ? 40? ．將?ABC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)得到
△ A?BC? ，使點C 的對應(yīng)點C? 恰好落在邊 AB 上，則?CAA? 的度數(shù)是()
A． 50?B． 70?C．110?D．120?
10．（3 分）如圖是二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c(a ，b ，c 是常數(shù)， a ? 0) 圖象的一部分，與 x 軸的交點 A 在點(2, 0) 和(3, 0) 之間，頂點為(1, 3) 對于下列結(jié)論：
① 2a ? b ? 0 ；
② a ? b ? c ? 0 ；
③ 3a ? c ? 8 ；
④當?1 ? x ? 3 時： y ? 0 ；
⑤若方程| ax2 ? bx ? c |? 1 有四個根，則這四個根的和為 4． 其中正確的是()
A．①②⑤B．①②④C．①②③D．②③⑤
二、填空題（共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分．）
11．（3 分）方程 x2 ? 9 的實數(shù)解是 ．
12．（3 分）點O 是正五邊形 ABCDE 的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個圖案繞點O 至少旋轉(zhuǎn) ? 后能與原來的圖案互相重合．
13．（3 分）關(guān)于 x 的方程 2x2 ? mx ? 4 ? 0 的一根為 x ? 1 ，則另一根為 ．
14．（3 分）已知二次函數(shù) y ? 2(x ?1)2 ? 3 ，當 x 時， y 隨 x 的增大而減?。?br>15．（3 分）在一個布袋里放有 1 個白球和 2 個紅球，它們除顏色外其余都相同，從布袋里摸出1 個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出1 個球．則兩次摸出的球都是紅球的概率是． 16．（3 分）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：今有圓材，埋在
壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？大意是：如圖，CD 為?O
的直徑，弦 AB ? CD ，垂足為點 E ， CE ? 1寸， AB ? 10 寸，則直徑CD ?寸．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（4 分）解方程： x2 ? 5x ? 6 ? 0
18．（4 分）如圖，在?O 中， ?AB ? ?AC ， ?ACB ? 70? ．分別求?ABC 和?BOC 的度數(shù)．
19．（6 分）在直角坐標系中畫出函數(shù) y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 的圖象（不用列表，直接畫圖），并
2
指出它的開口方向， 對稱軸和頂點， 怎樣移動拋物線 y ? ? 1 x2 就可以得到拋物線
2
y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 ？
2
20．（6 分）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內(nèi)， ?ABO 的三個頂點坐標分別為 A(?1, 3) ， B(?4, 3) ， O(0, 0) ．
畫出?ABO 關(guān)于 x 軸對稱的△ A1 B1O ，并寫出點 B1 的坐標；
畫出?ABO 繞點O 順時針旋轉(zhuǎn)90? 后得到的△ A2 B2O ，并寫出點 B2 的坐標；
在（2）的條件下，求點 B 旋轉(zhuǎn)到點 B2 所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留?) ．
21．（8 分）如圖是 2 個可以隨機轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤 A 的三個扇形面積相等，分別標有數(shù)字
1，2，3，轉(zhuǎn)盤 B 的四個扇形面積相等，分別標有數(shù)字 1，2，3，4．轉(zhuǎn)動 A 、B 轉(zhuǎn)盤各一次， 當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針所落扇形中的兩個數(shù)字相乘（當指針落在兩個扇形的交線上時， 視為指針向右邊的扇形）．
用樹狀圖或列表等方法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
求兩個數(shù)字的積為偶數(shù)的概率．
22．（10 分）如圖，點 M ，N 分別在正方形 ABCD 的邊 BC ，CD 上，且?MAN ? 45? ．把?ADN
繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到?ABE ．
求證： ?AEM ? ?ANM ．
若 BM ? 3 ， DN ? 2 ，求正方形 ABCD 的邊長．
23．（10 分）為了推廣勞動教育課程實施，培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)，如圖所示，某中學(xué)用一段長為 30 米的籬笆，再借助學(xué)校的一段圍墻圍成一個矩形菜園 ABCD 供學(xué)生參加勞動實踐，已知學(xué)校該段圍墻長為 12 米．
能圍成一個面積為 72 平方米的矩形菜園嗎？請說明理由；
這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？菜園的最大面積是多少？
24．（12 分）如本題圖①所示，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ， AD 為直徑，過點C 作CE ? AB
于點 E ，連接 AC ．
(I ) 求證： ?CAD ? ?ECB ；
（Ⅱ）如本題圖②，若CE 是?O 的切線， ?CAD ? 30? ，連接OC ．
試判斷四邊形 ABCO 的形狀，并說明理由；
當 AB ? 2 時，求 AD 、 AC 與C?D 圍成的陰影部分的面積．
25．（12 分）已知函數(shù) y ? x2 ? bx ? c(b ， c 為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(?2, 4) ．
求b ， c 滿足的關(guān)系式；
設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標是(m, n) ，當b 的值變化時，求 n 關(guān)于 m 的函數(shù)解析式；
若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，當?5?x?1時，函數(shù)的最大值與最小值之差為 16， 求b 的值．
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分．在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的．）
1．（3 分）在平面直角坐標系中，點(3, ?2) 關(guān)于原點對稱點的坐標是()2222aa
A． (3, 2)B． (?3, ?2)
C． (?3, 2)
D． (3, ?2)
【解答】解：根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，
?點(3, ?2) 關(guān)于原點對稱的點的坐標為(?3, 2) ， 故選： C ．
2．（3 分）如圖圖形中，是中心對稱圖形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解：觀察四個選項可知，只有 B 選項中的圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180? 后能與自身重合， 因此 B 選項中的圖形是中心對稱圖形，
故選： B ．
3．（3 分）方程 x2 ? x ? 56 的根是()
A． x1 ? 7 ， x2 ? 8
B． x1 ? 7 ， x2 ? ?8
C． x1 ? ?7 ， x2 ? 8
D． x1 ? ?7 ， x2 ? ?8
【解答】解：? x2 ? x ? 56 ，
? x2 ? x ? 56 ? 0 ， 則(x ? 8)(x ? 7) ? 0 ，
? x ? 8 ? 0 或 x ? 7 ? 0 ， 解得 x1 ? ?7 ， x2 ? 8 ，
故選： C ．
4．（3 分）如圖，在?O 中，弧 AB 所對的圓周角?ACB ? 50? ，若 P 為弧 AB 上一點，
?AOP ? 53? ，則?POB 的度數(shù)為()
A． 25?B． 47?C． 53?D． 37?
【解答】解：??ACB 與?AOB 是同弧所對的圓周角與圓心角， ?ACB ? 50? ，
??AOB ? 2?ACB ? 100? ，
??AOP ? 53? ，
??POB ? ?AOB ? ?AOP ? 100? ? 53? ? 47? ． 故選： B ．
5．（3 分）拋物線 y ? 2(x ? 3)2 ? 7 的頂點坐標是()
A． (3, 7)B． (?3, 7)
C． (3, ?7)
D． (?3, ?7)
【解答】解：因為 y ? 2(x ? 3)2 ? 7 是拋物線的頂點式， 根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(3, ?7) ；
故選： C ．
6．（3 分）某中學(xué)一生物興趣小組的每位同學(xué)將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共贈送了 90 件，設(shè)組員有 x 名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是()
A． x(x ?1) ? 90
B． x(x ? 1) ? 90
C． x(x ?1) ? 90 ? 2
D． x(x ? 1) ? 90 ? 2
【解答】解：?全組共有 x 名同學(xué)，
?每名同學(xué)需贈送出(x ?1) 件標本． 根據(jù)題意得： x(x ? 1) ? 90 ．
故選： A ．
7．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? (k ? 3)x ? k ? 1 ? 0 的根的情況，下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是()
A．有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無法確定
【解答】解：△ ? [?(k ? 3)]2 ? 4(?k ? 1)
? k 2 ? 6k ? 9 ? 4 ? 4k
? k 2 ? 2k ? 5
? (k ?1)2 ? 4 ，
?(k ?1)2?0 ，
?(k ?1)2 ? 4 ? 0 ，即△ ? 0 ，
?方程有兩個不相等的實數(shù)根． 故選： C ．
8．（3 分）如圖，正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于?O ，連接 BD ．則?CBD 的度數(shù)是()
A． 30?B． 45?C． 60?D． 90?
【解答】解：?在正六邊形 ABCDEF 中， ?BCD ? (6 ? 2) ?180? ? 120? ， BC ? CD ，
6
??CBD ? 1 (180? ? 120?) ? 30? ，
2
故選： A ．
9．（3 分）如圖， ?ABC 中， ?ACB ? 90? ， ?ABC ? 40? ．將?ABC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)得到
△ A?BC? ，使點C 的對應(yīng)點C? 恰好落在邊 AB 上，則?CAA? 的度數(shù)是()
A． 50?B． 70?C．110?D．120?
【解答】解：??ACB ? 90? ， ?ABC ? 40? ，
??CAB ? 90? ? ?ABC ? 90? ? 40? ? 50? ，
?將?ABC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ A?BC? ，使點C 的對應(yīng)點C? 恰好落在邊 AB 上，
??A?BA ? ?ABC ? 40? ， A?B ? AB ，
??BAA? ? ?BA?A ? 1 ? (180? ? 40?) ? 70? ，
2
??CAA? ? ?CAB ? ?BAA? ? 50? ? 70? ? 120? ． 故選： D ．
10．（3 分）如圖是二次函數(shù) y ? ax2 ? bx ? c(a ，b ，c 是常數(shù)， a ? 0) 圖象的一部分，與 x 軸的交點 A 在點(2, 0) 和(3, 0) 之間，頂點為(1, 3) 對于下列結(jié)論：
① 2a ? b ? 0 ；
② a ? b ? c ? 0 ；
③ 3a ? c ? 8 ；
④當?1 ? x ? 3 時： y ? 0 ；
⑤若方程| ax2 ? bx ? c |? 1 有四個根，則這四個根的和為 4． 其中正確的是()
A．①②⑤B．①②④C．①②③D．②③⑤
【解答】解：?? b
2a
? 1 ，
? 2a ? b ? 0 ，故①正確；
?與 x 軸的交點 A 在點(2, 0) 和(3, 0) 之間，對稱軸為直線 x ? 1 ，
?與 x 軸的另一個交點 B 在點(?1, 0) 和(0, 0) 之間，
?當 x ? ?1 時， y ? a ? b ? c ? 0 ，故②正確；
? 2a ? b ? 0 ，
?b ? ?2a ，
? a ? b ? c ? 0 ，
?3a ? c ? 0 ，故③錯誤；
函數(shù)圖象與 x 軸的交點沒有具體說明交點的坐標，
?當?1 ? x ? 3 時， y ? 0 不一定成立，故④錯誤；
方程| ax2 ? bx ? c |? 1 的四個根分別為 ax2 ? bx ? c ? 1 和 ax2 ? bx ? c ? ?1 的根，
?拋物線 y ? ax2 ? bx ? c 關(guān)于直線 x ? 1 對稱，
?拋物線與直線 y ? 1 的交點的橫坐標之和為 2， 拋物線與直線 y ? ?1 的交點橫坐標之和為 2，
?方程| ax2 ? bx ? c |? 1 的四個根的和為 4，故⑤正確．
正確的是①②⑤， 故選： A ．
二、填空題（共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分．）
11．（3 分）方程 x2 ? 9 的實數(shù)解是 x ? 3 ， x ? ?3 ．
12
【解答】解：? x2 ? 9 ，
? x ? ?3 ，
? x1 ? 3 ， x2 ? ?3 ．
故答案為： x1 ? 3 ， x2 ? ?3 ．
12．（3 分）點O 是正五邊形 ABCDE 的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個圖案繞點O 至少旋轉(zhuǎn) 72 ? 后能與原來的圖案互相重合．
【解答】解：連接OA ， OE ，則這個圖形至少旋轉(zhuǎn)?AOE 才能與原圖象重合，⑨⑨
?AOE ? 360? ? 72? ．
5
故答案為：72．
2
13．（3 分）關(guān)于 x 的方程 2x2 ? mx ? 4 ? 0 的一根為 x ? 1 ，則另一根為 x ? ?2 ．
【解答】解：設(shè)方程的另一根為 x2 ，
?關(guān)于 x 的方程 2x2 ? mx ? 4 ? 0 的一根為 x ? 1 ，
則1? x2
? ?4 ? ?2 ，
2
解得 x2 ? ?2 ．
故答案為： x2 ? ?2 ．
14．（3 分）已知二次函數(shù) y ? 2(x ?1)2 ? 3 ，當 x ? 1 時， y 隨 x 的增大而減?。?br>【解答】解：在 y ? 2(x ?1)2 ? 3 中， a ? 2 ，
? a ? 0 ，
?開口向上，
由于函數(shù)的對稱軸為 x ? 1 ，
當 x ? 1 時， y 的值隨著 x 的值增大而減??； 當 x ? 1 時， y 的值隨著 x 的值增大而增大． 故答案為： ? 1．
15．（3 分）在一個布袋里放有 1 個白球和 2 個紅球，它們除顏色外其余都相同，從布袋里
摸出 1 個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出 1 個球．則兩次摸出的球都是紅球的概率是
4．
9
【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：
?共有 9 種情況，兩次摸出的球都是紅球的有 4 種情況，
?兩次摸出的球都是紅球的概率是 4 ．
9
故答案為： 4 ．
9
16．（3 分）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：今有圓材，埋在
壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？大意是：如圖，CD 為?O 的直徑，弦 AB ? CD ，垂足為點 E ， CE ? 1寸， AB ? 10 寸，則直徑CD ? 26寸．
【解答】解：連接OA ，設(shè)OA ? r 寸，則OE ? r ? CE ? (r ? 1) 寸，
? AB ? CD ， AB ? 10 寸，
? AE ? 1 AB ? 5 寸，
2
在Rt?OAE 中，
OA2 ? AE 2 ? OE 2 ，即 r2 ? 52 ? (r ?1)2 ，
解得 r ? 13 ，
?CD ? 2r ? 26 寸． 故答案為：26．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17．（4 分）解方程： x2 ? 5x ? 6 ? 0
【解答】解：? x2 ? 5x ? 6 ? 0 ，
?(x ? 2)(x ? 3) ? 0 ，
則 x ? 2 ? 0 或 x ? 3 ? 0 ， 解得 x1 ? 2 ， x2 ? 3 ．
18．（4 分）如圖，在?O 中， ?AB ? ?AC ， ?ACB ? 70? ．分別求?ABC 和?BOC 的度數(shù)．
【解答】解：? ?AB ? ?AC ， ?ACB ? 70? ，
??ABC ? ?ACB ? 70? ，
??A ? 180? ? ?ABC ? ?ACB ? 40? ，
??BOC ? 2?A ? 80? ，
??ABC 的度數(shù)為70? ， ?BOC 的度數(shù)為80? ．
19．（6 分）在直角坐標系中畫出函數(shù) y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 的圖象（不用列表，直接畫圖），并
2
指出它的開口方向， 對稱軸和頂點， 怎樣移動拋物線 y ? ? 1 x2 就可以得到拋物線
2
y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 ？
2
【解答】解：如圖：
由 y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 得到該函數(shù)的圖象的開口方向向下，對稱軸是：x ? 1 ，頂點坐標是(1, 2) ；
2
拋物線 y ? ? 1 x2 的頂點坐標是(0, 0) ，拋物線 y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 的頂點坐標是(1, 2) ，
22
?由頂點(0, 0) 向右平移 1 個單位，再向上平移 2 個單位得到頂點(1, 2) ，
? 由拋物線 y ? ? 1 x2 向右平移 1 個單位， 再向上平移 2 個單位就可以得到拋物線
2
y ? ? 1 (x ? 1)2 ? 2 ．
2
20．（6 分）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內(nèi)， ?ABO 的三個頂點坐標分別為 A(?1, 3) ， B(?4, 3) ， O(0, 0) ．
畫出?ABO 關(guān)于 x 軸對稱的△ A1 B1O ，并寫出點 B1 的坐標；
畫出?ABO 繞點O 順時針旋轉(zhuǎn)90? 后得到的△ A2 B2O ，并寫出點 B2 的坐標；
在（2）的條件下，求點 B 旋轉(zhuǎn)到點 B2 所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留?) ．
【解答】解：（1）如圖，△ A1 B1O 即為所求， B1 (?4, ?3) ．
（2）如圖，△ A2 B2O 即為所求， B2 (3, 4) ．
（3）點 B 旋轉(zhuǎn)到點 B 所經(jīng)過的路徑長? 90?? 5 ? 5?．
21802
21．（8 分）如圖是 2 個可以隨機轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤 A 的三個扇形面積相等，分別標有數(shù)字
1，2，3，轉(zhuǎn)盤 B 的四個扇形面積相等，分別標有數(shù)字 1，2，3，4．轉(zhuǎn)動 A 、B 轉(zhuǎn)盤各一次， 當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針所落扇形中的兩個數(shù)字相乘（當指針落在兩個扇形的交線上時， 視為指針向右邊的扇形）．
用樹狀圖或列表等方法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
求兩個數(shù)字的積為偶數(shù)的概率．
【解答】解：（1）畫樹狀圖得：
則共有 12 種等可能的結(jié)果；
（2）共有 12 種等可能的結(jié)果，其中兩個數(shù)字的積為偶數(shù)有 8 種情況，
?兩個數(shù)字的積為偶數(shù)的概率是： 8 ? 2 ．
123
22．（10 分）如圖，點 M ，N 分別在正方形 ABCD 的邊 BC ，CD 上，且?MAN ? 45? ．把?ADN
繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90? 得到?ABE ．
求證： ?AEM ? ?ANM ．
若 BM ? 3 ， DN ? 2 ，求正方形 ABCD 的邊長．
【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得， ?ADN ? ?ABE ，
??DAN ? ?BAE ， AE ? AN ， ?D ? ?ABE ? 90? ，
??ABC ? ?ABE ? 180? ，
?點 E ，點 B ，點C 三點共線，
??DAB ? 90? ， ?MAN ? 45? ，
??MAE ? ?BAE ? ?BAM ? ?DAN ? ?BAM ? 45? ，
??MAE ? ?MAN ，
? MA ? MA ，
??AEM ? ?ANM (SAS ) ．
（2）解：設(shè)CD ? BC ? x ，則CM ? x ? 3 ， CN ? x ? 2 ，
??AEM ? ?ANM ，
? EM ? MN ，
? BE ? DN ，
? MN ? BM ? DN ? 5 ，
??C ? 90? ，
? MN 2 ? CM 2 ? CN 2 ，
?25 ? (x ? 2)2 ? (x ? 3)2 ，
解得， x ? 6 或?1 （舍棄），
?正方形 ABCD 的邊長為 6．
23．（10 分）為了推廣勞動教育課程實施，培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)，如圖所示，某中學(xué)用一段長為 30 米的籬笆，再借助學(xué)校的一段圍墻圍成一個矩形菜園 ABCD 供學(xué)生參加勞動實踐，已知學(xué)校該段圍墻長為 12 米．
能圍成一個面積為 72 平方米的矩形菜園嗎？請說明理由；
這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？菜園的最大面積是多少？
【解答】解：（1）能，理由如下：
設(shè)矩形的長為 x m ，則寬為 30 ? x m ，
2
菜園的面積 S ? x ? 30 ? x ? ? 1 x2 ? 15x ? 72 ，
22
解得 x ? 24 （不合題意，舍）或 x ? 6 ，
?能，此時矩形的長為6m ，寬為 12 米；
（2）設(shè)矩形的長為 x m ，則寬為 30 ? x m ，
2
菜園的面積 S ? x ? 30 ? x ? ? 1 x2 ? 15x ? ? 1 (x ? 15)2 ? 225 ， (0 ? x?12) 2222
?當 x ? 15 時， S 隨 x 的增大而增大，
?當 x ? 12 時， S? ? 1 ? 9 ? 225 ? 108 ，
最大值22
答：當矩形的長為12m 、寬為9m 時矩形的面積最大，最大面積為108m2 ．
24．（12 分）如本題圖①所示，四邊形 ABCD 內(nèi)接于?O ， AD 為直徑，過點C 作CE ? AB
于點 E ，連接 AC ．
(I ) 求證： ?CAD ? ?ECB ；
（Ⅱ）如本題圖②，若CE 是?O 的切線， ?CAD ? 30? ，連接OC ．
試判斷四邊形 ABCO 的形狀，并說明理由；
當 AB ? 2 時，求 AD 、 AC 與C?D 圍成的陰影部分的面積．
【解答】(I ) 證明：?四邊形 ABCD 是?O 的內(nèi)接四邊形，
??CBE ? ?D ，
? AD 為?O 的直徑，
??ACD ? 90? ，
??D ? ?CAD ? 90? ，
??CBE ? ?CAD ? 90? ，
?CE ? AB ，
??CBE ? ?BCE ? 90? ，
??CAD ? ?BCE ；
（Ⅱ）解：（1）四邊形 ABCO 是菱形，理由：
??CAD ? 30? ，
??COD ? 2?CAD ? 60? ，
? CE 是?O 的切線，
?OC ? CE ，
?CE ? AB ，
?OC / / AB ，
??DAB ? ?COD ? 60? ，
由（1）知， ?CBE ? ?CAD ? 90? ，
??CBE ? 90? ? ?CAD ? 60? ? ?DAB ，
? BC / /OA ，
?四邊形 ABCO 是平行四邊形，
? OA ? OC ，
?? ABCO 是菱形；
（2）由①知，四邊形 ABCO 是菱形，
?OA ? OC ? AB ? 2 ，
? AD ? 2OA ? 4 ，
由①知， ?COD ? 60? ，
在Rt?ACD 中， ?CAD ? 30? ，
3
? CD ? 2 ， AC ? 2，
? AD ， AC 與C?D 圍成陰影部分的面積為 S?AOC ? S扇形COD
? 1 S
2
?ACD
S扇形COD
? 1 ? 1 ?
2 ? 2
? 60?? 22
3
22360
3
?? 2?． 3
25．（12 分）已知函數(shù) y ? x2 ? bx ? c(b ， c 為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(?2, 4) ．
求b ， c 滿足的關(guān)系式；
設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標是(m, n) ，當b 的值變化時，求 n 關(guān)于 m 的函數(shù)解析式；
若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，當?5?x?1時，函數(shù)的最大值與最小值之差為 16， 求b 的值．
【解答】解：（1）將點(?2, 4) 代入 y ? x2 ? bx ? c ，
得?2b ? c ? 0 ，
? c ? 2b ；
b4c ? b2
（2） m ? ?， n ?，
24
8b ? b2
?n ?，
4
? n ? 2b ? m2 ? ?4m ? m2 ；
2b 2b2
（3） y ? x ? bx ? 2b ? (x ? ) ?? 2b ，
24
對稱軸為直線 x ? ? b ，
2
當b?0 ， c?0 ，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則 c ? 0 ；
此時 y ? x2 ，當?5?x?1時，函數(shù)最小值是 0，最大值是 25，
?最大值與最小值之差為 25；（舍去）
當b ? 0 時， c ? 0 ，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則△?0 ，
?0 ? b?8 ，
①當?2? ? b ?1時，函數(shù)有最小值
2
b2b ，函數(shù)有最大值 25 ? 3b ；
??
2
4
?函數(shù)的最大值與最小值之差為 16，
b
2
?25 ? 3b ?? 2b ? 16 ，
4
?b ? 2 或b ? 18 （舍) ；
②當?5? ? b ? ?2 時，函數(shù)有最小值
2
b2b ，函數(shù)有最大值1 ? 3b ；
??
2
4
?函數(shù)的最大值與最小值之差為 16，
?b2
1 ? 3b ?? 2b ? 16 ，
4
?b ? 6 或b ? ?10 （舍) ；
③當? b ? ?5 時，函數(shù)有最小值 25 ? 3b ，函數(shù)有最大值1 ? 3b ；
2
?函數(shù)的最大值與最小值之差為 16，
?1 ? 3b ? 25 ? 3b ? 16 ，
?b ? 20 （舍) ；
3
綜上所述b ? 2 或b ? 6 ．

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