1．（3 分）我國(guó)傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個(gè)圖案構(gòu)成這四個(gè)圖案中是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B． C． D．
2．（3 分）下列事件中，必然事件是()
A．拋擲一枚骰子，出現(xiàn) 4 點(diǎn)向上B．四邊形的內(nèi)角和為360?
C．拋擲一枚硬幣，正面朝上D．明天會(huì)下雨
3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2 ? 4x ? 1 ? 0 時(shí)，此方程可變形為()
A． (x ? 2)2 ? 1
B． (x ? 2)2 ? 1
C． (x ? 2)2 ? 5
D． (x ? 2)2 ? 5
4．（3 分）如圖，在Rt?ABC 中， ?C ? 90? ， AC ? 3 ， BC ? 4 ，則cs A 的值為()
4
5
3
4
3
5
4
3
5．（3 分）關(guān)于二次函數(shù) y ? ?(x ? 4)2 ? 3 的最值，下列說(shuō)法正確的是()
A．有最小值 3B．有最小值 4C．有最大值 3D．有最大值 4
6．（3 分）如圖， AB 為?O 的直徑， C ， D 是?O 上位于 AB 兩側(cè)的點(diǎn)，若?ABD ? 50? ，則?BCD 的大小為()
A． 40?B． 50?C． 60?D． 70?
7．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是()
k ? ?1
k??1
k ? ?1
k??1
8．（3 分）已知反比例函數(shù) y ? 6 ，下列說(shuō)法中正確的是()
x
A．該函數(shù)的圖象分布在第一、三象限B．點(diǎn)(?4, ?3) 在函數(shù)圖象上
C． y 隨 x 的增大而增大
D．若點(diǎn)(?2, y1 ) 和(?1, y2 ) 在該函數(shù)圖象上，則 y1 ? y2
9．（3 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB ? 3 ， BC ? 10 ，點(diǎn) E 在 BC 邊上， DF ? AE ，垂足為 F ．若 DF ? 6 ，則線段 EF 的長(zhǎng)為( )
A．1B．2C．3D．4
10．（3 分）在同一平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y ? ax 與二次函數(shù) y ? ax2 ? | a | 的圖象可能是( )
A． B．
C． D．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分，）
11．（3 分）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) P(m, n) 與點(diǎn)Q(2, ?4) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 m ? n ? ．
12．（3 分）在一個(gè)不透明的箱子中，裝有白球、紅球共 30 個(gè)，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同．小華通過(guò)多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，從盒子中摸出紅球的頻率是 0.2，那么可以估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)是 ．
13．（3 分）如圖，在?ABC 中，點(diǎn) D 、 E 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn)，若?ADE 的面積為 2，則?ABC 的面積為．
14．（3 分） 已知 x ? ?1 是一元二次方程 x2 ? mx ? n ? 0 的一個(gè)根， 則 m2 ? 2mn ? n2 的值為．
15．（3 分）如圖，在 4 ? 4 的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn) A 、 B 、C 、D 、O 均在格點(diǎn)上，其中 A 、 B 、 D 又在?O 上，點(diǎn) E 是線段CD 與?O 的交點(diǎn)．則?BAE 的正切值為．
16．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 中， AB / /CD ， AC ? BC ， ?DAB ? 60? ， AD ? CD ? 4 ，點(diǎn) M 是四邊形 ABCD 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足?AMD ? 90? ，則?MBC 面積的最小值為．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）
17．（4 分）解方程： x2 ? 2x ? 8 ? 0 ．
18．（4 分）如圖， ?ABC 為等邊三角形，將 AC 邊繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 40? ，得到線段CD ，連接 BD ，求?CBD 的度數(shù)．
19．（6 分）為了推進(jìn)學(xué)校與社區(qū)融合發(fā)展，光明社區(qū)開(kāi)通公眾號(hào)進(jìn)行免費(fèi)線上公益直播授課，9 月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)為 2 萬(wàn)人，11 月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)達(dá)到 2.88 萬(wàn)人．若從 9
月份到 11 月份，每月該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的平均增長(zhǎng)率都相同，求該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
20．（6 分）如圖，利用標(biāo)桿 BE 測(cè)量建筑物的高度，如果標(biāo)桿 BE 高1.2m ，測(cè)得 AB ? 1.6m ，
BC ? 12.4m ，樓高CD 是多少？
21．（8 分）隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)境問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注，某校學(xué)生會(huì)為了解節(jié)能減排、垃圾分類知識(shí)的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．
本次調(diào)查的學(xué)生共有 人，估計(jì)該校 1200 名學(xué)生中“不了解”的人數(shù)是 人；
“非常了解”的 4 人有 A1 ， A2 兩名男生， B1 ， B2 兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人向全校做環(huán)保交流，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
22．（10 分）如圖，在?ABC 中， ?C ? 90? ， ?BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D ，過(guò)點(diǎn) D 作 AD
的垂線交 AB 于點(diǎn) E ．
請(qǐng)畫(huà)出?ADE 的外接圓?O （尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
求證： BC 是?O 的切線；
23．（10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) B 、C 在 x 軸的正半軸上，AB ? 8 ，
BC ? 6 ．對(duì)角線 AC ，BD 相交于點(diǎn) E ，反比例函數(shù) y ? k (x ? 0) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) E ，分別與 AB ，
x
CD 交于點(diǎn) F ， G ．
若OC ? 10 ，求 k 的值；
連接 EG ，若 BF ? BE ? 11 ，求?CEG 的面積．
24．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? (2a ?1)x ? 2a(a 是常數(shù)）．
證明：該拋物線與 x 軸總有交點(diǎn)；
設(shè)該拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A(m, 0) ，若?8 ? m?? 5 ，求 a 的取值范圍；
在（2）的條件下，若 a 為整數(shù)，將拋物線在 x 軸下方的部分沿 x 軸向上翻折．其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象G ，請(qǐng)你結(jié)合新圖象，探究直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況．
25．（12 分）如圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，以 AD 為直徑的?O 交 AB 于點(diǎn) E ，連接 DE ，
DA ? 5 ， DE ? 4 ， DC ? 8 ．過(guò)點(diǎn) E 作直線l ，過(guò)點(diǎn)C 作CH ? l ，垂足為 H ．
求sin ?ADE 的值；
若l / / AD ，且 1 與?O 交于另一點(diǎn) F ，求 EF 的長(zhǎng)；
過(guò)點(diǎn) A 作 AM ? l ，垂足為 M ，當(dāng)直線l 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)時(shí)，求CH ? 5 AM 的最大值．
3
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分。）
1．（3 分）我國(guó)傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個(gè)圖案構(gòu)成這四個(gè)圖案中是中心對(duì)稱圖形的是()
A． B． C． D．
【解答】 A 、拋擲一枚骰子，出現(xiàn) 4 點(diǎn)向上是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B 、四邊形的內(nèi)角和為360? 是必然事件，故選項(xiàng)正確，符合題意；
C 、拋擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D 、明天會(huì)下雨是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意； 故選： B ．
3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2 ? 4x ? 1 ? 0 時(shí)，此方程可變形為()
【解答】解： A ．不是中心對(duì)稱圖形；
B ．是中心對(duì)稱圖形；
C ．不是中心對(duì)稱圖形；
D ．不是中心對(duì)稱圖形；
故選： B ．
2．（3 分）下列事件中，必然事件是(
)
A．拋擲一枚骰子，出現(xiàn) 4 點(diǎn)向上
B．四邊形的內(nèi)角和為360?
C．拋擲一枚硬幣，正面朝上
D．明天會(huì)下雨
A． (x ? 2)2 ? 1
B． (x ? 2)2 ? 1
C． (x ? 2)2 ? 5
D． (x ? 2)2 ? 5
【解答】解：一元二次方程 x2 ? 4x ? 1 ? 0 ， 移項(xiàng)得： x2 ? 4x ? 1 ，
配方得： x2 ? 4x ? 4 ? 5 ， 變形得： (x ? 2)2 ? 5 ． 故選： C ．
4．（3 分）如圖，在Rt?ABC 中， ?C ? 90? ， AC ? 3 ， BC ? 4 ，則cs A 的值為()
4
5
3
4
3
5
4
3
【解答】解：??C ? 90? ， AC ? 3 ， BC ? 4 ，
? AB ? 5 ，
?cs A ? AC ， ? 3 ．
AB5
故選： C ．
5．（3 分）關(guān)于二次函數(shù) y ? ?(x ? 4)2 ? 3 的最值，下列說(shuō)法正確的是()
A．有最小值 3B．有最小值 4C．有最大值 3D．有最大值 4
【解答】解：?二次函數(shù) y ? ?(x ? 4)2 ? 3 ， a ? ?1 ? 0 ，
?該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，有最大值，當(dāng) x ? 4 取得最大值 3， 故選： C ．
6．（3 分）如圖， AB 為?O 的直徑， C ， D 是?O 上位于 AB 兩側(cè)的點(diǎn)，若?ABD ? 50? ，
則?BCD 的大小為()
A． 40?B． 50?C． 60?D． 70?
【解答】解：? AB 為?O 的直徑，
??ADB ? 90? ，
??A ? 90? ? ?ABD ? 90? ? 50? ? 40? ，
??BCD ? ?A ? 40? ． 故選： A ．
7．（3 分）若關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是()
k ? ?1
k??1
k ? ?1
k??1
【解答】解：?關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 2x ? k ? 0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
?△ ? 0 ，即(?2)2 ? 4 ?1? (?k) ? 0 ，解得 k ? ?1 ，
? k 的取值范圍是 k ? ?1 ． 故選： C ．
8．（3 分）已知反比例函數(shù) y ? 6 ，下列說(shuō)法中正確的是()
x
A．該函數(shù)的圖象分布在第一、三象限B．點(diǎn)(?4, ?3) 在函數(shù)圖象上
C． y 隨 x 的增大而增大
D．若點(diǎn)(?2, y1 ) 和(?1, y2 ) 在該函數(shù)圖象上，則 y1 ? y2
【解答】解： A 、 k ? 6 ? 0 ，函數(shù)的圖象在第一、三象限，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；
B 、因?yàn)?3? (?4) ? 12 ? 6 ，所以點(diǎn)(?4, ?3) 不在函數(shù)圖象上，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
C 、 k ? 6 ? 0 ，在每個(gè)象限內(nèi)， y 隨著 x 的增大而減小，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D 、k ? 6 ? 0 ，在每個(gè)象限內(nèi)， y 隨著 x 的增大而減小，因?yàn)?2 ? ?1 ? 0 ，則 y1 ? y2 ，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選： A ．
9．（3 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB ? 3 ， BC ? 10 ，點(diǎn) E 在 BC 邊上， DF ? AE ，垂足為 F ．若 DF ? 6 ，則線段 EF 的長(zhǎng)為()
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：?四邊形 ABCD 為矩形，
? AB ? CD ? 3 ， BC ? AD ? 10 ， AD / / BC ，
??AEB ? ?DAF ，
??AFD∽?EBA ，
? AF ? AD ? DF ，
BEAEAB
? DF ? 6 ，
AD2 ? DF 2
102 ? 62
? AF ??? 8 ，
? 8 ? 10
? 6 ，
BEAE3
? AE ? 5 ，
? EF ? AF ? AE ? 8 ? 5 ? 3 ． 故選： C ．
10．（3 分）在同一平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一次函數(shù) y ? ax 與二次函數(shù) y ? ax2 ? | a | 的圖象可能是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、由一次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，由二次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，兩結(jié)論相矛盾，不符合題意；
B 、由一次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，由二次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ， ? | a |? 0 ，兩結(jié)論一致， 符合題意；
C 、由一次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，由二次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ? | a |) ，
?? | ?a | ?0 ，?函數(shù)圖象頂點(diǎn)應(yīng)在原點(diǎn)或 y 軸負(fù)半軸，所以二次函數(shù)圖象錯(cuò)誤，不符合題意；
D 、由一次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，由二次函數(shù)的圖象可知 a ? 0 ，兩結(jié)論相矛盾，不符合題意．
故選： B ．
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分，）
11．（3 分）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) P(m, n) 與點(diǎn)Q(2, ?4) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 m ? n ? 2．
【解答】解：?點(diǎn) P(m, n) 與點(diǎn)Q(2, ?4) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
? m ? ?2 ， n ? 4 ，
? m ? n ? ?2 ? 4 ? 2 ． 故答案為：2．
12．（3 分）在一個(gè)不透明的箱子中，裝有白球、紅球共 30 個(gè)，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同．小華通過(guò)多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，從盒子中摸出紅球的頻率是 0.2，那么可以估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)是 6 個(gè) ．
【解答】解：估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)是30 ? 0.2 ? 6 （個(gè)) ，
故答案為：6 個(gè)．
13．（3 分）如圖，在?ABC 中，點(diǎn) D 、 E 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn)，若?ADE 的面積為 2，則?ABC 的面積為 8 ．
【解答】解：? D 、 E 分別是 AB 、 AC 的中點(diǎn)，
? DE / / BC ， DE ? 1 BC ，
2
??ADE ? ?B ， ?AED ? ?C ，
??ADE∽?ABC ，
? S?ADE ? ( DE )2 ，
S?ABCBC
? S?ADE ? 2 ，
? S?ABC ? 4S?ADE ? 4 ? 2 ? 8 ．
故答案為：8．
14．（3 分）已知 x ? ?1 是一元二次方程 x2 ? mx ? n ? 0 的一個(gè)根，則 m2 ? 2mn ? n2 的值為
1．
【解答】解：? x ? ?1是一元二次方程 x2 ? mx ? n ? 0 的一個(gè)根，
?1 ? m ? n ? 0 ，
? m ? n ? 1 ，
?m2 ? 2mn ? n2 ? (m ? n)2 ? 12 ? 1．
故答案為 1．
15．（3 分）如圖，在 4 ? 4 的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn) A 、 B 、C 、D 、O 均在格點(diǎn)上，其
中 A 、 B 、 D 又在?O 上，點(diǎn) E 是線段CD 與?O 的交點(diǎn)．則?BAE 的正切值為1．
2
【解答】解：由題意可得， ?BDE ? ?BAE ， 在Rt?BDC 中， ?DBC ? 90? ，
?tan ?BDC ? BC ? 2 ? 1 ，
BD42
?tan ?BAE ? 1 ．
2
故答案為： 1 ．
2
16．（3 分）如圖，四邊形 ABCD 中， AB / /CD ， AC ? BC ， ?DAB ? 60? ， AD ? CD ? 4 ，點(diǎn) M 是四邊形 ABCD 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 滿足 ?AMD ? 90? ， 則 ?MBC 面積的最小值為
3
6? 4 ．
【解答】解：取 AD 的中點(diǎn)O ，連接OM ，過(guò)點(diǎn) M 作 ME ? BC 交 BC 的延長(zhǎng)線于 E ，過(guò)點(diǎn)O
作OF ? BC 于 F ，交CD 于G ，則OM ? ME?OF ．
??AMD ? 90? ， AD ? 4 ， OA ? OD ，
?OM ? 1 AD ? 2 ，
2
? AB / /CD ，
??GCF ? ?B ? 60? ，
??DGO ? ?CGF ? 30? ，
? AD ? BC ，
??DAB ? ?B ? 60? ，
??ADC ? ?BCD ? 120? ，
??DOG ? 30? ? ?DGO ，
? DG ? DO ? 2 ，
?CD ? 4 ，
?CG ? 2 ，
3
3
3
?OG ? 2OD ? cs 30? ? 2， GF ?， OF ? 3，
3
?ME?OF ? OM ? 3? 2 ，
3
3
?當(dāng)O ， M ， E 共線時(shí)， ME 的值最小，最小值為3? 2 ，
3
??MBC 面積的最小值? 1 ? 4 ? (3
2
? 2) ? 6
? 4 ．
3
故答案為： 6
? 4 ．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）
17．（4 分）解方程： x2 ? 2x ? 8 ? 0 ．
【解答】解： x2 ? 2x ? 8 ? 0 (x ? 2)(x ? 4) ? 0
x ? 2 ? 0 ， x ? 4 ? 0
x1 ? 2 ， x2 ? ?4
18．（4 分）如圖， ?ABC 為等邊三角形，將 AC 邊繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 40? ，得到線段CD ，連接 BD ，求?CBD 的度數(shù)．
【解答】解：??ABC 是等邊三角形，
? AB ? AC ? BC ， ?ABC ? ?ACB ? 60? ，
?將 AC 邊繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 40? ，
??ACD ? 40? ， AC ? CD ? BC ，
??BCD ? 100? ，
??CBD ? ?D ? 40? ．
19．（6 分）為了推進(jìn)學(xué)校與社區(qū)融合發(fā)展，光明社區(qū)開(kāi)通公眾號(hào)進(jìn)行免費(fèi)線上公益直播授課，9 月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)為 2 萬(wàn)人，11 月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)達(dá)到 2.88 萬(wàn)人．若從 9
月份到 11 月份，每月該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的平均增長(zhǎng)率都相同，求該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．
【解答】解：設(shè)該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為 x ， 根據(jù)題意得： 2(1 ? x)2 ? 2.88 ，
解得： x1 ? 0.2 ? 20% ， x2 ? ?2.2 （不符合題意，舍去），
答：該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為 20% ．
20．（6 分）如圖，利用標(biāo)桿 BE 測(cè)量建筑物的高度，如果標(biāo)桿 BE 高1.2m ，測(cè)得 AB ? 1.6m ，
BC ? 12.4m ，樓高CD 是多少？
【解答】解：? EB ? AC ， DC ? AC ，
? EB / /CD ，
??ABE∽?ACD ，
? BE ? AB ，
CDAC
? BE ? 1.2m ， AB ? 1.6m ， BC ? 12.4m ，
? AC ? AB ? BC ? 14m ，
? 1.2 ? 1.6 ，
CD14
?CD ? 10.5m ．
答：樓高CD 是10.5m ．
21．（8 分）隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)境問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注，某校學(xué)生會(huì)為了解節(jié)能減排、垃圾分類知識(shí)的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．
本次調(diào)查的學(xué)生共有 50人，估計(jì)該校 1200 名學(xué)生中“不了解”的人數(shù)是人；
“非常了解”的 4 人有 A1 ， A2 兩名男生， B1 ， B2 兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人向全校做環(huán)保交流，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1） 4 ? 8% ? 50 （人) ，
1200 ? (1 ? 40% ? 22% ? 8%) ? 360 （人) ；
故答案為：50，360；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有 12 種可能的結(jié)果，恰好抽到一男一女的結(jié)果有 8 個(gè)，
? P （恰好抽到一男一女的） ? 8 ? 2 ．
123
22．（10 分）如圖，在?ABC 中， ?C ? 90? ， ?BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D ，過(guò)點(diǎn) D 作 AD
的垂線交 AB 于點(diǎn) E ．
請(qǐng)畫(huà)出?ADE 的外接圓?O （尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
求證： BC 是?O 的切線；
【解答】（1）解：如圖 1 所示， ?O 即為所求；
（2）證明：如圖 2，連接OD ，
? AD 平分?CAB ，
??CAD ? ?OAD ，
? OA ? OD ，
??OAD ? ?ODA ，
??CAD ? ?ODA ，
?OD / / AC ，
??C ? 90? ，
?OD ? BC ，
? OD 為?O 的半徑，
? BC 是?O 的切線．
23．（10 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) B 、C 在 x 軸的正半軸上，AB ? 8 ，
BC ? 6 ．對(duì)角線 AC ，BD 相交于點(diǎn) E ，反比例函數(shù) y ? k (x ? 0) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) E ，分別與 AB ，
x
CD 交于點(diǎn) F ， G ．
若OC ? 10 ，求 k 的值；
連接 EG ，若 BF ? BE ? 11 ，求?CEG 的面積．
【解答】解：（1）?矩形 ABCD 的頂點(diǎn) B ， AB ? 8 ， BC ? 6 ，而OC ? 10 ，
? B(4, 0) ， A(4,8) ， C(10, 0) ， D(10,8) ，
?對(duì)角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) E ，
?點(diǎn) E 為 AC 的中點(diǎn)，
? E(7, 4) ，
把 E(7, 4) 代入 y ? k ，得 k ? 7 ? 4 ? 28 ；
x
62 ? 82
（2）? AC ?
? BE ? EC ? 5 ，
? BF ? BE ? 11，
? BF ? 6 ，
? 10 ，
設(shè)OB ? t ，則 F (t, 6) ， E(t ? 3, 4) ，
?反比例函數(shù) y ? k (x ? 0) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) E 、 F ，
x
? 6t ? 4(t ? 3) ，解得t ? 6 ，
? k ? 6t ? 36 ，
?反比例函數(shù)解析式為 y ? 36 ，
x
?OC ? 12 ．
當(dāng) x ? 12 時(shí)， y ? 36 ? 3 ，
12
?G(12, 3) ，
??CEG 的面積? 1 ? 3 ? 3 ? 9 ．
22
24．（12 分）已知拋物線 y ? x2 ? (2a ?1)x ? 2a(a 是常數(shù)）．
證明：該拋物線與 x 軸總有交點(diǎn)；
設(shè)該拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A(m, 0) ，若?8 ? m?? 5 ，求 a 的取值范圍；
在（2）的條件下，若 a 為整數(shù)，將拋物線在 x 軸下方的部分沿 x 軸向上翻折．其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象G ，請(qǐng)你結(jié)合新圖象，探究直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況．
【解答】（1）證明：設(shè) y ? 0 ，則0 ? x2 ? (2a ?1)x ? 2a ，
?△ ? (2a ?1)2 ? 4 ?1? (?2a) ? (1 ? 2a)2?0 ，
? x2 ? (2a ?1)x ? 2a ? 0 有實(shí)數(shù)根，
?該拋物線與 x 軸總有交點(diǎn)；
（2）解：?拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A(m, 0) ，
?0 ? m2 ? (2a ?1)m ? 2a ，
? m ? 1 或 m ? ?2a ，
??8 ? m?? 5 ，
??8 ? ?2a?? 5 ，
? 5 ?a ? 4 ；
2
（3）? 5 ?a ? 4 ，且 a 為整數(shù)，
2
? a ? 3 ，
?拋物線解析式為： y ? x2 ? 5x ? 6 ，
當(dāng) k ? 0 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 4 個(gè)， 如圖：當(dāng) k ? 0 時(shí)，
若 y ? kx ? 2 過(guò)點(diǎn)(?6, 0) 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 3 個(gè)，
即 k ? 1 ，
3
當(dāng)0 ? k ? 1 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 4 個(gè)，
3
當(dāng) k ? 1 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 2 個(gè)，
3
當(dāng) k ? 0 時(shí)，
若 y ? kx ? 2 過(guò)點(diǎn)(1, 0) 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 3 個(gè)， 即 k ? ?2 ，
當(dāng)?2 ? k ? 0 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 4 個(gè)，
當(dāng) k ? ?2 時(shí)，直線 y ? kx ? 2(k 為常數(shù)）與新圖象G 公共點(diǎn)有 2 個(gè)．
綜上所訴： k ? ?2 或 k ? 1 ，2 個(gè)； k ? ?2 或 1 ，3 個(gè)； ?2 ? k ? 1 ，4 個(gè)．
333
25．（12 分）如圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形，以 AD 為直徑的?O 交 AB 于點(diǎn) E ，連接 DE ，
DA ? 5 ， DE ? 4 ， DC ? 8 ．過(guò)點(diǎn) E 作直線l ，過(guò)點(diǎn)C 作CH ? l ，垂足為 H ．
求sin ?ADE 的值；
若l / / AD ，且 1 與?O 交于另一點(diǎn) F ，求 EF 的長(zhǎng)；
過(guò)點(diǎn) A 作 AM ? l ，垂足為 M ，當(dāng)直線l 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)時(shí)，求CH ? 5 AM 的最大值．
3
【解答】解：（1）? AD 是?O 的直徑，
??AED ? 90? ，
AD2 ? DE2
52 ? 42
? AE ??? 3 ，
?sin ?ADE ? AE ? 3 ；
AD5
如圖 1，
作 EG ? AD 于G ，作OM ? EF 于 M ，連接OE ，
??EGO ? ?OME ? 90? ， EF ? 2EM ，
? EF / / AD ，
??GEM ? 180? ? ?OGE ? 90? ，
?四邊形OGEM 是矩形，
?OM ? EG ，
?sin ?ADE ? EG ? 3 ，
DE5
?OM ? EG ? 3 DE ? 12 ，
55
OE 2 ? OH 2
? EM ??
? EF ? 7 ；
5
如圖 2，
? 7 ，
( ) ? ()
5
2
12
2
2
5
10
作 BN ? l 于 N ， BK ? CH 于 K ，
?CH ? l ，
??BNH ? ?KHN ? ?BKH ? 90? ，
?四邊形 BKHN 是矩形，
? HK ? BN ，
? AM ? l ，
? AM / / BN ，
??AEM ∽?BEN ，
? BN ? BE ，
AMAE
?四邊形 ABCD 是平行四邊形，
? AB ? CD ? 8 ，
? BE ? AB ? AE ? 5 ，
? BN
AM
? 5 ，
3
? BN ? 5 AM ，
3
?CH ? 5 AM ? CH ? BN ? CH ? KH ? CK?BC ? 5 ，
3
?當(dāng)l ? BC 時(shí)， CH ? CK ? 5 ， 如圖 3，
?CH ? 5 AM 的最大值為 5．
3

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