考點一 單項式數(shù)字規(guī)律問題 考點二 數(shù)字類規(guī)律探索
考點三 圖形類規(guī)律探索
典型例題

考點一 單項式數(shù)字規(guī)律問題
1．（2022·廣東·育才三中七年級期中）觀察下列單項式：，，，，…按規(guī)律可得第22個單項式是______．
【答案】
【分析】第奇數(shù)個單項式系數(shù)的符號為正，第偶數(shù)個單項式的符號為負，那么第n個單項式可用表示，第一個單項式的系數(shù)的絕對值為1，第2個單項式的系數(shù)的絕對值為3，那么第n個單項式的系數(shù)可用表示；第一個單項式除系數(shù)外可表示為，第2個單項式除系數(shù)外可表示為，第n個單項式除系數(shù)外可表示為．
【詳解】解：第n個單項式的符號可用表示；
第n個單項式的系數(shù)可用表示；
第n個單項式除系數(shù)外可表示為．
∴第n個單項式表示為，
∴第22個單項式是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了單項式，也考查數(shù)字的變化規(guī)律；分別得到符號，系數(shù)等的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵；得到各個單項式的符號規(guī)律是解決本題的易錯點．
2．（2022·廣東佛山·七年級期中）一列單項式按以下規(guī)律排列1，，，，，，……第2023個單項式為______．
【答案】
【分析】觀察單項式發(fā)現(xiàn)，系數(shù)的絕對值為連續(xù)的奇數(shù)，字母指數(shù)為序數(shù)減1，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵列單項式按以下規(guī)律排列1，，，，，，……
∴第個單項式為，
∴第2023個單項式為，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是單項式的系數(shù)與次數(shù)的含義，數(shù)字的規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022·江西·定南縣教學(xué)研究室七年級期中）有一列式子，按一定規(guī)律排列成，第n個式子為______________．（n為正整數(shù)）．
【答案】（或者）
【分析】按照規(guī)律判斷第n個式子的系數(shù)、字母及指數(shù)即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵從第二項起，每一項的系數(shù)都是前一項的倍，第一項式子的系數(shù)為，
則第n個式子的系數(shù)為，
按照字母的變化規(guī)律，第n個式子的字母及次數(shù)為，
∴第n個式子為或，
故答案為：（或者）．
【點睛】本題考查了根據(jù)式子的變化規(guī)律進行歸納表達，觀察并總結(jié)出式子的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
4．（2022·湖南長沙·七年級期中）觀察下面的一列單項式：，，，，，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第個單項式為______ ，第個單項式為______ ．
【答案】
【分析】根據(jù)符號的規(guī)律：為奇數(shù)時，單項式的系數(shù)為負，為偶數(shù)時，系數(shù)為正；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是指數(shù)的規(guī)律：第個對應(yīng)的指數(shù)是，進而解答即可．
【詳解】解：由系數(shù)及字母兩部分分析的規(guī)律：
①系數(shù)：，得系數(shù)規(guī)律為，
②字母及其指數(shù)：，得到字母規(guī)律為，
綜合起來規(guī)律為，
第個單項式是，第個單項式為，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了單項式的知識，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準單項式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵．
5．（2022·廣東實驗中學(xué)七年級期中）觀察下面的一列單項式：…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第個單項式為________，第個單項式為_________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，得出單項式的符號規(guī)律：為奇數(shù)時，單項式符號為負號，為偶數(shù)時，符號為正號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是；指數(shù)的規(guī)律：第個對應(yīng)的指數(shù)是，根據(jù)此規(guī)律，得出第個單項式，進而得出第個單項式．
【詳解】解：∵，
，
，
，
∴可得：單項式的符號規(guī)律：為奇數(shù)時，單項式符號為負號，為偶數(shù)時，符號為正號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是；指數(shù)的規(guī)律：第個對應(yīng)的指數(shù)是，
∴第個單項式為：，
∴第個單項式為：．
故答案為：；
【點睛】本題考查了單項式的規(guī)律問題，根據(jù)題意，正確找出規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
6．（2022·河北·衡水市第四中學(xué)七年級期中）觀察右邊一組單項式：x，，，，…
(1)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第8個單項式；
(3)當(dāng)和時分別求出前8項的和．
【答案】(1)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：第n個單項式中，的指數(shù)為，的指數(shù)為，即第n個單項式為
(2)
(3)當(dāng)時，前8項的和為；當(dāng)時，前8項的和為
【分析】（1）x的次數(shù)主次遞增，系數(shù)則與的乘方有關(guān)，據(jù)此總結(jié)規(guī)律即可作答；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可求解；
（3）將和代入即可求解．
【詳解】（1），
，
，
，
，
即第n個單項式為：，
發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：第n個單項式中，的指數(shù)為，的指數(shù)為；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，第n個單項式為，
則第8個單項式為：；
（3）當(dāng)時，前8項的和為，
當(dāng)時，前8項的和為，
即值分別為：和．
【點睛】本題主要考查了探索單項式規(guī)律的問題以及有理數(shù)的乘方運算，得到規(guī)律：第n個單項式中，的指數(shù)為，的指數(shù)為，即第n個單項式為，是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2021·河南周口·七年級期中）（1）觀察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32021的個位數(shù)字是______；
（2）觀察一列數(shù)：2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)是_______，根據(jù)此規(guī)律，如果用an（n為正整數(shù)）表示這列數(shù)的第n項，那么an＝_____．
（3）觀察下面的一列單項式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第7個單項式為______，第n個單項式為______．
【答案】（1）3；（2）2，2n；（3）14x7，（－1）n+12nxn
【分析】（1）觀察不難發(fā)現(xiàn)，每4個數(shù)為一個循環(huán)組，個位數(shù)字依次循環(huán)，用2021÷4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定答案即可；
（2）根據(jù)各數(shù)據(jù)得到第二項開始，每一項與前一項之比是2，則可得到第n項為2n；
（3）要看各單項式的系數(shù)和次數(shù)與該項的序號之間的變化規(guī)律，本題中，奇數(shù)項符號為正，數(shù)字變化規(guī)律是2n，字母變化規(guī)律是xn．
【詳解】解：（1）個位數(shù)字分別以3、9、7、1依次循環(huán)，
∵2021÷4=505……1，
∴32021的個位數(shù)字與循環(huán)組的第1個數(shù)的個位數(shù)字相同，是3，
故答案為：3；
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可得：從第二項開始，每一項與前一項之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)是2，
∵a1=2，a2=22，a3=23，a4=24，…，
∴an=2n，
故答案為：2，2n；
（3）由題意可知，奇數(shù)項符號為正，數(shù)字變化規(guī)律是2n，字母變化規(guī)律是xn，
∴第7個單項式為14x7，第n個單項式為（－1）n+12nxn，
故答案為：14x7，（－1）n+12nxn．
【點睛】本題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律探究，解題關(guān)鍵是認真觀察，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．
8．（2021·河南洛陽·七年級期中）觀察下列單項式：，，，，，，寫出第個單項式，為了解這個問題，特提供下面的解題思路．
(1)這組單項式的系數(shù)依次為多少，絕對值規(guī)律是什么？
(2)這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是什么？
(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第個單項式是什么？
(4)請你根據(jù)猜想，寫出第2020個，第2021個單項式．
【答案】(1)，3，，7，，，39，；連續(xù)的奇數(shù)
(2)從1開始的連續(xù)的整數(shù)
(3)
(4)；
【分析】（1）根據(jù)題目中的單項式，依次寫出這組單項式的系數(shù)及其絕對值即可解決此問；
（2）根據(jù)題目中的單項式，可以寫出這組單項式的次數(shù)就可以得出規(guī)律；
（3）根據(jù)（1）和（2）中的發(fā)現(xiàn)，可以寫出第個單項式；
（4）根據(jù)（3）中的猜想可以寫出第2020個，第2021個單項式．
（1）
解：（1）一組單項式：，，，，，，，
這組單項式的系數(shù)依次為，3，，7，，，39，，絕對值規(guī)律是從1開始的連續(xù)的奇數(shù)；
（2）
解：一組單項式：，，，，，，，
∴這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的一些連續(xù)的整數(shù)；
（3）
解：根據(jù)上面的歸納，猜想出第個單項式是；
（4）
解：當(dāng)時，這個單項式是；
當(dāng)時，這個單項式是．
【點睛】本題考查單項式規(guī)律變化、單項式系數(shù)和次數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項式的變化特點，寫出相應(yīng)的單項式．
考點二 數(shù)字類規(guī)律探索
1．（2020·廣西百色·二模）觀察下列等式：，，， ……根據(jù)上述規(guī)律，則第2020個式子的值是（ ）
A．8079B．8073C．8075D．8076
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得：第1個式子為，第2個式子為，第3個式子為，……，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：第1個式子為，
第2個式子為，
第3個式子為，
……，
∴第n個式子為，
∴第2020個式子的值是．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級）將正整數(shù)1，2，3，4……按以下方式排列
1 4 → 5 8 → 9 12 → ……
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑
2 → 3 6 → 7 10 → 11
根據(jù)排列規(guī)律，從2022到2024的箭頭依次為（ ）
A．↓ →B．→ ↑C．↑ →D．→ ↓
【答案】B
【分析】觀察圖中的數(shù)字與箭頭，可知每四個數(shù)字為一組，重復(fù)循環(huán)．再用所給的數(shù)字除以4，求出對應(yīng)的位置即可．
【詳解】解：∵，
∴2022應(yīng)在2對應(yīng)的位置上，
所以從2022到2024的箭頭依次為→↑，
故選：B．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．
3．（2022·江蘇泰州·七年級期中）已知整數(shù)滿足下列條件：，，，，…則的值為________．
【答案】100
【分析】先計算，再計算的值，找出規(guī)律求解即可．
【詳解】解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
……，
∴，
，
，
，
……，
∴，
故答案為：100．
【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過計算找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·江蘇徐州·七年級期中）一列數(shù)，按如下規(guī)律排列：，……則第n個數(shù)為 _____（結(jié)果用n的代數(shù)式表示，其中n是正整數(shù)）
【答案】
【分析】根據(jù)這一列數(shù)的前面幾項，分別從分子與分母兩個方面探索其規(guī)律，通過歸納得出一般的結(jié)論即可．
【詳解】解：將這一列數(shù)變形為：，……
其中，分子：，…，
第n個分子為：；
分母 ：，…，
第n個分母為：；
這一列數(shù)的第n個數(shù)為：（n是正整數(shù)）；
故答案為：．
【點睛】此題考查了列代數(shù)式、數(shù)字的變化規(guī)律，熟練運用歸納法、分別從分子與分母兩方面尋找規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇常州·七年級期中）己知數(shù)，規(guī)定運算：，，，，…，．按上述方法計算：當(dāng)時，______．
【答案】1013
【分析】通過計算發(fā)現(xiàn)運算結(jié)果2，，循環(huán)出現(xiàn)，再確定所求的和一共有674組循環(huán)多一個2，由此求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，，…，
∴運算結(jié)果2，，循環(huán)出現(xiàn)，
∵……1，
∴，
∵，
∴，
故答案為：1013．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計算，探索出運算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）是不為的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)．如：的差倒數(shù)是，現(xiàn)已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，
(1)求，，的值；
(2)根據(jù)（1）的計算結(jié)果，請猜想并寫出的值；
(3)計算：的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）將代入中即可求出，再將代入求出，同樣求出即可；
（2）從（1）的計算結(jié)果可以看出，從開始，每三個數(shù)一循環(huán)，而，則，，，然后計算的值；
（3）觀察可得、、、、都等于，將代入，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：將代入，得；
將代入，得；
將代入，得．
∴，，．
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，從開始，每三個數(shù)一循環(huán)，
∵，
∴，，，
∴．
（3）∵，，，，，
根據(jù)（2）的規(guī)律可得：
、、、、都等于，
∴
．
【點睛】本題考查數(shù)字類的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是要嚴格根據(jù)定義進行解答，同時注意分析循環(huán)的規(guī)律．
7．（2022·山東威海·期中）觀察下列等式：，，，請根據(jù)以上各式完成下列題目：
(1)= ， （n、d均為正整數(shù)），
(2)用簡便方法計算：
(3)試用以上方法思考，求值
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用所給的等式的形式進行求解即可；
（2）根據(jù)所給的等式，把各項進行裂項，從而可求解；
（3）把所給的式子的各項轉(zhuǎn)化為所給的等式的形式，從而可求解．
【詳解】（1）由題意得：， ，
故答案為：，
（2）原式=
=
=
= ；
（3）原式=
=
=
=
=
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
8．（湖北省武漢市東湖高新區(qū)2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）觀察下面三行數(shù)
，4，，16，，64……
0，6，，18，，66……
1，，4，，16，……
(1)第一行第7個數(shù)是________，第二行第7個數(shù)是________；
(2)第三行的第n（，n是正整數(shù)）個數(shù)是________；
(3)取每行的第8個數(shù)求和，計算這三個數(shù)的和．
【答案】(1)，
(2)
(3)386
【分析】（1）第一行的第n個數(shù)為，第二行的第n個數(shù)為第一行的第n個數(shù)加2，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)各數(shù)的值可得第三行的規(guī)律為；
（3）根據(jù)題意寫出每行的第8個數(shù)，然后求和計算即可．
【詳解】（1）觀察各數(shù)可得，
第一行的第1個數(shù)為，第二行的第1個數(shù)為，
第一行的第2個數(shù)為，第二行的第2個數(shù)為，
第一行的第3個數(shù)為，第三行的第3個數(shù)為，
第一行的第4個數(shù)為，第四行的第4個數(shù)為，
∴第一行的第n個數(shù)為，第二行的第n個數(shù)為第①行的第n個數(shù)加2，即，
∴第一行第7個數(shù)是，第二行第7個數(shù)是，
故答案為：，．
（2）∵第三行第1個數(shù)為，
第三行第2個數(shù)為，
第三行第3個數(shù)為，
第三行第4個數(shù)為，
∴第三行的第n（，n是正整數(shù)）個數(shù)是．
故答案為：；
（3）第一行第8個數(shù)是為，
第二行第8個數(shù)是為，
第三行第8個數(shù)是為，
∴．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的各種運算法則，由所給的數(shù)探究總結(jié)出存在的規(guī)律．
9．（2022·湖北武漢·七年級期中）觀察下面有一定規(guī)律的三組數(shù)：
（1），4，，8，，…；
（2），1，，5，，…；
（3），，，，，…；
解答下列問題：
(1)每組的第7個數(shù)分別是______，______，______；
(2)第二組和第三組的第個數(shù)分別是______；（用含的式子來表示）
(3)取每組的第個數(shù)，若這三個數(shù)的和為172，求的值．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)
【分析】（1）分別找出每組數(shù)的規(guī)律，寫出每組數(shù)的第七個即可；
（2）根據(jù)（1）中找出的規(guī)律，即可進行解答；
（3）將表示三組數(shù)據(jù)規(guī)律的代數(shù)式相加等于172，求解即可．
【詳解】（1）解：第一組數(shù)據(jù)第n個為：，
第二組數(shù)據(jù)第n個為：，
第三組數(shù)據(jù)第n個為：，
∴第一組數(shù)據(jù)第7個，第二組數(shù)據(jù)第7個為：，第三組數(shù)據(jù)第7個為：，
故答案為：，，．
（2）由（1）可知：第二組和第三組的第個數(shù)分別是，，
故答案為：，．
（3）設(shè)第一組的第個數(shù)為，則第二組的第個數(shù)為，第三組第個數(shù)為，
列方程得：，解得．
，．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是仔細觀察題目，歸納出每組數(shù)據(jù)的一般規(guī)律，并用代數(shù)式表示．
10．（2022·安徽·合肥市第四十二中學(xué)七年級期中）仔細觀察下列等式：
第一個：第二個：第三個：
第四個：……
(1)請你寫出第六個等式：___________；
(2)請寫出第n個等式：___________；（用含字母n的等式表示）；
(3)運用上述規(guī)律，計算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而寫出第6個等式
（2）根據(jù)題目中等式的變化規(guī)律，可以寫出第n個等式
（3）根據(jù)所求式子的特點和（2）中的結(jié)果，可以求得所求式子的值
【詳解】（1）第一個：
第二個：
第三個：
第四個：
第五個：
∴第六個：
（2）第一個：，即
第二個：，即
第三個：，即
第四個：，即
∴第個等式應(yīng)該是
（3）
【點睛】本題考查的是數(shù)字的變化類題型，根據(jù)題中所給出的式子找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵
考點三 圖形類規(guī)律探索
1．（2022·江蘇無錫·七年級期中）如圖，在紙面所在的平面內(nèi)，一只電子螞蟻從數(shù)軸上表示原點的位置點出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動個單位，其移動路線如圖所示，第次移動到，第次移動到，第次移動到，……，第次移動到，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】觀察圖形可知：，由，推出，由此即可解決問題．
【詳解】解：觀察圖形可知，點在數(shù)軸上，，
∵，
∴，點在數(shù)軸上，
∴，
故選：．
【點睛】本題考查三角形的面積，數(shù)軸等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．
2．（2022·山西臨汾·七年級期中）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是 _____．
【答案】10
【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．
【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，
第2個圖中H的個數(shù)為，
第3個圖中H的個數(shù)為，
則：第4個圖中H的個數(shù)為，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇揚州·七年級期中）如圖，用若干相同的小棒拼成含正五邊形的圖形，拼第1個圖形需要5根小棒；拼第2個圖形需要9根小棒；拼第3個圖形需要13根小棒……按此規(guī)律，拼第個圖形需要___________根小棒．
【答案】8089
【分析】由題意得每個圖形比前一個圖形多4根小棒，可歸納出此題結(jié)果．
【詳解】解：由題意得，第1個圖形需要小棒根數(shù)為：；
第2個圖形需要小棒根數(shù)為：；
第3個圖形需要小棒根數(shù)為：； ……，
∴第n個圖形需要小棒根數(shù)為：，
∴第2022個圖形需要小棒根數(shù)為：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了圖形變化類規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖案變化觀察、猜想、驗證而得到此題蘊含的規(guī)律．
4．（2022·上海市市西初級中學(xué)七年級期中）如圖，用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，第1個圖需棋子4枚，第2個圖需棋子7枚，第3個圖需棋子10枚，按照這樣的規(guī)律擺下去，那么第（，且為正整數(shù)）個圖形需棋子________枚（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】
【分析】根據(jù)已知圖形得出在4的基礎(chǔ)上，依次多3個，得到第n個圖中共有的棋子數(shù)．
【詳解】解：第一個圖需棋子4；
第二個圖需棋子；
第三個圖需棋子；
…
第n個圖需棋子(枚)．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形分析出存在的規(guī)律．
5．（2022·河北保定·七年級期中）下列是用“”按一定規(guī)律排列而成的圖案，第1個圖案由4個“”組成，第2個圖案由7個“”組成，
(1)動手操作：第3個圖案由______個“”組成；
按規(guī)則排列，發(fā)現(xiàn)第4個圖案由______個“”組成．
(2)探究發(fā)現(xiàn)：第n（n是正整數(shù)）個圖案由多少個“”組成，請用含字母n的代數(shù)式表示出來．
(3)應(yīng)用結(jié)論：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第2022個圖案由______個“”組成．
【答案】(1)10，13
(2)
(3)6067
【分析】（1）觀察圖形，總結(jié)規(guī)律，后面的圖形比前一個多3個“”，數(shù)出第三個圖形中“”的個數(shù)，用第三個的個數(shù)加上3，即可得出第四個圖形中“”的個數(shù)；
（2）仔細觀察圖形，總結(jié)規(guī)律即可解答；
（3）把代入（2）中得出的表達式即可求解．
【詳解】（1）解：由圖可知：第三個圖形中“”的個數(shù)為：10個，
第三個圖形中“”的個數(shù)為：（個），
故答案為：10，13．
（2）第n個圖案由個“”組成．
（3）當(dāng)時，．
故答案為：6067．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，總結(jié)出變化規(guī)律，并用代數(shù)式將一般規(guī)律表示出來．
6．（2022·福建寧德·七年級期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．
(1)按圖示規(guī)律完成下表：
(2)按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要 根火柴棒．（用含n的代數(shù)式表示）
(3)小靜同學(xué)說她按這種方式搭出來的一個圖形用了200根火柴棒，你認為可能嗎？如果可能，那么是第幾個圖形？如果不可能，請說明理由．
【答案】(1)17；21
(2)
(3)不能，理由見解析
【分析】（1）由圖可以看出，圖1火柴棒根數(shù)為5，圖2火柴棒根數(shù)為，圖3火柴棒根數(shù)為，由此可以得出圖4，圖5中火柴棒根數(shù)；
（2）根據(jù)圖示規(guī)律可得，第個圖形需要，即根火柴棒；
（3）用求解，可得，因為為正整數(shù)，故不可能．
【詳解】（1）解：由圖可以看出，
圖1中火柴棒根數(shù)為：5；
圖2中火柴棒根數(shù)為：；
圖3中火柴棒根數(shù)為：；
圖4中火柴棒根數(shù)為：；
圖5中火柴棒根數(shù)為：．
故答案為：17；21．
（2）解：根據(jù)（1）中的規(guī)律可得，
第個圖形中火柴棒根數(shù)為：，
故答案為：；
（3）解：不可能，理由如下：
設(shè)第個圖形用了200根火柴棒，其中為正整數(shù)，
則，解得，不符合題意舍去，
故不可能用了200根火柴棒按這種方式搭出來的一個圖形．
【點睛】本題考查了根據(jù)圖形找規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找出規(guī)律進而求解．
7．（2022·安徽蕪湖·七年級期中）如圖，利用黑白兩種顏色的五邊形組成的圖案，根據(jù)圖案組成的規(guī)律回答下列問題：
(1)圖案④中黑色五邊形有 個，白色五邊形有 個；
(2)圖案n中黑色五邊形有 個，白色五邊形有 個；（用含n的式子表示）
(3)圖案n中的白色五邊形可能為2022個嗎？若可能，請求出n的值；若不可能，請說明理由．
【答案】(1)4，13
(2)n，
(3)不可能，見解析
【分析】（1）不難看出后一個圖形中黑色五邊形比前一個圖形中黑色五邊形多1個，后一個圖形中白色五邊形比前一個圖形中白色五邊形多3個，據(jù)此可求解；
（2）結(jié)合（1）進行總結(jié)即可；
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵第1個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為：1，白色五邊形的個數(shù)為：4，
第2個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為：2，白色五邊形的個數(shù)為：，
第3個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為：3，白色五邊形的個數(shù)為：，
∴第4個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為：4，白色五邊形的個數(shù)為：，
故答案為：4，13；
（2）解：由（1）可得：第n個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為：n，白色五邊形的個數(shù)為：，
故答案為：n，；
（3）解：不可能，理由如下：
由題意得：，
解得：……2，
故圖案n中的白色五邊形不可能為2022個．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖案中所需白色地磚數(shù)量的變化，找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·安徽·測試·編輯教研五七年級期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．
(1)按圖示規(guī)律完成下表：
(2)按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要多少根火柴棒？
(3)搭第1011個圖形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)30，38
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)前3個圖的規(guī)律解答即可；
（2）根據(jù)前3個圖和（1）中結(jié)論總結(jié)規(guī)律即可；
（3）根據(jù)（2）中規(guī)律求解即可．
【詳解】（1）解：∵第1個圖形：6根；
第2個圖形：根；
第3個圖形：根；
∴第4個圖形：根；
第5個圖形：根；
故答案為：30，38．
（2）解：由（1）中結(jié)果可知，
搭第n個圖形需要根火柴棒．
（3）解：當(dāng)時，
根．
【點睛】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．
9．（2021·山東·青島志遠學(xué)校七年級期中）如圖各圖是棱長為的小正方體擺成的，如圖①中，從正面看有1個正方形，表面積為；如圖②中，從正面看有3個正方形，表面積為；如圖③中，從正面看有6個正方形，表面積為；
(1)第6個圖中，從正面看有多少個正方形？表面積是多少？
(2)第個圖形中，從正面看有多少個正方形？表面積是多少？
(3)是否存在某個圖形，它從正面和上面一共看到90個正方形？若存在，請求出這個圖形一共用了多少塊小正方體？若不存在，請說明理由．
【答案】(1)個正方形，表面積
(2)正方形個數(shù)有個，表面積為
(3)存在，這個圖形一共用了塊小正方體
【分析】（1）根據(jù)題意可知第6個圖中，從正面看有個正方形，據(jù)此解答即可；
（2）正面看到的正方形個數(shù)有個，據(jù)此解答即可；
（3）因為從正面和上面一共看到90個正方形，則，據(jù)此解答即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，第6個圖中，
從正面看有個正方形，
表面積為：；
（2）由題意知，從正面看到的正方形個數(shù)有個，
表面積為：；
（3）存在，
理由：因為從正面和上面一共看到90個正方形，則，
解得，
（個，
答：這個圖形一共用了塊小正方體．
【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，讀懂題意，根據(jù)題意得出圖形的變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
10．（2022·云南·楚雄市中山鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級期末）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條，如下面草圖所示：
(1)第4次捏合后可拉出______根細面條；
(2)第5次捏合后可拉出______根細面條；
(3)第n次（n為正整數(shù)）捏合后可拉出______ 根細面條；
(4)第 次捏合后可拉出256根細面條
【答案】(1)16
(2)32
(3)
(4)8
【分析】（1）每次捏合面條的根數(shù)都會變?yōu)樯弦淮蔚?倍，即可得到第4次捏合后可拉出的細面條的根數(shù)；
（2）每次捏合面條的根數(shù)都會變?yōu)樯弦淮蔚?倍，即可得到第5次捏合后可拉出的細面條的根數(shù)；
（3）每次捏合面條的根數(shù)都會變?yōu)樯弦淮蔚?倍，即可得到第n次捏合后可拉出的細面條的根數(shù)；
（4）令，求解即可．
【詳解】（1）解：第1次捏合為2根，
第2次捏合為根，，
第3次捏合為根，
第4次捏合為根，
故答案為：16；
（2）解：第5次捏合為根，
故答案為：32；
（3）由（1）可得，第n次捏合為根，
故答案為：；
（4）由題意可令，
∵，
∴，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，發(fā)現(xiàn)每次捏合面條的根數(shù)都會變?yōu)樯弦淮蔚?倍這一規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
圖形
1
2
3
4
5
…
火柴棒根數(shù)
5
9
13


…
圖形標(biāo)號
①
②
③
④
⑤
…
火柴棒根數(shù)
6
14
22
______________
______________
…

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