第17講重難點(diǎn)專項突破03二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問題-初中人教版八升九數(shù)學(xué)暑假銜接（教師版+學(xué)生版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、等腰三角形存在性
根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意．
1、知識內(nèi)容：
在用字母表示某條線段的長度時，常用的方法有但不僅限于以下幾種：
（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；
（2）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）
2、解題思路：
（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式；
（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗，舍去增根．
二、直角三角形存在性
在考慮△ABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點(diǎn)，需要用到勾股定理。
以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問題
1、知識內(nèi)容：
在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標(biāo)軸作為一個“天然”的直角存在，在解題時經(jīng)常會用到，作出垂直于坐標(biāo)軸的直線來構(gòu)造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計算來確定直角三角形．
2、解題思路：
（1）按三個角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論；
（2）計算出相應(yīng)的邊長等信息；
（3）根據(jù)邊長與已知點(diǎn)的坐標(biāo)，計算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)剖析】
題型一：等腰三角形存在性
1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D，其圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以A，C，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求出以為腰時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為
(2)存在，符合條件的點(diǎn)M有3個，其坐標(biāo)分別為或或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分兩種情況討論：① 當(dāng)時；② 當(dāng)時，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，，
∴代入得解得
∴拋物線解析式為．
（2）解：存在；
由（1）得：拋物線解析式為，
∴對稱軸，
當(dāng)時，解得或1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
由勾股定理，得，
，
，
∵為等腰三角形的腰，
① 當(dāng)時，即．解得，
∴，；
② 當(dāng)時，即，解得，
∴；
綜上，符合條件的點(diǎn)M有3個，其坐標(biāo)分別為或或；
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式、三角形問題，掌握解題方法是關(guān)鍵．
2．（2023·廣東汕頭·汕頭市潮陽實驗學(xué)校校考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，已知．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為，此時
(3)存在，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)拋物線解析式得出對稱軸為直線，進(jìn)而得出，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而得出，根據(jù)四邊形的面積，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）先利用勾股定理求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分和，結(jié)合坐標(biāo)與圖形求解即可．
【詳解】（1）將代入拋物線解析式得
，
解得
拋物線解析式為
（2）拋物線的對稱軸為直線
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得
解得
直線的解析式為
設(shè)，則
四邊形的面積
當(dāng)時，四邊形的面積最大，最大值為，此時

（3），
，
當(dāng)時，點(diǎn)坐標(biāo)為或，
當(dāng)時，點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時，設(shè)
則，
解得：，則點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·湖北武漢·九年級校考期中）如圖，拋物線與x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，．
(1)直線過A，C兩點(diǎn)，
①如圖1，求拋物線的解析式；
②如圖1，將直線向右平移，A的對應(yīng)點(diǎn)為B，且，以為一邊作等腰三角形，求N的坐標(biāo)；
(2)如圖2，M為拋物線第一象限上任意一點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)H，若，求a的值．
【答案】(1)①；②N點(diǎn)坐標(biāo)為或或，或或或
(2)
【分析】（1）①待定系數(shù)法即可求解；②求出，，分、兩種情況，分別求解即可；
（2）求出直線的解析式為、直線的解析式為，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：①直線過，兩點(diǎn)，
，
將、點(diǎn)坐標(biāo)代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
②當(dāng)時，，
解得或，
，
將直線向右平移，的對應(yīng)點(diǎn)為，
平移后的直線的解析式為，
，，
，
，
，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，
，
，，
，
，，
，，
當(dāng)時，或或，；
當(dāng)時，或或；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或，或或或；
（2）解：，
，
設(shè)，直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
同理可得直線的解析式為，
，，
，
，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．
4．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求的面積；
(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過作于點(diǎn)，求線段的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)，將沿直線平移得到（不與重合），若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
【答案】(1)18
(2)，此時
(3)或或
【分析】（1）分別令和解方程可得點(diǎn)、、的坐標(biāo)，再用三角形面積公式求出面積即可；
（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想找到和的數(shù)量關(guān)系，求最大值轉(zhuǎn)化為求最大值問題，利用配方法求最值即可；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把圖象的平移轉(zhuǎn)化為水平和左右平移，則向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，得出新拋物線解析式，求出兩個拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，則，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立關(guān)于的方程求解，即可解答．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，解得：，，
，，，
，，
；
（2）解：過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

，，
，
，
∵軸，
，
，
，則當(dāng)最大時，也最大，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
設(shè)，，
，
當(dāng)時，最大，則，
線段的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3），
將拋物線沿射線平移個單位得到新拋物線，
即原拋物線向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，
原拋物線，
新拋物線，
令，
解得，
，
設(shè)向下平移個單位長度，向左平移個單位長度，
則，，
，
，
，
，
①當(dāng)時，
，
（舍去）或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時，
，
或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)最值，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型二：直角三角形存在性
5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式：
(2)證明：為直角三角形：
(3)在拋物線上除點(diǎn)外，是否還存在另外一個點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)存在，
【分析】（1）將、、的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求解即可；
（2）由（1）得到邊，，的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定為直角三角形；
（3）根據(jù)拋物線的對稱性可得另一點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：、、，
，
，
，
，
，則，
是直角三角形；
（3）解：存在，
當(dāng)軸，即點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，而點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
把代入得：，
，．
點(diǎn)坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·廣東梅州·一模）已知拋物線與軸有兩個不同的交點(diǎn)．
(1)試確定的取值范圍．
(2)設(shè)該拋物線與軸的交點(diǎn)為，，其中；拋物線與y軸交于點(diǎn)，如圖所示．
①求該拋物線的表達(dá)式并確定點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)；
②連接，動點(diǎn)以每秒個單位長度的速度由向運(yùn)動，同時動點(diǎn)E以每秒個單位長度的速度由向運(yùn)動，連接，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置時，、同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．當(dāng)為直角三角形時，求的值．
【答案】(1)
(2)，，；或
【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸有兩個不同的交點(diǎn)，得方程有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式，即可；
（2）把點(diǎn)代入拋物線中，求出拋物線的解析式，再根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可；根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，得是等腰直角三角形，得，根據(jù)為直角三角形，分類討論：當(dāng)時，根據(jù)勾股定理求出；當(dāng)時，根據(jù)勾股定理求出，即可．
【詳解】（1）∵拋物線與軸有兩個不同的交點(diǎn)，
∴方程有兩個不同的實數(shù)根，
∴，
∴．
（2）點(diǎn)代入拋物線中，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為：，
當(dāng)時，，
∴點(diǎn)，
當(dāng)時，，，
∴點(diǎn)；
∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
：當(dāng)，，
∴，，
∴，
∵動點(diǎn)以每秒個單位長度的速度由向運(yùn)動，同時動點(diǎn)E以每秒個單位長度的速度由向運(yùn)動，
∴，，，
∴，
∴；
當(dāng)，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
綜上所述，當(dāng)為直角三角形時，或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．
7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接．

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；
(2)若已知x軸上一點(diǎn)，則在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，，對稱軸是；
(2)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或．
【分析】（1）分別令和進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)，分別按C、N、Q三點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，應(yīng)用勾股定理進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：由得到：，
令，則，
∴或，
則，，對稱軸是．
令，則，
所以，
綜上所述，，，，對稱軸是；
（2）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)．
設(shè)．
又，
∴，，，
①當(dāng)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時，則，即，
解得，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)是；
②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，，即，
解得，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)是；
③當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，，即，
解得或，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或．
【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的三種形式，勾股定理以及兩點(diǎn)間的距離公式．注意分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
8．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，已知，，且．

(1)試求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
(2)分別求出直線和拋物線的解析式．
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或或或
【分析】（1）由，，可由勾股定理求，進(jìn)而得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法即可求解函數(shù)解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，分三類討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時，分別建立勾股定理方程求解點(diǎn)P坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，即．
∵，
在中，根據(jù)勾股定理得，
即點(diǎn)B坐標(biāo)為．
（2）把分別代入中，
得，解得．
∴直線解析式為；
把、、分別代入得
，解得．
∴拋物線的解析式是．
（3）在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使得以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下：
∵拋物線的解析式是，
∴拋物線對稱軸為直線．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為．
①當(dāng)時，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故點(diǎn)；
②當(dāng)時，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故點(diǎn)；
③當(dāng)時，有．
∵，，，
∴．
解得：，，
∴，．
綜上所述，使得為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系數(shù)法求解析式，分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大．第（3）問特別注意分類討論思想的運(yùn)用．做到不重不漏．
9．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若平分時，試求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)Q，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）首先求出直線和的表達(dá)式，然后得到，，，進(jìn)而表示出，，最后利用平分列方程求解即可；
（3）首先根據(jù)題意表示出，，，然后分兩種情況討論，分別根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】（1）將，代入得，
，解得
∴；
（2）當(dāng)時，
∴
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，
∴
∴設(shè)直線的表達(dá)式為
∴，解得
∴直線的表達(dá)式為
同理可得直線的表達(dá)式為
∵
∴，，
∴，
∵平分
∴
∴
∴解得，（舍去）
∴；
（3）∵，，
∴，，
當(dāng)時，

∴
∴
∴解得或（舍去），
∴；
當(dāng)時，

∴
∴
∴解得或（舍去）
∴
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；解（2）的關(guān)鍵是利用對稱得出D點(diǎn)坐標(biāo)，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；解（3）的關(guān)鍵是利用勾股定理得出關(guān)于m的方程，并分類討論，以防遺漏．
10．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)們對二次函數(shù)（n為正數(shù)）進(jìn)行如下探究：
(1)同學(xué)們在探究中發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖像除與y軸交點(diǎn)不變外，還經(jīng)過一個定點(diǎn)，請寫出點(diǎn)坐標(biāo) ；
(2)有同學(xué)研究后認(rèn)為，該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)不會落在第一象限，你認(rèn)為是否正確，請說明理由；
(3)若拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，且交點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，請幫興趣小組同學(xué)求出的值.
【答案】(1)
(2)正確；理由見解析
(3)或
【分析】（1）將函數(shù)解析式變形，使得含的項為0，可得或，進(jìn)而即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出縱坐標(biāo)小于或等于0，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得交點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)頂點(diǎn)到軸的距離等于,建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：
，
當(dāng)時，即或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴；
故答案為：．
（2）解：正確，理由如下，
∵，，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為，
即該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)不會落在第一象限；
（3）解：當(dāng)時，，
即
∴或
設(shè)拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，則，則
依題意，為等腰直角三角形的斜邊，頂點(diǎn)坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為
∴
當(dāng)，時，即，
∴，解得：（舍去）或
當(dāng)時，即，
∴，
解得：或（舍去），
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值為，
(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設(shè)（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，
∵拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過，
直線解析式為，
當(dāng)時，，
；
綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點(diǎn)最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
題型三：等腰三角形存在性
12．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的對稱軸上的點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)存在，的坐標(biāo)為或
【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法即可求解，令即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）記拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)為，則，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，如圖點(diǎn)、分別在點(diǎn)的位置，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得，，設(shè)，則，代入可得的值，從而求得的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，如圖點(diǎn)、分別在點(diǎn)的位置，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
令得：，
解得，，
；
（2）解：存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，理由如下：
記拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)為，則，
①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，如圖點(diǎn)、分別在點(diǎn)的位置，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：

，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
設(shè)，則，
將代入得：，
解得（舍去）或；
；
②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，如圖點(diǎn)、分別在點(diǎn)的位置，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：

，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
設(shè)，則，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
．
綜上所述，E的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)將該拋物線平移，所得拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)B．如果以點(diǎn)A，O，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，那么應(yīng)將拋物線怎樣平移？為什么？
【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
(2)將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位或?qū)⒃瓛佄锞€向右平移4個單位，再向下平移6個單位，理由見解析
【分析】（1）把P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，將其化為頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用A點(diǎn)坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點(diǎn)的變化即可得到平移的過程．
【詳解】（1）解：將和，代入中得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為，
∴，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）∵是等腰直角三角形，，點(diǎn)在軸上，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或，
可設(shè)平移后的拋物線解析式為，
①當(dāng)拋物線過點(diǎn)，時，代入可得，
，
解得，
∴平移后的拋物線為，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位即可；
②當(dāng)拋物線過點(diǎn)，時，代入可得∶
，
解得，
∴平移后的拋物線為，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴將原拋物線向右平移4個單位，再向下平移6個單位即可；
綜上可得：將原拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位或?qū)⒃瓛佄锞€向右平移4個單位，再向下平移6個單位．
【點(diǎn)睛】此題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與方程的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)平移和分類討論等．求出平移前后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)確定平移的方式是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)，理由見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，求得另一個解，進(jìn)而即可求解；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，，代入
得
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵點(diǎn)，，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此時，
綜上所述，或或；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，
∵點(diǎn)，，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對于，當(dāng)時，，即，
對于，當(dāng)時，，即，
∵在拋物線上，則
∴
∴為定值．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(a為常數(shù)，且)，此拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作y軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合．

(1)拋物線的對稱軸為直線_______；
(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時，
①求此拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)(m為常數(shù))時，y的最小值為，求m的值；
(3)若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，當(dāng)以點(diǎn)A，B，P三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時，求出a的值．
【答案】(1)2
(2)①；②或3
(3)或3
【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式求對稱軸即可；
（2）①由拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得，從而得到二次函數(shù)的解析式；
②分，，三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可；
（3）由以點(diǎn)A，B，P三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形可知點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，從而得到，從而得解．
【詳解】（1）解：依題意得∶ 拋物線的對稱軸為直線
故答案為：2；
（2）解：①∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
，解得，
拋物線的解析式為．
②當(dāng)，即時，
此時開口向上，在上，y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)時，y取最小值，即
解得(不合題意，舍去)，；
當(dāng)，即時，
此時對稱軸處取最小值，
∴當(dāng)時，y的最小值為，不存在最小值為的情況；
當(dāng)時，此時開口向上，在上，y隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)時，y取最小值，即，
解得，(不合題意，舍去)．
綜上所述，m的值為或3．
（3）解：∵以點(diǎn)A，B，P三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，
∴點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，(否則點(diǎn)P在直線或y軸上，不合題意)
設(shè)與對稱軸的交點(diǎn)為Q，則根據(jù)對稱性可知點(diǎn)Q是的中點(diǎn)．
作出圖形如下：

令，解得，
∴
又令，解得
∴
∴，
又∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，
∴
∵點(diǎn)A，B，P三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，
∴，
∴
又∵點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，
解得：或3
即a的值為或3．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合等知識，掌握相關(guān)知識和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2022·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，線段BC⊥y軸交此拋物線于點(diǎn)D，且CD＝BC，則△ABC的面積為（）
A．24B．12C．6D．3
【答案】B
【分析】由可得點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸所在直線解析式，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再通過求出長度，通過三角形面積底高求解．
【詳解】解：拋物線對稱軸為直線，
點(diǎn)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
．
，
，
．
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
2．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）拋物線y＝x2上有三個點(diǎn)A、B、C，其橫坐標(biāo)分別為m、m+1、m+3，則的面積為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】把橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得相應(yīng)的縱坐標(biāo)；設(shè)出直線的解析式，把，兩點(diǎn)代入，即可求得直線的解析式，作軸，交直線于點(diǎn)，可得的長度，那么的面積可分為和的面積的和，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：如圖：
拋物線上有三個點(diǎn)、、，其橫坐標(biāo)分別為、、，
，，，，，
設(shè)直線的解析式為，則有，
解得：，
∴直線的解析式為：，
的長為，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形面積公式得到．
3．（2022秋·四川涼山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，P為AC上的一個動點(diǎn)，則有以下結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線；②拋物線的最大值為；③；④OP的最小值為．則正確的結(jié)論為（）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】①由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，可得對稱軸；②用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，再求其最大值即可；③由拋物線求得A、B、C的坐標(biāo)，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④當(dāng)OP⊥AC時，OP取最小值，根據(jù)等面積求得OP即可．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴拋物線的對稱軸為直線，
故①正確；
設(shè)拋物線關(guān)系式為：，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴-4a=2，解得：，
∴拋物線關(guān)系式為：，
∴當(dāng)時，y有最大值，
故②錯誤；
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），
∴AB=5．
當(dāng)x=0時，y=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③正確；
當(dāng)OP⊥AC時，OP取最小值，
此時根據(jù)三角形的面積可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值為．
故④正確；
故正確的有：①③④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)距離公式，等面積求高，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積得OP的長．
4．（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，DE//AB則S△BDE的最大值是（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由是等腰直角三角形，，知是等腰直角三角形，設(shè)，則，可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】解：是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
設(shè)，則，
，
，
時，最大，最大值是4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表達(dá)，熟練應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．
5．（2022春·黑龍江大慶·九年級?？计谥校┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c>3b；③當(dāng)△ABC是等腰三角形時，a的值有2個；④當(dāng)△BCD是直角三角形時，a＝．其中正確的個數(shù)（）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】由圖象可得對稱軸為直線，可得，可判斷①；將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得，可判斷②；由等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離公式，可求的值，可判斷③；由直角三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)距離可求或，可判斷④，即可求解．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
對稱軸為直線，
，
，故①正確，
當(dāng)時，，
，
，
，故②錯誤；
二次函數(shù)，
點(diǎn)，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)是等腰三角形時，的值有2個，故③正確；
二次函數(shù)，
頂點(diǎn)，
，，，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
當(dāng)是直角三角形時，或，故④錯誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
6．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，正方形的邊在軸上，，在拋物線上，連結(jié)，，是正三角形，，則陰影部分的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)正方形與拋物線的對稱性，可得陰影部分面積為，先求得拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)對稱性設(shè)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，
∵是正三角形，，
∴
∴
設(shè)過的拋物線解析式為，
將點(diǎn)代入，得
∴
∴拋物線解析式為，
∵四邊形是正方形，且關(guān)于軸對稱，
∴
設(shè)，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
設(shè)直線的解析式為，
∴
∴
∴直線的解析式為
∵在上，
∴的橫坐標(biāo)為
代入
得
∴
∴
∴陰影部分面積為
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·四川成都·一模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，其圖像與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．在下面四個結(jié)論中：
①；
②；
③只有當(dāng)時，是等腰直角三角形；
④使為等腰三角形的值可以有兩個．其中正確的結(jié)論有
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，
∵圖像與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴對稱軸x＝1，
∴當(dāng)x＝1時，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故①正確；
②∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴
∴結(jié)論②正確．
③如圖1，連接AD，BD，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
，
要使△ABD是等腰直角三角形，
則AD＝BD，∠ADB＝90°，
∵DE⊥x軸，
∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴DE＝BE，
即||2，
又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴||＝2，a＞0，
解得a，
∴只有當(dāng)a時，△ABD是等腰直角三角形，
結(jié)論③正確
④要使△ACB為等腰三角形，
則AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，
Ⅰ、當(dāng)AB＝BC＝4時，
在Rt△OBC中，
∵OB＝3，BC＝4，
∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，
即c2＝7，
∵拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅱ、當(dāng)AB＝AC＝4時，
在Rt△OAC中，
∵OA＝1，AC＝4，
∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，
即c2＝15，
∵拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅲ、當(dāng)AC＝BC時，
∵OC⊥AB，
∴點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴AO＝BO，
這與AO＝1，BO＝3矛盾，
∴AC＝BC不成立．
∴使△ACB為等腰三角形的a值可以有兩個：．
結(jié)論④正確．
故答案選：D
【點(diǎn)睛】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號的確定：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x判斷符，（3）c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；（4）b2﹣4ac由拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)確定：①2個交點(diǎn)，b2﹣4ac＞0；②1個交點(diǎn)，b2﹣4ac＝0；③沒有交點(diǎn)，b2﹣4ac＜0．
8．（2022秋·浙江·九年級階段練習(xí)）小明發(fā)現(xiàn)，將二次函數(shù)的圖象在x軸及其上方的部分向右平移得到，這兩部分組成的圖案酷似某快餐品牌的lg．經(jīng)測量，該圖案兩個頂點(diǎn)間的距離與底部跨度的比值為，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，若恰好為等腰直角三角形，則a的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式得到點(diǎn)A坐標(biāo)，對稱軸，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，設(shè)，求出x值，得到平移距離，可得的解析式，令求出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求出a值，根據(jù)開口方向得到結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，對稱軸為直線，則，
∵，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴移動距離為，
∴，
，，
令，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵開口朝下，
∴，．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意結(jié)合圖像，求出平移距離．
9．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）拋物線交x軸于，，交y軸的負(fù)半軸于C，頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是等邊三角形時，拋物線解析式為．其中正確的有（）個．

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)的交點(diǎn)是，，可知對稱軸為，從而可判斷①；根據(jù)①的結(jié)論及可得與的關(guān)系，從而判斷②；將、代入化簡即可判斷③；當(dāng)是等邊三角形時，可知代入二次函數(shù)解析式，結(jié)合，判斷④．
【詳解】解：∵的交點(diǎn)是，，
∴拋物線的對稱軸為：，
∴，
∴，即，故①錯誤；
∵在二次函數(shù)的圖象上，
∴，
∴，
∴，故②錯誤；
∴ ，
∵拋物線開口向上，
∴，故③錯誤；
當(dāng)是等邊三角形時，如圖：

則，
又∵，，
∴，
∴代入二次函數(shù)解析式得：，
又、，
即，
∴，
∴，
∴物線解析式為，
故④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論是①，共一個，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵，本題屬于中檔題，有些難度．
10．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，且經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸是直線，下列說法：①；②是關(guān)于x的方程的一個根；③若點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則；④設(shè)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，若是等腰三角形，則，其中正確的個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸以及與軸的交點(diǎn)即可判斷選項①；由圖象得出時對應(yīng)的函數(shù)值等于0，即可判斷②；由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可判斷④．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
拋物線與軸正半軸相交，
，
對稱軸在軸右側(cè)，
，異號，
，
，故①正確；
圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，
拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，
是關(guān)于x的方程的一個根，故②正確；
∵點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，對稱軸為直線，
∴在拋物線上，
∵當(dāng)時，隨的增大而減小，，
則故③正確，
設(shè)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，
則，，
，
∵是等腰三角形，

當(dāng)時
在中，，
∴，
設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
解得：
當(dāng)時，

在,，
∴
設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
解得：，
∴是等腰三角形，則或，故④不正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用圖中信息解決問題
二、填空題
11．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┰谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+x+2與x軸交于點(diǎn)M、N（M在N左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的射線MD與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個交點(diǎn)為D，∠BMN=∠NMD，點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且∠MDP=∠BMN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______．
【答案】
【分析】作軸交MD于，如圖，證明B點(diǎn)和關(guān)于x軸對稱，再解方程得M（﹣2，0），N（4，0），接著求出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到（2，﹣2），利用待定系數(shù)法求出直線MD得解析式為yx﹣1，然后通過解方程組得D（6，﹣4），最后證明得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：作軸交MD于，如圖，
∵∠BMN＝∠NMD，
∴MN垂直平分BB′，
∴B點(diǎn)和關(guān)于x軸對稱，
當(dāng)y＝0時，，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴M（﹣2，0），N（4，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
當(dāng)x＝0時，y＝2，
∴A（0，2），
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1對稱，
∴B（2，2），
∴（2，﹣2），
設(shè)直線MD的解析式為y＝kx+b，
把M（﹣2，0），（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直線MD得解析式為yx﹣1，
解方程組，
∴D（6，﹣4），
∵∠BMN＝∠NMD，∠MDP＝∠BMN，
∴∠NMD＝∠MDP，
∴，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4）．
故答案為（0，﹣4）．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù) （a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、、，點(diǎn)在直線下方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為____．
【答案】
【分析】將點(diǎn)、、的坐標(biāo)求出，，設(shè)交x軸于點(diǎn)N，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得直線的解析式，聯(lián)立方程組即可求解．
【詳解】解：拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、、，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，解方程得，，，
∴，，，則，，，
∴在中，，
如圖所示，點(diǎn)點(diǎn)在直線下方的拋物線上運(yùn)動，設(shè)交x軸于點(diǎn)N
∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，解得：
∴，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得：，
∴，
∴，解方程組得，（舍去），，
當(dāng)時，，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與三角形的綜合運(yùn)用，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，列出方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·廣西防城港·九年級統(tǒng)考期末）如圖拋物線與直線相交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)，若為直角，則當(dāng)時自變量x的取值范圍是_______．
【答案】
【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式，再令，解得的值，再結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．
【詳解】解：設(shè)與y軸交于點(diǎn)D，如圖，則
∵，
∴，
∵拋物線對稱軸為y軸，
∴為等腰直角三角形，點(diǎn)D為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴拋物線解析式為，
令得：，
解得：，
∴當(dāng)時，．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再正確求出拋物線與x軸的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
14．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)、．若為等腰直角三角形，則的值是__________________．
【答案】/0.5
【分析】過作軸于，交于，求出、的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，即可求出答案．
【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)、，
拋物線的對稱軸是直線，且，關(guān)于直線對稱，
過作軸于，交于，
為等腰直角三角形，
，
，，
四邊形是正方形，
，，
，，，，
把、的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·九年級單元測試）已知點(diǎn)A是直線上一動點(diǎn)，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線交y軸于點(diǎn)B，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，連接AB、AC．若△ABC是直角三角形，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為___．
【答案】或或
【分析】分兩種情況：∠BAC=90°，則由題意得OA=OB，從而得到關(guān)于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，則點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于m的方程，解方程即可．
【詳解】由題意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵點(diǎn)A在直線上，
∴，
即，，
∵點(diǎn)B、點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱，
則．
①當(dāng)∠BAC=90°，則OA是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，
∴OA=OB，
∵，，
則，
由于m≠0，
解得：或，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)∠ACB=90°時，如圖，則AC⊥BC，此時點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象，直角三角形的性質(zhì)等知識，注意分類討論，避免遺漏．
16．（2022秋·福建廈門·九年級廈門一中?？茧A段練習(xí)）拋物線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B是拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)B在第二象限，以AB為邊，作等腰直角三角形ABP.其中，當(dāng)點(diǎn)Р恰好在y軸上時，點(diǎn)Р的坐標(biāo)為____________.
【答案】（0，1）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式畫出其圖像，過點(diǎn)作軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸與軸交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，從而得到，設(shè)，則，求解即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)果可求．
【詳解】解：令，
解得或，
，
令時，，
作出拋物線的圖像如圖：
過點(diǎn)作軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸與軸交于點(diǎn)，
為等腰直角三角形，，
，
，
在和中，
，
，
，
設(shè)，
則，
解得：或，
點(diǎn)B在第二象限，
舍去，
，
，
，
故答案為：（0，1）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
17．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)．以為邊在的下方作等邊三角形，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動到點(diǎn)E的過程中，點(diǎn)Q經(jīng)過路徑的長度為______．
【答案】4
【分析】當(dāng)點(diǎn)P在D時，等邊三角形為，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E時，等邊三角形為，連接、，證明，則，則，即可求解．
【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)P在D時，等邊三角形為，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E時，等邊三角形為，連接、，
則，，，
對于，令，則，令，解得或，
故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，
函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
由B、D的坐標(biāo)知，，而，
則，
即點(diǎn)Q經(jīng)過路徑的長度是4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)和幾何綜合，解題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
18．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是______．
【答案】4或或
【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，再分兩種情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，分別求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；
【詳解】解：由題意，得：，
解得：，
拋物線的解析式為：；
由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為，設(shè)點(diǎn)，，
，，，
，
當(dāng)時，則，
解得：（舍去）或4，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
當(dāng)時，，
解得：，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)縱坐標(biāo)為4或
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法，等腰三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，題目綜合性較強(qiáng)，屬于中考壓軸題．
三、解答題
19．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，，對稱軸是，與軸相交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或
【分析】（1）由對稱軸以及，建立關(guān)于，的方程組并求解即可；
（2）首先求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定，因為要滿足是以為底邊的等腰三角形，則應(yīng)滿足，從而確定直線并平分，即為直線，求其與對稱軸的交點(diǎn)即可；
（3）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求出直線解析式之后，通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合割補(bǔ)法表示出，并求出，即可建立方程求解．
【詳解】（1）解：由對稱軸為直線，得，
∵拋物線過點(diǎn)，
，解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：當(dāng)時，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
∵是以為底邊的等腰三角形時，有，
直線，
直線平分，
∴直線解析式為，
將代入得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則
，解得，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
，
由，得，
解得，，
存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，包括等腰三角形的存在性問題，三角形的面積問題等，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用割補(bǔ)法求解平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積問題是解題關(guān)鍵．
20．（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線L：與x軸交于，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線L的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)D；
(2)將拋物線L平移得到，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E，的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F．若以O(shè)，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，請你寫出平移過程，并說明理由．
【答案】(1)拋物線L的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
(2)有四種情況，詳見解析．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由題意可知可知是等腰直角三角形，故，若以O(shè)，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，則，故頂點(diǎn)坐標(biāo)有四種可能，由此確定平移方式．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線解析式得：
得：，解得：，
即拋物線的解析式：；
∵，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）如圖，

∵、，，
∴以O(shè)，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，則有，
∴頂點(diǎn)位置有四種可能：
①若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，此時將拋物線L向右平移4個單位，向下平移1個單位得到拋物線；
②若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，此時將拋物線L向左平移2個單位，向下平移1個單位得到拋物線；
③若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，此時將拋物線L向左平移2個單位，向下平移7個單位得到拋物線；
④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，此時將拋物線L向右平移4個單位，向下平移7個單位得到拋物線．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形全等、函數(shù)的平移等知識，根據(jù)全等確定平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸是直線．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)F是直線上一動點(diǎn)，M為拋物線上一動點(diǎn)，若為等腰直角三角形，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由可得出存在兩種情況：①取點(diǎn)與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，由此可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；②取點(diǎn)與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，由此可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；③取點(diǎn)，連接，延長交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，由點(diǎn)、的坐標(biāo)可求出直線的函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若為等腰直角三角形，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸是直線，且過點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將、、代入，得：
，解得：，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2），
存在三種情況．
①取點(diǎn)與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，
，，
此時為等腰直角三角形，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②取點(diǎn)與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，

，，
此時為等腰直角三角形，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③取點(diǎn)，連接，延長交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，
點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，，
，，
為等腰直角三角形，
軸，
為等腰直角三角形．
點(diǎn)，點(diǎn)，
直線的函數(shù)關(guān)系式為，
聯(lián)立直線和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
如圖，若為等腰直角三角形，
同①可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式以及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)的位置．
22．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（m為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)為D．
(1)求證：二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)；
(2)如果當(dāng)時，y的最大值為3，求m的值；
(3)當(dāng)時，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．二次函數(shù)圖象對稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)詳見解析
(2)
(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）根據(jù)的取值范圍即可證明；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出當(dāng)或時，y取最大值3，再分別計算即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況，分類討論即可得出答案．
【詳解】（1）當(dāng)，即時，
．
∴該二次函數(shù)的圖象與x軸必有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的對稱軸為．
∵該二次函數(shù)的開口向上，當(dāng)時，y的最大值為3，
∴當(dāng)或時，y取最大值3．
∵當(dāng)時，．
∴當(dāng)時，，
解得．
（3）存在．
當(dāng)時，，
∴，對稱軸．
當(dāng)時，，
解得：，，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴．
∴．
是等腰三角形，分三種情況：

①當(dāng)時，
∵，對稱軸，
∴，．
②當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
∴．
③當(dāng)時，點(diǎn)是的垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)，
如圖，設(shè)對稱軸與軸交于點(diǎn)，作的垂直平分線，交與點(diǎn)，交對稱軸與點(diǎn)，
則，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或或或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用分類討論的方法求解點(diǎn)G的坐標(biāo)是解題的難點(diǎn)．
23．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為C，對稱軸為直線l，l交x軸于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N在y軸上，且點(diǎn)N在點(diǎn)M上方，是否存在這樣的點(diǎn)P、N，使得以點(diǎn)P、M、N為頂點(diǎn)的三角形與全等，若存在，請求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為：或或或．
【分析】（1）令，得解方程求出的值，可得的坐標(biāo)，將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分和兩種情況，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)討論求解即可．
【詳解】（1）對于，令，得
解得，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴，
又
∴；
（2）由（1）知，，，
∵l交x軸于點(diǎn)D
∴
∴
∵軸,
∴

分兩種情況討論：
①當(dāng)時，，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或；
當(dāng)時，，
∴
∴
∴
當(dāng)時，，
∴
∴
∵
∴
②當(dāng)時，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或；
當(dāng)時，，
∴
∴
∵
∴
當(dāng)時，，
∴
∴
∴
綜上所述，點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過點(diǎn)A、C作直線．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)P為直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)E，求的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)M；連接，把線段沿直線平移，記平移后的線段為，當(dāng)以、、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)AE+PF的最大值為：；此時
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）先求出，，，
求出直線的解析式為：，分別過點(diǎn)A，P作y軸的平行線，分別交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)G，求出，，從而得出,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則，，得出，求出當(dāng)時，的最大值為，即可求出結(jié)果；
（3）先求出，令，求出，設(shè)，則，得出，，，分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，，
∴拋物線的解析式為：，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：令，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：
直線的解析式為：，
如圖，分別過點(diǎn)A，P作y軸的平行線，分別交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)G，
則，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵軸，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則，，
∴
∴當(dāng)時，的最大值為；
∴的最大值為：；此時；
（3）解：將拋物線沿射線方向平移個單位長度，即先向左平移1個單位，再向上平移3個單位，
∵拋物線的解析式為：，
∴，
令，
解得，
∴，
將線段沿直線平移到線段，
則設(shè)，則，
∵，
∴，，，
以、、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則需要分以下三種情況：
①當(dāng)時，
，
整理得，，
解得或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；
②當(dāng)時，
，
整理得，，
無解；
③當(dāng)時，
，
解得，
∴；
綜上，符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值，解直角三角形，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法，注意分類討論．
25．（2022·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，交軸于點(diǎn)將直線以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)，交軸于點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；
(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，將沿射線方向以每秒個單位的速度平移，記平移后的為，平移時間為秒，當(dāng)為等腰三角形時，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或．
【分析】拋物線與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，可求出，，，再根據(jù)∽可得出，從而求出，即得直線的解析式，即直線的解析式為：；
由題意，令點(diǎn)，則點(diǎn)，于是，可知當(dāng)時，取得最大值，將代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；
由題意連接，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，令，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，得從而得，，，為等腰三角形時有三種情況，當(dāng)時，解得：當(dāng)時，解得：或不符合題意，舍去當(dāng)時，解得：，得出結(jié)論．
【詳解】（1）由題意知，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，
令，解得，令，解得：，；
，，
，，
直線以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)，交軸于點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)
即
∽
點(diǎn)的坐標(biāo)為：
直線的解析式為：，
（2）如圖，

過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
由知，，令點(diǎn)，則點(diǎn)，
，
當(dāng)時，取得最大值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）如圖

連接，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，
由平移可得：，
∴，
又∵，
∴
∴
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由聯(lián)立解得(舍去)，，
∴
，，
當(dāng)時，，解得：
當(dāng)時，則，解得：或不符合題意，舍去
當(dāng)時，則，解得：；
所求的值為：或或或．
【點(diǎn)睛】此題考查了直線解析式的求法，還考查了三角形的面積的最值問題及等腰三角形的性質(zhì)，要注意將三角形分成三種情況求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．

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