知識(shí)講解
事件的相互獨(dú)立性
(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．
(2)性質(zhì)：
①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也相互獨(dú)立．
互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．
條件概率
P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同
前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．
條件概率的三種求法
全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式為全概率公式.
（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).
（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.
貝葉斯公式
一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對(duì)任意的事件有
考點(diǎn)一、獨(dú)立事件的判斷
1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某家庭有三個(gè)孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨(dú)立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩；則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對(duì)立B．事件A與事件互斥且對(duì)立
C．事件與事件相互獨(dú)立D．事件A與事件相互獨(dú)立
2．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則（ ）
A．乙與丙相互獨(dú)立B．乙與丁相互獨(dú)立
C．甲與丙相互獨(dú)立D．甲與乙相互獨(dú)立
3．（2023春·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件 “第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．與不互斥且相互獨(dú)立B．與互斥且不相互獨(dú)立
C．與互斥且不相互獨(dú)立D．與不互斥且相互獨(dú)立
4．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（ ）
A．與互為對(duì)立B．與互斥
C．與相互獨(dú)立D．與相互獨(dú)立
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）有6個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑色，2個(gè)藍(lán)色，3個(gè)紅色．采用放回方式從中隨機(jī)取2次球，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍(lán)球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（ ）
A．甲與乙相互獨(dú)立B．甲與丙相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立D．乙與丁相互獨(dú)立
2．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B，C是三個(gè)隨機(jī)事件，“A，B，C兩兩獨(dú)立”是“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數(shù)字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則（ ）
A．C與D相互獨(dú)立B．A與D相互獨(dú)立
C．B與D相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立
4．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）（多選）有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（ ）
A．A與B互斥B．C與D對(duì)立
C．B與C相互獨(dú)立D．B與D相互獨(dú)立
考點(diǎn)二、獨(dú)立事件的乘法公式
1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某老師為了獎(jiǎng)勵(lì)考試成績(jī)優(yōu)異的同學(xué)，在微信群里發(fā)了一個(gè)拼手氣紅包.已知甲、乙、丙三人搶到的紅包金額超過(guò)1元的概率分別為，則這三人中至少有兩人搶到的紅包超過(guò)1元的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲獲得冠軍的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)球．假設(shè)事件“從乙箱中取出的兩球都是白球”， “從乙箱中取出的兩球都是黑球”， “從乙箱中取出的兩球一個(gè)是白球一個(gè)是黑球”，其對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（ ）
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大
5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）對(duì)于一個(gè)事件E，用表示事件E中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．在一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（ ）
A．A與D不互斥B．A與B互為對(duì)立C．A與C相互獨(dú)立D．B與C相互獨(dú)立
6．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若三個(gè)元件、、按照如圖的方式連接成一個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)元件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)元件正常工作且、中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，若元件、正常工作的概率依次為、，且這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為，則元件正常工作的概率為 .

7．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，某校團(tuán)委舉辦“強(qiáng)國(guó)復(fù)興有我”——黨的二十大精神知識(shí)競(jìng)答活動(dòng).某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三位同學(xué)同時(shí)回答一道有關(guān)二十大精神知識(shí)的問(wèn)題.已知甲同學(xué)答對(duì)的概率是，甲、丙兩位同學(xué)都答錯(cuò)的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對(duì)的概率是.若各同學(xué)答題正確與否互不影響.則甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對(duì)這道題的概率為 .
8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒(méi)有平局.
(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.
9．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The 19th Asian Games Hangzhu 2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來(lái)一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．
傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽就無(wú)法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來(lái)從敗者組殺上來(lái)拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？
這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為，其中對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為．最初分組時(shí)同組，同組．
(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？
(2)分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？
1．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知某口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的紅球和白球各若干個(gè)，若有放回地從口袋中每次摸取1個(gè)球，連續(xù)摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（ ）
A．B．
C．D．，大小不確定
2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在一段時(shí)間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲乙兩人各自行動(dòng)，則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去參觀博物館的概率是（ ）
A．0.3B．0.32C．0.8D．0.84
3．（2023·河南·校聯(lián)考二模）某知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)伍中至少有一人通過(guò)，則這支隊(duì)伍通過(guò)此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，乙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，丙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，且三人每次通過(guò)與否互不影響，則這支隊(duì)伍進(jìn)入決賽的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）（多選）甲、乙兩人參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)共設(shè)三輪，在每輪活動(dòng)中，甲、乙各回答一題，若一方答對(duì)且另一方答錯(cuò)，則答對(duì)的一方獲勝，否則本輪平局．已知每輪活動(dòng)中，甲、乙答對(duì)的概率分別為和，且每輪活動(dòng)中甲、乙答對(duì)與否互不影響，各輪活動(dòng)也互不影響，則（ ）．
A．每輪活動(dòng)中，甲獲勝的概率為
B．每輪活動(dòng)中，平局的概率為
C．甲勝一輪乙勝兩輪的概率為
D．甲至少獲勝兩輪的概率為
5．（2023·貴州遵義·?？寄M預(yù)測(cè)）公司要求甲、乙、丙3個(gè)人在各自規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成布置的任務(wù)，已知甲、乙、丙在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)的概率分別為，，，則3個(gè)人中至少2人在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)的概率為 ．
6．（2023·安徽合肥·二模）第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉行．為了讓更多的同學(xué)了解亞運(yùn)會(huì)，學(xué)校團(tuán)委舉行了“迎亞運(yùn)，猜謎語(yǔ)”活動(dòng)．甲、乙兩位同學(xué)組隊(duì)代表班級(jí)參加此次迷語(yǔ)競(jìng)猜活動(dòng)．比賽共兩輪，每人每輪各猜一個(gè)謎語(yǔ)．已知甲每輪猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為，乙每輪猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為，若甲、乙兩人每輪猜對(duì)謎語(yǔ)與否互不影響，前后兩輪猜對(duì)謎語(yǔ)結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在此次比賽中共猜對(duì)3個(gè)謎語(yǔ)的概率為 ．
7．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·統(tǒng)考二模）甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校進(jìn)行籃球比賽，各出一個(gè)代表隊(duì)，簡(jiǎn)稱(chēng)甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)．約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個(gè)隊(duì)，另一隊(duì)輪空；每場(chǎng)比賽的勝隊(duì)與輪空隊(duì)進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)隊(duì)下一場(chǎng)輪空，直至有一隊(duì)被淘汰；當(dāng)一隊(duì)被淘汰后，剩余的兩隊(duì)繼續(xù)比賽，直至其中一隊(duì)被淘汰，另一隊(duì)最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊(duì)首先比賽，丙隊(duì)輪空．設(shè)甲隊(duì)與乙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.5，甲隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.6，乙隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，乙隊(duì)獲勝概率為0.4．記事件A為甲隊(duì)輸，事件B為乙隊(duì)輸，事件C為丙隊(duì)輸，
(1)寫(xiě)出用A，B，C表示“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件，并求其概率；
(2)寫(xiě)出用A，B，C表示“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的事件，并求其概率；
(3)求“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的概率．
8．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）某足球俱樂(lè)部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時(shí)候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無(wú)需出場(chǎng)罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn),由甲隊(duì)球員先罰球,甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.
(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率;
(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分,甲隊(duì)暫時(shí)以2:0領(lǐng)先,求甲隊(duì)第5個(gè)球員需出場(chǎng)罰球的概率.
考點(diǎn)三、條件概率的計(jì)算
1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知事件A，B，C滿(mǎn)足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為互斥事件，事件C滿(mǎn)足：，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）算盤(pán)是我國(guó)一類(lèi)重要的計(jì)算工具．下圖是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個(gè)位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱(chēng)下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠至梁上，十位未撥動(dòng)，百位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105．現(xiàn)將算盤(pán)的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位、十位、百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？级＃ǘ噙x）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·廣東揭陽(yáng)·惠來(lái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個(gè)學(xué)校支教，每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件：“甲分配到學(xué)?！?；事件：“乙分配到學(xué)?！保瑒t（ ）
A．事件與互斥B．
C．事件與相互獨(dú)立D．
6．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）記A，B為隨機(jī)事件，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若事件A，B互斥，，，
B．若事件A，B相互獨(dú)立，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）（多選）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）1886年5月1日，芝加哥的二十一萬(wàn)六千余名工人為爭(zhēng)取實(shí)行八小時(shí)工作制而舉行大罷工，經(jīng)過(guò)艱苦的流血斗爭(zhēng)，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運(yùn)動(dòng)，1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國(guó)際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國(guó)際勞動(dòng)節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長(zhǎng)假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是
9．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)事件A，B，，，，則 .
10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，那么 ．
1．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）甲袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙袋中裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球.用分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（ ）
A．兩兩不互斥B．
C．與B是相互獨(dú)立事件D．
2．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）某校團(tuán)委組織“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走”主題征文比賽，評(píng)審結(jié)果顯示，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為，男生的征文獲獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的，，.現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等?jiǎng)的征文”為事件，“取出男生的征文”為事件，“取出女生的征文”為事件，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考階段練習(xí)）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（ ）
A．事件A與B相互獨(dú)立B．事件A與C為互斥事件
C．D．
4．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球，記事件A＝“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B＝“從乙袋中任取2球全是白球”，則（ ）
A．事件A與事件B相互獨(dú)立B．
C．D．
5．（2023秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）（多選）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）一個(gè)袋子中有編號(hào)分別為的4個(gè)球，除編號(hào)外沒(méi)有其它差異.每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.設(shè)“第一次摸到的球的編號(hào)為2”為事件，“第二次摸到的球的編號(hào)為奇數(shù)”為事件，“兩次摸到的球的編號(hào)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．事件與事件相互獨(dú)立
C．D．事件與事件互為對(duì)立事件
7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)為了鼓勵(lì)新能源汽車(chē)的發(fā)展，推行了許多購(gòu)車(chē)優(yōu)惠政策，包括：國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼?地方財(cái)政補(bǔ)貼?免征車(chē)輛購(gòu)置稅?充電設(shè)施獎(jiǎng)補(bǔ)?車(chē)船稅減免?放寬汽車(chē)消費(fèi)信貸等.記事件表示“政府推出購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)優(yōu)惠補(bǔ)貼政策”；事件表示“電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量增加”，，.一般來(lái)說(shuō)，推出購(gòu)車(chē)優(yōu)惠補(bǔ)貼政策的情況下，電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)量增加的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠補(bǔ)貼政策時(shí)增加的概率要大.基于以上情況，下列不等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．.
8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┈F(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽(yáng)明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則 .
9．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則 ．
10．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知甲罐中有個(gè)紅球、個(gè)黑球，乙罐中有個(gè)紅球、個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則 ．
考點(diǎn)四、全概率公式及應(yīng)用
1．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某餐館在網(wǎng)站有200條評(píng)價(jià)，好評(píng)率為，在網(wǎng)站有100條評(píng)價(jià)，好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，這家餐館的好評(píng)率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·云南·高三階段練習(xí)）有張獎(jiǎng)券，其中張可以中獎(jiǎng)，現(xiàn)有個(gè)人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相同，記事件“第個(gè)人抽中中獎(jiǎng)券”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件與互斥B．
C．D．
3．（2023·河北衡水·河北棗強(qiáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)甲乘汽車(chē)?動(dòng)車(chē)前往某目的地的概率分別為，汽車(chē)和動(dòng)車(chē)正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）有兩個(gè)書(shū)架，第一個(gè)書(shū)架上有4本語(yǔ)文書(shū)，6本數(shù)學(xué)書(shū)，第二個(gè)書(shū)架上有6本語(yǔ)文書(shū)，4本數(shù)學(xué)書(shū)．先從第一個(gè)書(shū)架上隨機(jī)取出一本書(shū)放到第二個(gè)書(shū)架上，分別以和表示從第一個(gè)書(shū)架上取出的書(shū)是語(yǔ)文書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)的事件；再?gòu)牡诙€(gè)書(shū)架上隨機(jī)取出一本書(shū)，以表示第二個(gè)書(shū)架上取出的書(shū)是語(yǔ)文書(shū)的事件，則（ ）
A．事件與事件相互獨(dú)立B．
C．D．
5．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)一模）（多選）有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起，第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．隨機(jī)取一個(gè)零件，記“零件為次品”， “零件為第臺(tái)車(chē)床加工” ，，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在某地A、B、C三個(gè)縣區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三個(gè)縣區(qū)的人數(shù)比分別為4：3：3，先從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，這個(gè)人患流感的概率是 .
7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開(kāi)2號(hào)箱之前，主持人先打開(kāi)了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開(kāi)甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.
(1)計(jì)算主持人打開(kāi)4號(hào)箱的概率；
(2)當(dāng)主持人打開(kāi)4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）
8．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.
(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車(chē)床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；
(3)參照第（2）問(wèn)給出判斷，求第1，2，3臺(tái)車(chē)床操作員對(duì)加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.
1．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知有兩箱書(shū)，第一箱中有3本故事書(shū)，2本科技書(shū)；第二箱中有2本故事書(shū)，3本科技書(shū)．隨機(jī)選取一箱，再?gòu)脑撓渲须S機(jī)取書(shū)兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書(shū)的條件下，第二次取到的也是科技書(shū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎幪?hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個(gè)球，設(shè)事件為第一次取出的球?yàn)閕號(hào)，事件為第二次取出的球?yàn)閕號(hào)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．事件與事件相互獨(dú)立D．，，兩兩互斥
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）（多選）甲箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，事件和分別表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，事件表示由乙箱取出的球是紅球，則（ ）
A．事件與事件相互獨(dú)立B．
C．D．
5．（2023·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）現(xiàn)有甲?乙兩個(gè)箱子，甲中有2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，6個(gè)白球，乙中有5個(gè)紅球和4個(gè)白球，現(xiàn)從甲箱中取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是紅球，黑球和白球的事件，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．兩兩互斥.
B．根據(jù)上述抽法，從乙中取出的球是紅球的概率為.
C．以表示由乙箱中取出的是紅球的事件，則.
D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同時(shí)再?gòu)募紫淙〕鲆磺?，則取出的兩球都是紅球的概率為.
6．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一位飛鏢運(yùn)動(dòng)員向一個(gè)目標(biāo)投擲三次，記事件“第次命中目標(biāo)”，，，，則 .
7．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒(méi)有平局）
(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率；
(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場(chǎng)的概率.
8．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在問(wèn)卷調(diào)查中，被采訪(fǎng)人有可能出于隱私保護(hù)而不愿意如實(shí)填寫(xiě)問(wèn)卷，導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)失真.某校高三級(jí)調(diào)查學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿(mǎn)意情況，為保護(hù)學(xué)生隱私并得到真實(shí)數(shù)據(jù)，采取如下“隨機(jī)化回答技術(shù)”進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查：
一個(gè)袋子中裝有五個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)黑球，3個(gè)白球、高三級(jí)所有學(xué)生從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一球.約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問(wèn)卷，若相同則按方式Ⅱ回答問(wèn)卷”.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問(wèn)卷中答“是”，否則答“否”；
方式Ⅱ：若學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿(mǎn)意，則在問(wèn)卷中答“是”，否則答“否”.
當(dāng)所有學(xué)生完成問(wèn)卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)答“是”，答“否”的比例，用頻率估計(jì)概率，由所學(xué)概率知識(shí)即可求得該校高三級(jí)學(xué)生對(duì)飯?zhí)梅?wù)滿(mǎn)意度的估計(jì)值.
(1)若某班有50名學(xué)生，用X表示其中按方式Ⅰ回答問(wèn)卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)若該年級(jí)的所有調(diào)查問(wèn)卷中，答“是”與答“否”的比例為，試估計(jì)該年級(jí)學(xué)生對(duì)飯?zhí)玫臐M(mǎn)意度.（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
考點(diǎn)五、貝葉斯概率公式及應(yīng)用
1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“狼來(lái)了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽(tīng)說(shuō)過(guò)：小孩第一次喊“狼來(lái)了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第二次喊“狼來(lái)了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒(méi)有狼；第三次狼真的來(lái)了，但是這個(gè)小孩再喊狼來(lái)了就沒(méi)人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠(chéng)實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說(shuō)謊的概率為；小孩是不誠(chéng)實(shí)的，則他說(shuō)謊的概率是．最初人們不知道這個(gè)小孩誠(chéng)實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠(chéng)實(shí)的概率是．已知第一次他說(shuō)謊了，那么他是誠(chéng)實(shí)的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．事件與事件B相互獨(dú)立
C．D．
3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件與事件相互獨(dú)立B．
C．D．
4．（2023秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的概率為 ．
1．（2023·湖北武漢·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車(chē)與客車(chē)的數(shù)量之比為，貨車(chē)中途停車(chē)修理的概率為0.02，客車(chē)為0.01，今有一輛汽車(chē)中途停車(chē)修理，則該汽車(chē)是貨車(chē)的概率為（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.3
2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球．若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率為
B．第二次抽到3號(hào)球的概率為
C．如果第二次抽到的是1號(hào)球，則它來(lái)自2號(hào)盒子的概率最大
D．如果將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的放法有300種
3．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）學(xué)校給每位教師隨機(jī)發(fā)了一箱蘋(píng)果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機(jī)拿了一個(gè)發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋(píng)果被分到第1份中的概率為 ．
4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某考生回答一道有4個(gè)選項(xiàng)的選擇題，設(shè)會(huì)答該題的概率是，并且會(huì)答時(shí)一定能答對(duì)，若不會(huì)答，則在4個(gè)答案中任選1個(gè).已知該考生回答正確，則他確實(shí)會(huì)答該題的概率是 .
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某校對(duì)高三男生進(jìn)行體能抽測(cè)，每人測(cè)試三個(gè)項(xiàng)目，1000米為必測(cè)項(xiàng)目，再?gòu)摹耙w向上，仰臥起坐，立定跳遠(yuǎn)”中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)進(jìn)行測(cè)試，則某班參加測(cè)試的5位男生測(cè)試項(xiàng)目恰好相同的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接受信號(hào)為1的概率為（ ）
A．0.475B．0.525C．0.425D．0.575
3．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）一個(gè)不透明的袋中裝有4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，事件A：“這3個(gè)球的顏色各不相同”，事件B：“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有甲?乙?丙三個(gè)工廠加工的同種產(chǎn)品各100件，按標(biāo)準(zhǔn)分為一?二兩個(gè)等級(jí)?其中甲?乙?丙三個(gè)工廠的一等品各有60件?70件?80件.從這300件產(chǎn)品中任選一件產(chǎn)品，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．選中的產(chǎn)品是甲廠的一等品與選中的產(chǎn)品是乙廠的二等品互斥
B．選中的產(chǎn)品是一等品的概率為
C．選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的二等品的概率為
D．選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品與選中的產(chǎn)品是二等品相互獨(dú)立
5．（2023·湖北荊門(mén)·荊門(mén)市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某人周一至周五每天6：30至6：50出發(fā)去上班，其中在6：30至6：40出發(fā)的概率為0.4，在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1；在6：40至6：50出發(fā)的概率為0.6，在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2，則小王某天在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為（ ）
A．0.3B．0.17C．0.16D．0.13
6．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.2，則在刮四級(jí)以上大風(fēng)的情況下，發(fā)生中度霧霾的概率為（ ）
A．0.5B．0.625C．0.8D．0.9
二、填空題
7．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校考三模）某學(xué)習(xí)小組共有11名成員，其中有6名女生，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，隨機(jī)從這11名成員中抽選2名任小組組長(zhǎng)，協(xié)助老師了解情況，表示“抽到的2名成員都是女生”，表示“抽到的2名成員性別相同”，則 .
8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為 .
9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知某產(chǎn)品的一類(lèi)部件由供應(yīng)商和提供，占比分別為和，供應(yīng)商提供的部件的良品率為，若該部件的總體良品率為，則供應(yīng)商提供的部件的良品率為 ．
10．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）從1，2，3，4，5，6，7中任取兩個(gè)不同的數(shù)，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則 ．
11．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）“五一”假期期間，小明和小紅兩位同學(xué)計(jì)劃去四川省圖書(shū)館與老師探討作業(yè)試卷上的圓錐曲線(xiàn)大題.如圖，小紅在街道處，小明在街道處，四川省圖書(shū)館位于處.二人均選擇最短路線(xiàn)并約定在天府廣場(chǎng)匯合，記事件：小紅經(jīng)過(guò)，事件：小紅經(jīng)過(guò)，則 .

三、解答題
12．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）某批規(guī)格相同的產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)工廠共同生產(chǎn)，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為2%，乙廠和丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率均為4%，三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的40%，40%，20%.
(1)任選一件產(chǎn)品，計(jì)算它是次品的概率；
(2)如果取到的產(chǎn)品是次品，分別計(jì)算此次品出自甲廠、乙廠和丙廠的概率.
13．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.
(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；
(2)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，若“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于6”則選擇方案一；否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說(shuō)明理由.
四、雙空題
14．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋子里裝有4個(gè)紅球3個(gè)白球3個(gè)藍(lán)球，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.則第一次摸到紅球的概率是 ，第一次沒(méi)有摸到紅球且第二次摸到紅球的概率是 .
15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，則A，B，C三個(gè)事件 （填“是”或“不是”）兩兩獨(dú)立，且 .
【能力提升】
一、單選題
1．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）用五個(gè)數(shù)字排成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，設(shè)事件{數(shù)字在的左邊}，事件{與相鄰}，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）根據(jù)某機(jī)構(gòu)對(duì)失蹤飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤的飛機(jī)中有70%的后來(lái)被找到，在被找到的飛機(jī)中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號(hào)，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開(kāi)始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年3月24日是第28個(gè)“世界防治結(jié)核病日”，我國(guó)的宣傳主題是“你我共同努力，終結(jié)結(jié)核流行”，呼吁社會(huì)各界廣泛參與，共同終結(jié)結(jié)核流行，維護(hù)人民群眾的身體健康.已知某種傳染疾病的患病率為5%通過(guò)驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽(yáng)性，患者中有2%的人診斷為陰性.隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其診斷結(jié)果為陽(yáng)性的概率為（ ）
A．0.46B．0.046C．0.68D．0.068
5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知顏色分別是紅、綠、黃的三個(gè)大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，一個(gè)綠球和一個(gè)黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，一個(gè)黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個(gè)紅球，兩個(gè)綠球（球的大小質(zhì)地相同）．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個(gè)球，則第二次取到黃球的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南·統(tǒng)考三模）設(shè)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且發(fā)生必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·遼寧·高三遼師大附中?？茧A段練習(xí)）已知事件A、B滿(mǎn)足，，則（ ）
A．B．
C．事件相互獨(dú)立D．事件互斥
二、多選題
8．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考一模）紅、黃、藍(lán)被稱(chēng)為三原色，選取其中任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色，已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍(lán)色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍(lán)色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)顏料各兩瓶，甲從六瓶顏料中任取兩瓶，乙再?gòu)挠嘞滤钠款伭现腥稳善?，兩人分別進(jìn)行等量調(diào)配，表示事件“甲調(diào)配出紅色”；表示事件“甲調(diào)配出綠色”；表示事件“乙調(diào)配出紫色”，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．事件與事件是獨(dú)立事件B．事件與事件是互斥事件
C．D．
9．（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）某個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個(gè)女孩”，則下列結(jié)論正確的是()
A．若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N互斥
B．若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N不相互獨(dú)立
C．若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N不互斥
D．若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N相互獨(dú)立
10．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）已知A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則（ ）
A．
B．若A，B為互斥事件，則
C．若，則A，B為相互獨(dú)立事件
D．若A，B為相互獨(dú)立事件，則
三、填空題
11．（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制．甲、乙兩隊(duì)小組賽中相見(jiàn)，積分規(guī)則如下：以或獲勝的球隊(duì)積3分，落敗的球隊(duì)積0分；以獲勝的球隊(duì)積2分，落敗的球隊(duì)積1分．若甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為0.6，則在甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分的條件下，甲隊(duì)前2局比賽都獲勝的概率是 ．(用分?jǐn)?shù)表示)
12．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）有甲、乙、丙三個(gè)開(kāi)關(guān)和A，B，C三盞燈，各開(kāi)關(guān)對(duì)燈的控制互不影響．當(dāng)甲閉合時(shí)A，B亮，當(dāng)乙閉合時(shí)B，C亮，當(dāng)丙閉合時(shí)A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨(dú)立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為 ．
13．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)口袋，其中甲口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球．第一次從甲口袋中任取1個(gè)球，將取出的球放入乙口袋中，第二次從乙口袋中任取一個(gè)球，則第二次取到2號(hào)球的概率為 ．
14．（2023·江蘇南京·?？级＃┠称髽I(yè)的一批產(chǎn)品由一等品零件、二等品零件混裝而成，每包產(chǎn)品均含有10個(gè)零件．小張到該企業(yè)采購(gòu)，利用如下方法進(jìn)行抽檢：從該企業(yè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1包產(chǎn)品，再?gòu)脑摪a(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的零件都是一等品，則決定采購(gòu)該企業(yè)產(chǎn)品；否則，拒絕采購(gòu)．假設(shè)該企業(yè)這批產(chǎn)品中，每包產(chǎn)品均含1個(gè)或2個(gè)二等品零件，其中含2個(gè)二等品零件的包數(shù)占，則小張決定采購(gòu)該企業(yè)產(chǎn)品的概率為 ．
四、解答題
15．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有四關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選手從第一關(guān)開(kāi)始依次通關(guān)，只有通過(guò)本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過(guò)率為0.7，第二關(guān)?第三關(guān)的通過(guò)率均為0.5，第四關(guān)的通過(guò)率為0.3，四關(guān)全部通過(guò)可以獲得一等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為500元），通過(guò)前三關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)（獎(jiǎng)金為200元），如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金可以累加.假設(shè)選手是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙兩位選手參加本次活動(dòng).
(1)求甲最后沒(méi)有得獎(jiǎng)的概率；
(2)已知甲和乙都通過(guò)了前兩關(guān)，求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為900元的概率.
16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開(kāi)，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.
(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；
(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.
17．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）人工智能是研究用于模擬和延伸人類(lèi)智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過(guò)計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ停挥型耆嗤募?、乙兩個(gè)袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球.從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又械瓤赡苊鲆粋€(gè)球，稱(chēng)為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率）.
(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；
(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對(duì)選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.
①求選到的袋子為甲袋的概率，
②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來(lái)袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案一，從原來(lái)袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.
18．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)，要求以班級(jí)為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，乙箱中有3個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級(jí)每位同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱．并分別統(tǒng)計(jì)兩班級(jí)學(xué)生測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長(zhǎng)王剛和二班班長(zhǎng)李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測(cè)評(píng)成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定班級(jí)的名次．
(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班級(jí)抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對(duì)題目的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1；二班抽取同學(xué)答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對(duì)題目的均值與方差；
(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．
19．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開(kāi)2號(hào)箱之前，主持人先打開(kāi)了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開(kāi)甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.
(1)計(jì)算主持人打開(kāi)4號(hào)箱的概率；
(2)當(dāng)主持人打開(kāi)4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）
20．（2023·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校分別有位同學(xué)和n位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)，假定所有同學(xué)成功的概率都是，所有同學(xué)是否成功互不影響．記事件A＝“甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次”，事件B＝“甲成功次數(shù)等于乙成功次數(shù)”．
(1)若，求事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；
(2)證明：．
【真題感知】
6.1
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
2．（江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)1次6點(diǎn)向上的概率是（ ）．
A．B．C．D．
二、雙空題
3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為
4．（2023·全國(guó)）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為 ；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為 ．
三、解答題
5．（·湖南·高考真題）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．
（1）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率．
6．（四川·高考真題）某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7，在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響．
(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
(2)求這三個(gè)人該課程考核都合格的概率(結(jié)果保留三位小數(shù))．
7．（四川·高考真題）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家對(duì)一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按規(guī)定拾取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否驗(yàn)收這批產(chǎn)品：
(1)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.3，從中任意取出4種進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有1件是合格產(chǎn)品的概率；
(2)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件產(chǎn)品合格時(shí)才接收這些產(chǎn)品，否則拒收，分別求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品為1件和2件的概率，并求該商家拒收這些產(chǎn)品的概率．
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．
附，
條件概率的定義
條件概率的性質(zhì)
已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱(chēng)為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．
當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq \f(P?A∩B?,P?B?).(其中，A∩B也可以記成AB)
類(lèi)似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
定義法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)
縮樣法
縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)
不夠良好
良好
病例組
40
60
對(duì)照組
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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