知識講解
1．簡單隨機抽樣
(1)定義：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．
(2)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．
2．分層抽樣
(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
(2)分層抽樣的應用范圍
當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．
3．頻率分布直方圖
(1)縱軸表示eq \f(頻率,組距)，即小長方形的高＝eq \f(頻率,組距)；
(2)小長方形的面積＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率；
(3)各個小方形的面積總和等于1.
頻率分布直方圖中的常見結論
(1)眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應的橫坐標．
(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．
4．頻率分布表的畫法
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq \f(極差,組數(shù))；
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．
5．條形圖、折線圖及扇形圖
(1)條形圖：建立直角坐標系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本(或某個范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條形圖．
(2)折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖．
(3)扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形圖．
6．百分位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義
(1)如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計算相應的累計百分位，則某一百分位所對應數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)．
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，
它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．
(2)第25百分位數(shù)又稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)；
第75百分位數(shù)又稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)．
(3)眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(4)平均數(shù)
一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
7．樣本的數(shù)字特征之方差
如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的
(1)標準差s＝ eq \r(\f(1,n)[?x1－\x\t(x)?2＋?x2－\x\t(x)?2＋…＋?xn－\x\t(x)?2]).
(2)方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
8. 平均數(shù)、方差的公式推廣
(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq \x\t(x)，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq \x\t(x)＋a.
(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
兩個變量的線性相關
(1)正相關
在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．
(2)負相關
在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．
(3)線性相關關系、回歸直線
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．
回歸方程
(1)最小二乘法
求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回歸方程
方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up6(^))＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) ?xi－\x\t(x)??yi－\x\t(y)?,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) ?xi－\x\t(x)?2)＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，,\(a,\s\up6(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(^))\x\t(x).))
回歸分析
(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．
(2)樣本點的中心
對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))稱為樣本點的中心．
(3)相關系數(shù)
當r>0時，表明兩個變量正相關；
當r2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；
當χ>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)；
當χ>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)．
考點一、簡單隨機抽樣
1．（2023·全國·高三專題練習）（多選）下列抽樣方法是簡單隨機抽樣的是（ ）
A．質(zhì)檢員從50個零件中一次性抽取5個做質(zhì)量檢驗
B．“隔空不隔愛，停課不停學”，網(wǎng)課上，李老師對全班45名學生中點名表揚了3名發(fā)言積極的
C．老師要求學生從實數(shù)集中逐個抽取10個分析奇偶性
D．某運動員從8條跑道中隨機抽取一條跑道試跑
2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為（ ）
①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．
②從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗．
③某班有56個同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽．
④盒子中共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里．
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·全國·高三專題練習）為了估計某自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號，不影響其存活，然后放回保護區(qū)，經(jīng)過適當?shù)臅r間，讓其和保護區(qū)中其余的天鵝充分混合；再從保護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如150只，查看其中有記號的天鵝，設有20只．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量為（ ）
A．4000B．3000C．1500D．750
4．（2023·江西吉安·江西省峽江中學?？家荒＃┈F(xiàn)從700瓶水中抽取5瓶進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將700瓶水編號，可以編為000，001，002，…，699，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)，例如選出第8行第6列的數(shù)3.（下面摘取了附表1的第8行與第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
規(guī)定從選定的數(shù)3開始向右讀，得到的第5個樣本的編號為（ ）
A．719B．556C．512D．050
1．（2023·全國·高三專題練習）我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．今欲知米內(nèi)雜谷多少．”意思是：官府開倉接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗出米里夾雜著谷子，于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約 石（結果四舍五入保留整數(shù)）；
2．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預測）欲利用隨機數(shù)表從00，01，02，，59這些編號中抽取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為 .
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
3．（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┍本r間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，某中學為此舉行了“講好航天故事”演講比賽．現(xiàn)從報名的40位學生中利用下面的隨機數(shù)表抽取10位同學參加演講比賽，將40位學生按01、02、、40進行編號，假設從隨機數(shù)表第1行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復的跳過，則選出來的第7個號碼所對應的學生編號為 ．
0627 4313 2636 1547 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
4．（2023·河北唐山·模擬預測）為了解一個魚塘中養(yǎng)殖魚的生長情況，從這個魚塘多個不同位置捕撈出100條魚，分別做上記號，再放回魚塘，幾天后，再從魚塘的多處不同位置捕撈出120條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有記號的魚有6條，請根據(jù)這一情況來估計魚塘中的魚大概有 條．
考點二、分層隨機抽樣
1．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）2022年第22屆卡塔爾世界杯決賽中，來自南美洲的阿根廷隊戰(zhàn)勝來自歐洲的法國隊，奪得冠軍，這22屆世界杯冠軍中，10個在南美洲，12個在歐洲．某專欄記者擬撰寫一篇文章，按分層抽樣的方法抽取11個冠軍隊伍對兩大洲足球風格進行分析比較，則需從南美洲抽取的球隊個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）在北京冬奧會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者和20余萬人次城市志愿者參與服務．據(jù)統(tǒng)計某高校共有本科生1600人，碩士生600人，博士生200人申請報名做志愿者，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總人數(shù)為（ ）
A．300B．320C．340D．360
3．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（ ）
A．15B．30C．32D．36
1．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┠硢挝宦毠だ夏耆擞?0人，中年人有100人，青年人有40人，為了了解職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，則應抽查的老年人的人數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）2022年8月16日，航天員的出艙主通道——問天實驗艙氣閘艙首次亮相．某高中為了解學生對這一新聞的關注度，利用分層抽樣的方法從高中三個年級中抽取了36人進行問卷調(diào)查，其中高一年級抽取了15人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學生900人，則該高中的學生總數(shù)為 人．
3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）某高中學校共有學生3600人，為了解某次數(shù)學文化知識競賽的得分情況，采用分層抽樣的方法從這3600名學生中抽取一個容量為48的樣本，若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)組成一個以4為公差的等差數(shù)列，則該學校高三年級的學生人數(shù)為 人．
考點三、條形統(tǒng)計圖
1．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）下圖是2013-2020年國家財政性教育經(jīng)費（單位：萬元）和國家財政性教育經(jīng)費占總教育經(jīng)費占比的統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（ ）
A．2019年國家財政性教育經(jīng)費和國家財政性教育經(jīng)費占總教育經(jīng)費占比均最低
B．國家財政性教育經(jīng)費逐年增加
C．國家財政性教育經(jīng)費占比逐年增加
D．2020年國家財政性教育經(jīng)費是2014年的兩倍
2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）國家統(tǒng)計局公報顯示繪制出的2017-2021年每年本?？?、中等職業(yè)教育及普通高中的招生人數(shù)（單位：萬）統(tǒng)計圖如下圖所示，則下列關于2017-2021年說法正確的是（ ）
A．每年本?？?、中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)都在增長
B．中等職業(yè)教育和普通高中的招生人數(shù)差距最大的年份是2019年
C．本?？泼磕甑恼猩藬?shù)增幅最大的年份是2018年
D．本專科的招生人數(shù)所占比例最高的年份是2021年
3．（2023·全國·模擬預測）2012—2021年我國醫(yī)療服務市場規(guī)模情況如圖，則下列結論中正確的是（ ）
A．2021年我國醫(yī)療服務市場規(guī)模是2012年我國醫(yī)療服務市場規(guī)模的3.6倍
B．我國醫(yī)療服務市場規(guī)模增長率始終呈現(xiàn)遞增趨勢
C．自2012年起我國醫(yī)療服務市場規(guī)模始終呈現(xiàn)遞增趨勢
D．自2018年起我國醫(yī)療服務市場規(guī)模增長率逐年下降
1．（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學?？奸_學考試）某調(diào)查機構抽取了部分關注濟南地鐵建設的市民作為樣本，分析其年齡和性別結構，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（歲以上含歲）的信息，關于該樣本的結論不一定正確的是（ ）

A．男性比女性更關注地鐵建設
B．關注地鐵建設的女性多數(shù)是歲以上
C．歲以下的男性人數(shù)比歲以上的女性人數(shù)多
D．歲以上的人對地鐵建設關注度更高
2．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）如圖為國家統(tǒng)計局于2023年1月20日發(fā)布的2016-2022年全國R&D經(jīng)費總量與R&D經(jīng)費與GDP之比的數(shù)據(jù)圖表，則（ ）

A．R&D經(jīng)費總量的平均數(shù)超過23000億元
B．R&D經(jīng)費總量的中位數(shù)為19678億元
C．R&D經(jīng)費與GDP之比的極差為0.45%
D．R&D經(jīng)費與GDP之比增幅最大的是2021年到2022年
3．（2023·吉林白山·統(tǒng)考模擬預測）2022年11月，國內(nèi)豬肉?雞蛋?鮮果?禽肉?糧食?食用油?鮮菜價格同比（與去年同期相比）的變化情況如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．豬肉?雞蛋?鮮果?禽肉?糧食?食用油這6種食品中，食用油價格同比漲幅最小
B．豬肉價格同比漲幅超過禽肉價格同比漲幅的5倍
C．去年11月鮮菜價格要比今年11月低
D．這7種食品價格同比漲幅的平均值超過
考點四、折線統(tǒng)計圖
1．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）在統(tǒng)計學中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是我國2022年1月至2022年12月居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計圖，則以下說法正確的是（ ）

A．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.9%
B．在這12個月中，我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.4%
C．在這12個月中，我國居民消費價格最低是5月
D．在這12個月中，我國居民消費價格最高是10月
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結論正確的是（ ）
A．2023年1—2月份，商品零售總額同比增長9.2%
B．2022年3—12月份，餐飲收入總額同比增速都降低
C．2022年6—10月份，商品零售總額同比增速都增加
D．2022年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為-14.1%
3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）（多選）新冠陽性即新型冠狀病毒核酸檢測結果為陽性，其中包括無癥狀感染者和確診者.無癥狀感染者通常沒有癥狀.或僅出現(xiàn)感胃、干咳、咽痛、乏力等輕微癥狀，患者并未出現(xiàn)明顯不適感，不影響患者正常生活，但患者新型冠狀病毒核酸檢測的結果呈陽性；確診者的癥狀比較明顯，患者常表現(xiàn)為發(fā)熱、頭痛、眩暈、呼吸困難等癥狀，影響患者的正常生活，經(jīng)CT、B超等影像學檢查，發(fā)現(xiàn)患者肺組織出現(xiàn)明顯的變化，并且新型冠狀病毒核酸檢測的結果也呈陽性.下圖是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列結論錯誤的是（ ）
A．新增陽性人數(shù)每天都不超過100人
B．新增的無癥狀感染者總人數(shù)少于確診總人數(shù)
C．新增陽性人數(shù)最多的一天是12日
D．每天新增確診病例人數(shù)的中位數(shù)是43
1．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）（多選）甲、乙兩人6次模擬考試英語成績（不含聽力）的統(tǒng)計折線圖如下圖所示，下列說法中正確的是（ ）
A．若甲、乙兩組成績的平均數(shù)分別為，則
B．若甲、乙兩組成績的方差分別為，則
C．甲成績的中位數(shù)大于乙成績的第三四分位數(shù)
D．甲成績的極差大于乙成績的極差
2．（2023·河北唐山·遷西縣第一中學校考二模）（多選）2022年的夏季，全國多地迎來罕見極端高溫天氣．某課外小組通過當?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了當?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（ ）

A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25℃
B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差
C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃
D．七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差
6．（2023·河北衡水·河北衡水中學?？家荒＃ǘ噙x）某商店為了解該店鋪商品的銷售情況，對某產(chǎn)品近三年的產(chǎn)品月銷售數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，繪制了折線統(tǒng)計圖，如圖．下列結論正確的有（ ）

A．該產(chǎn)品的年銷量逐年增加
B．該產(chǎn)品各年的月銷量高峰期大致都在8月
C．該產(chǎn)品2019年1月至12月的月銷量逐月增加
D．該產(chǎn)品各年1月至6月的月銷量相對于7月至12月波動性更小、變化更平穩(wěn)
考點五、扇形統(tǒng)計圖
1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計600棵，比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報名參加植樹活動的人數(shù)之比為，若每種樹苗均按各年齡段報名人數(shù)的比例進行分配，則中年教師應分得梧桐的數(shù)量為（ ）

A．30棵B．50棵C．72棵D．80棵
2．（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學校考三模）（多選）某企業(yè)對目前銷售的A，B，C，D四種產(chǎn)品進行改造升級，經(jīng)過改造升級后，企業(yè)營收實現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計了該企業(yè)升級前后四種產(chǎn)品的營收占比，得到如下餅圖：
下列說法正確的是（ ）
A．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品A的營收是升級前的4倍
B．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B的營收是升級前的2倍
C．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品C的營收減少
D．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B?D營收的總和占總營收的比例不變
3．（2023·福建福州·福州三中校考模擬預測）（多選）某調(diào)查機構對我國若干大型科技公司進行調(diào)查統(tǒng)計，得到了從事芯片、軟件兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達圖，則下列說法中一定正確的是（ ）

A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總人數(shù)的比例超過
B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術、設計崗位的“90后”人數(shù)超過總人數(shù)的
C．芯片、軟件行業(yè)從事技術崗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前”的總人數(shù)多
1．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預測）（多選）人均消費支出是社會需求的主體，是拉動經(jīng)濟增長們直接因素，是體現(xiàn)居民生活水平和質(zhì)量的重要指標.2022年一季度和2023年一季度我國居民人均消費支出分別為6393元和6738元，圖1?圖2分別為2022年一季度和2023年一季度居民人均消費支出構成分布圖，則（ ）
A．2022年一季度和2023年一季度居民食品煙酒人均消費支出均超過人均總消費支出的
B．2023年一季度居民食品煙酒?衣著?居住各項人均消費支出占比較上年同期均有所降低
C．2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D．2023年一季度居民人均消費支出比上年同期增長約
2．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）（多選）某統(tǒng)計機構對1000名擁有汽車的人進行了調(diào)查，對得到的數(shù)據(jù)進行整理并制作了如圖所示的統(tǒng)計圖表，下列關于樣本的說法錯誤的是（ ）

A．30歲以上人群擁有汽車的人數(shù)為720
B．40～45歲之間的人群擁有汽車的人數(shù)最多
C．55歲以上人群每年購買車險的總費用最少
D．40～55歲之間的人群每年購買車險的總費用，比18～30歲和55歲以上人群購買車險的總費用之和還要多
3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）（多選）某公司經(jīng)營五種產(chǎn)業(yè)，為應對市場變化，在五年前進行了產(chǎn)業(yè)結構調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結構使公司總利潤不斷增長，今年總利潤比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤與總利潤的占比如圖所示，則下列結論錯誤的是（ ）

A．調(diào)整后傳媒的利潤增量小于雜志
B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤有所下降
C．調(diào)整后試卷的利潤增加不到一倍
D．調(diào)整后圖書的利潤增長了一倍以上
考點六、頻率分布表
1．（2022春·山西長治·高三山西省長治市第二中學校?？茧A段練習）某廠家從一批紅外測溫儀中隨機抽取了100個，測量一個的物體，產(chǎn)生的誤差統(tǒng)計如下表：
規(guī)定誤差在內(nèi)的為合格品，若合格率為，則（ ）
A．8B．10C．12D．16
2．（2023·全國·高三專題練習）受全球新冠疫情影響，2020東京奧運會延期至2021年7月23日到8月8日舉行，某射箭選手積極備戰(zhàn)奧運，在臨賽前的一次訓練中共射了1組共72支箭，下表是命中環(huán)數(shù)的部分統(tǒng)計信息
已知該次訓練的平均環(huán)數(shù)為9.125環(huán)，據(jù)此水平，正式比賽時射出的第一支箭命中黃圈（不小于9環(huán)）的概率約為（ ）
A．0.31B．0.65C．0.86D．1
1．（2023·全國·高三專題練習）某單位招聘員工，有名應聘者參加筆試，隨機抽查了其中名應聘者筆試試卷，統(tǒng)計他們的成績?nèi)缦卤恚?br>若按筆試成績擇優(yōu)錄取名參加面試，由此可預測參加面試的分數(shù)線為A．分B．分C．分D．分
2．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習）一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組與頻數(shù)如下表：
則樣本在[10，50)內(nèi)的頻率為
考點七、頻率分布直方圖
1．（2023·天津·校聯(lián)考二模）某學校組建了演講，舞蹈，航模，合唱，機器人五個社團，全校所有學生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委在全校學生中隨機選取一部分學生（這部分學生人數(shù)少于全校學生人數(shù)）進行調(diào)查，并將調(diào)查結果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖，則（ ）
A．選取的這部分學生的總人數(shù)為1000人
B．選取的學生中參加機器人社團的學生數(shù)為80人
C．合唱社團的人數(shù)占樣本總量的40%
D．選取的學生中參加合唱社團的人數(shù)是參加機器人社團人數(shù)的2倍
2．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）某車間從生產(chǎn)的一批零件中隨機抽取了1000個進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結果得到此項質(zhì)量指標的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標在區(qū)間的零件中抽取170個進行再次檢測，則質(zhì)量指標在區(qū)間內(nèi)的零件應抽?。? ）
A．30個B．40個C．60個D．70個
3．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）某校隨機抽取了名學生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學生的體重數(shù)據(jù)（單位：）全部介于至之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論錯誤的是（ ）
A．頻率分布直方圖中的值為
B．這名學生中體重低于的人數(shù)為
C．據(jù)此可以估計該校學生體重的第百分位數(shù)約為
D．據(jù)此可以估計該校學生體重的平均數(shù)約為
4．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（ ）
①的值為0.005；
②估計成績低于60分的有25人；
③估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75；
④估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86．
A．②③B．①③④C．①②④D．①②③
5．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）某市為了解全市12000名高一學生的的體能素質(zhì)情況，在全市高一學生中隨機抽取了1000名學生進行體能測試，并將這1000名的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結論中正確的是（ ）
A．圖中的值為0.020；
B．同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表，則這1000名學生的平均成績約為80.5；
C．估計樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為88；
D．由樣本數(shù)據(jù)可估計全市高一學生體測成績優(yōu)異（80分及以上）的人數(shù)約為5000人．
1．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預測）少年強則國強，少年智則國智．黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，提高學生身體素質(zhì)．為了加強對學生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學生中，抽查了100名學生的體重數(shù)據(jù)情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．樣本的眾數(shù)為65B．樣本的第80百分位數(shù)為72.5
C．樣本的平均值為67.5D．該校學生中低于的學生大約為1000人
2．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）為了解學生每天的體育活動時間，某市教育部門對全市高中學生進行調(diào)查，隨機抽取1000名學生每天進行體育運動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組．對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論不正確的是（ ）

A．頻率分布直方圖中的
B．估計1000名學生每天體育活動不少于一個小時的學生人數(shù)為400
C．估計1000名學生每天體育活動時間的眾數(shù)是55
D．估計1000名學生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)為
3．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）（多選）某學校為了調(diào)查學生某次研學活動中的消費支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在50元到60元之間的學生有60人，則（ ）
A．樣本中消費支出在50元到60元之間的頻率為0.3
B．樣本中消費支出不少于40元的人數(shù)為132
C．n的值為200
D．若該校有2000名學生參加研學，則約有20人消費支出在20元到30元之間
4．（2023·云南·統(tǒng)考二模）某大學有男生名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校名男生的體重，并將這名男生的體重（單位：）分成以下六組：、、、、、，繪制成如下的頻率分布直方圖：
該校體重（單位：）在區(qū)間上的男生大約有 人．
5．（2023·全國·高三專題練習）某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三擋：月用電量不超過200度的部分按元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按元/度收費，超過400度的部分按元/度收費.

(1)求某戶居民月用電費（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；
(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的占，求的值.
考點八、總體百分位數(shù)的估計
1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）有人進行定點投籃游戲，每人投籃次．這人投中的次數(shù)形成一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)，唯一眾數(shù)，極差，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·上海浦東新·高三上海市進才中學?？奸_學考試）從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機取一個數(shù)，這個數(shù)比m大的概率為，若m為上述數(shù)據(jù)中的第x百分位數(shù)，則x的取值可能為（ ）
A．50B．60C．70D．80
3．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預測）（多選）隨機抽取某班20名學生在一次數(shù)學測驗中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面說法正確的是（ ）
A．這組數(shù)據(jù)的極差為48
B．為便于計算平均數(shù)，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相差70
C．為便于計算方差，將這組數(shù)據(jù)都減去70后得到的方差與原數(shù)據(jù)的方差相差70
D．這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是84.5
1．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┮阎车刈罱?0天每天的最高氣溫（單位：）分別為，則這10天平均氣溫的80%分位數(shù)為 .
2．（2023秋·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習）幸福指數(shù)是衡量人們對自身生存和發(fā)展狀況的感受和體驗，即人們的幸福感的一種指數(shù).某機構從某社區(qū)隨機調(diào)查了12人，得到他們的幸福指數(shù)（滿分：10分）分別是，，，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（也稱第一四分位數(shù)）是 .
3．（2023·福建寧德·?？家荒＃┠硨W習小組共有20人，在一次數(shù)學測試中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，則這個學習小組成員該次數(shù)學測試成績的第70百分位數(shù)是 .
考點九、總體集中趨勢的估計
1．（2023·浙江衢州·校聯(lián)考一模）下圖是我國跨境電商在2016～2022年的交易規(guī)模與增速圖，由圖可以知道下列結論正確的是（ ）
A．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為8.0萬億元
B．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速越來越大
C．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬億元
D．圖中我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數(shù)為13.8％
2．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）（多選）某校對參加高校綜合評價測試的學生進行模擬訓練，從中抽出名學生，其數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示．已知成績在區(qū)間內(nèi)的學生人數(shù)為2人．則（ ）

A．的值為0.015，的值為40
B．平均分為72，眾數(shù)為75
C．中位數(shù)為75
D．已知該校共1000名學生參加模擬訓練，則不低于90分的人數(shù)一定為50人
3．（2023·江蘇·金陵中學校聯(lián)考三模）已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，另外六個數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為
A．12B．20C．25D．27
1．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）2022年11月，國內(nèi)豬肉?雞蛋?鮮果?禽肉?糧食?食用油?鮮菜價格同比（與去年同期相比）的變化情況如下圖所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A．豬肉?雞蛋?鮮果?禽肉?糧食?食用油這6種食品中，食用油價格同比漲幅最小
B．豬肉價格同比漲幅超過禽肉價格同比漲幅的5倍
C．去年11月鮮菜價格要比今年11月低
D．這7種食品價格同比漲幅的平均值超過
2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預測）軍訓中某人對目標靶進行8次射擊，已知前7次射擊分別命中7環(huán)、9環(huán)、7環(huán)、10環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、6環(huán).若第8次射擊結果不低于這8次射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)且不高于這8次射擊環(huán)數(shù)的75%分位數(shù)，則此人第8次射擊的結果可能是 環(huán).（寫出有一個符合題意的值即可）
3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，準備舉辦讀書活動，并購買一定數(shù)量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段的人看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查，隨機抽取了40名讀書者進行調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）分成6段：,,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求在這40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；
(2)求這40名讀書者的年齡的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）.
考點十、總體離散程度的估計
1．（2023·浙江·永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，由這組數(shù)據(jù)得到另一組新的樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（，2，…，10），則（ ）
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的方差不相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同
D．將兩組數(shù)據(jù)合成一個樣本容量為20的新的樣本數(shù)據(jù)，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
2．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）云南某鎮(zhèn)因地制宜，在政府的帶領下，數(shù)字力量賦能鄉(xiāng)村振興，利用“農(nóng)抬頭”智慧農(nóng)業(yè)平臺，通過大數(shù)據(jù)精準分析柑橘等特色產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)數(shù)量?價格走勢?市場供求等數(shù)據(jù)，幫助小農(nóng)戶找到大市場，開啟“直播+電商”銷售新模式，推進當?shù)靥厣r(nóng)產(chǎn)品“走出去”；通過“互聯(lián)網(wǎng)+旅游”聚焦特色農(nóng)產(chǎn)品?綠色食品?生態(tài)景區(qū)資源.下面是2022年7月到12月份該鎮(zhèn)甲?乙兩村銷售收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：百萬）：
甲：5，6，6，7，8，16；
乙：4，6，8，9，10，17.
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，則（ ）
A．甲村銷售收入的第50百分位數(shù)為7百萬
B．甲村銷售收入的平均數(shù)小于乙村銷售收入的的平均數(shù)
C．甲村銷售收入的中位數(shù)大于乙村銷售收入的中位數(shù)
D．甲村銷售收入的方差大于乙村銷售收入的方差
3．（2023·浙江·高三專題練習）（多選）已知一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)有一組新的，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)（ ）
A．平均數(shù)不變B．中位數(shù)不變C．極差變小D．方差變小
4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）（多選）某學校高三年級有男生640人，女生360人．為獲取該校高三學生的身高信息，采用抽樣調(diào)查的方法統(tǒng)計樣本的指標值（單位：cm），并計算得到男生樣本的平均值175，方差為36，女生樣本的平均值為165，方差為36，則下列說法正確的是（ ）
A．若男、女樣本量分別為，，則總樣本的平均值為171.4
B．若男、女樣本量分別為，，則總樣本的方差為36
C．若男、女的樣本量都是，則總樣本的平均值為170
D．若男、女的樣本量都是，則總樣本的方差為61
5．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）某班共有50名學生，在期末考試中，小明因病未參加數(shù)學考試．參加考試的49名學生的數(shù)學成績的方差為2．在評估數(shù)學成績時，老師把小明的數(shù)學成績按這49名學生的數(shù)學成績的平均數(shù)來算，那么全班50名學生的數(shù)學成績的標準差為 ．
6．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）某企業(yè)統(tǒng)計中級技術人員和高級技術人員的年齡，中級技術人員的人數(shù)為40，其年齡的平均數(shù)為35歲，方差為18，高級技術人員的人數(shù)為10，其年齡的平均數(shù)為45歲，方差為73，則該企業(yè)中級技術人員和高級技術人員的年齡的平均數(shù)為 ，方差為 .
7．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W?？寄M預測）某大學平面設計專業(yè)的報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名已經(jīng)結束．考生的考號按0001，0002，的順序從小到大依次排列．某位考生隨機地了解了50個考生的考號，具體如下：
0400 0904 0747 0090 0636 0714 0017 0432 0403 0276
0986 0804 0697 0419 0735 0278 0358 0434 0946 0123
0647 0349 0105 0186 0079 0434 0960 0543 0495 0974
0219 0380 0397 0283 0504 0140 0518 0966 0559 0910
0558 0442 0694 0065 0757 0702 0498 0156 0225 0327
(1)據(jù)了解，這50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模擬測試中，30名男生平均分數(shù)是70分，樣本方差是10，20名女生平均分數(shù)是80分，樣本方差是15，請求出此50人該次模擬考試成績的平均分和方差；（考生個人具體分數(shù)不知曉）
(2)請根據(jù)這50個隨機抽取的考號，幫助這位考生估計考生總數(shù)N，并說明理由．
1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）（多選）一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，去掉其中的最小值和最大值后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，極差為，中位數(shù)為，則下列選項一定正確的有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北唐山·模擬預測）（多選）有兩組樣本數(shù)據(jù)，分別為和，且平均數(shù)，標準差分別為6和4，將兩組數(shù)據(jù)合并為，重新計算平均數(shù)和標準差，則（ ）
A．平均數(shù)為85B．平均數(shù)為86C．標準差為10D．標準差為
3．（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為.若的平均數(shù)與方差相等，則的最大值為（ ）
A．B．C． D．
4．（2023·江蘇南京·南京市第五高級中學?？寄M預測）（多選）統(tǒng)計學是源自對國家的資料進行分析，也就是“研究國家的科學”．一般認為其學理研究始于希臘的亞里士多德時代，迄今已有兩千三百多年的歷史．在兩千多年的發(fā)展過程中，將社會經(jīng)濟現(xiàn)象量化的方法是近代統(tǒng)計學的重要特征．為此，統(tǒng)計學有了自己研究問題的參數(shù)，比如：均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標準差．一組數(shù)據(jù)：）記其均值為，中位數(shù)為，標準差為，則（ ）
A．
B．
C．新數(shù)據(jù)：的標準差為
D．新數(shù)據(jù)：的標準差為
5．（2023·江蘇·江蘇省邗江中學校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知一組數(shù)據(jù)構成等差數(shù)列，且公差不為0.若去掉數(shù)據(jù)，則（ ）
A．平均數(shù)不變B．中位數(shù)不變C．方差變小D．方差變大
6．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學?？级＃┯烧麛?shù)組成的一組數(shù)據(jù)共有4個，其中位數(shù)，平均數(shù)，方差均等于4，則這組數(shù)據(jù)的極差為 ．
7．（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）某學校為了解高三學生的學習成績變化情況，隨機調(diào)查了100名學生，得到這些學生一輪復習結束相對于高二期末學習成績增長率的頻數(shù)分布表.
（1）估計這個學校的高三學生中，學習成績增長率不低于的學生比例；
（2）求這個學校的高三學生學習成績增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（精確到）
附：.
考點十一、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性
1．（2023·上?！つM預測）根據(jù)身高和體重散點圖，下列說法正確的是（ ）
A．身高越高，體重越重B．身高越高，體重越輕C．身高與體重成正相關D．身高與體重成負相關
2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為，，，，；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為，，，，.表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則（ ）.
A．B．
C．D．
3．（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學?？奸_學考試）已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點圖分析與之間的線性相關關系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為（ ）
A．38.1B．22.6C．D．91.1
4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）對兩組呈線性相關的變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組和第二組對應的線性相關系數(shù)分別為，則是第一組變量比第二組變量線性相關程度強的（ ）條件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預測）我國風云系列衛(wèi)星可以檢測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量(單位:dm)與遙測雨量(單位:dm)的關系，統(tǒng)計得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下:
并計算得
(1)求該地區(qū)汛期遙測雨量與人工測雨量的樣本相關系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有較強的線性相關關系(若，則認為兩個變量有較強的線性相關性)
(2)規(guī)定：數(shù)組滿足為“Ⅰ類誤差”，滿足為“Ⅱ類誤差”，滿足為“Ⅲ類誤差”.為進一步研究該地區(qū)水文研究人員，從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機抽取3組數(shù)據(jù)與“Ⅲ類誤差”數(shù)據(jù)進行對比，記抽到“Ⅰ類誤差” 的數(shù)據(jù)的組數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學期望.
附：相關系數(shù).
1．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┰谝唤M樣本數(shù)據(jù)互不相等 的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）某興趣小組研究光照時長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（ ）
A．相關系數(shù)r變小B．決定系數(shù)變小
C．殘差平方和變大D．解釋變量x與預報變量y的相關性變強
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）人們常將男子短跑的高水平運動員稱為“百米飛人”，表中給出了1968年之前部分男子短跑世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)據(jù)：
如果變量與之間具有線性相關關系，設用最小二乘法建立的回歸直線方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與之間是正相關關系B．變量與之間的線性相關系數(shù)
C．D．下一次世界紀錄一定是
4．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）對兩組變量進行回歸分析，得到不同的兩組樣本數(shù)據(jù)，第一組對應的相關系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為，，，第二組對應的相關系數(shù)，殘差平方和，決定系數(shù)分別為，，，則（ ）
A．若，則第一組變量比第二組的線性相關關系強
B．若，則第一組變量比第二組的線性相關關系強
C．若，則第一組變量比第二組變量擬合的效果好
D．若，則第二組變量比第一組變量擬合的效果好
5．（2023·全國·高三專題練習）某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術服務的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品主要應用于森林消防、物流運輸、航空測繪、軍事偵察等領域，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．該公司分別收集了甲、乙兩種類型無人運輸機在5個不同的地點測試的某項指標數(shù)，，數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)試求y與x間的相關系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關關系；（若，則線性相關程度很高）
(2)從這5個地點中任抽2個地點，求抽到的這2個地點，甲型無人運輸機指標數(shù)均高于乙型無人運輸機指標數(shù)的概率．
附：相關公式及數(shù)據(jù)：，．
考點十二、一元線性回歸模型及其應用
1．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展，目標是按照產(chǎn)業(yè)興旺?生態(tài)宜居?鄉(xiāng)風文明?治理有效?生活富裕的總要求，建立健全城鄉(xiāng)融合發(fā)展體制機制和政策體系，加快推進農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)通過建立幫扶政策，使得該鄉(xiāng)鎮(zhèn)財政收入連年持續(xù)增長，具體數(shù)據(jù)如表所示：
由上表可得關于的近似回歸方程為，則第6年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)財政收入預計為（ ）
A．16億元B．19億元C．21億元D．23億元
2．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學?？级＃?G技術在我國已經(jīng)進入高速發(fā)展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升，某手機商城統(tǒng)計了最近5個月手機的實際銷量，如下表所示：
若y與x線性相關，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（ ）
A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關
B．線性回歸方程中
C．可以預測時該商場5G手機銷量約為1.72（千只）
D．時，殘差為
3．（2023·江蘇連云港·?？寄M預測）（多選）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率x（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫y（單位：℃）存在著較強的線性相關關系．某地觀測人員根據(jù)下表的觀測數(shù)據(jù)，建立了y關于x的經(jīng)驗回歸方程，則下列說法正確的是（ ）
A．k的值是20
B．變量x，y呈正相關關系
C．若x的值增加1，則y的值約增加0.25
D．當蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當時的氣溫預測值為33.5℃
4．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預測）已知某種汽車新購入價格為萬元，但隨著使用年限增加汽車會貶值．通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)使用年限（單位：年）與出售價（單位：萬元）之間的關系有如下一組數(shù)據(jù)：
(1)求關于的回歸方程；
(2)已知，當時，回歸方程的擬合效果非常好；當時，回歸方程的擬合效果良好．試問該線性回歸方程的擬合效果是非常好還是良好？說明你的理由．
（附：用最小二乘法求經(jīng)驗回歸方程的系數(shù)公式；）
5．（2023·陜西寶雞·?？寄M預測）下圖是我國2014年至2020年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

注：年份代碼1-7分別對應年份2014-2020（2021年后代碼依次類推）．
(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；
(2)建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預測2023年我國生活垃圾無害化處理量．
附注：參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：相關系數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．
1．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學校考階段練習）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設，得變換后的線性回歸方程為，則（ ）
A．B．C．70D．35
2．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·海拉爾第一中學?？寄M預測）已知某產(chǎn)品的營銷費用x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：根據(jù)上表可得y關于x的回歸直線方程為，則當該產(chǎn)品的營銷費用為6萬元時，銷售額為（ ）
A．40.5萬元B．41.5萬元C．42.5萬元D．45萬元
3．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知變量，之間的經(jīng)驗回歸方程為，且變量，的數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．該回歸直線必過
B．變量，之間呈正相關關系
C．當時，變量的值一定等于
D．相應于的殘差估計值為
4．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預測）某單位在當?shù)囟c幫扶某村種植一種草莓，并把這種原本露天種植的草莓搬到了大棚里，獲得了很好的經(jīng)濟效益．根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的草莓的箱數(shù)x（單位：箱）與成本y（單位：千元）的關系如下：
(1)根據(jù)散點圖可以認為x與y之間存在線性相關關系，請用最小二乘法求出線性回歸方程（，用分數(shù)表示）
(2)某農(nóng)戶種植的草莓主要以300元/箱的價格給當?shù)卮笮蜕坛┴洠嘤嗟牟葺恳?00元/箱的價格銷售給當?shù)匦∩特湥畵?jù)統(tǒng)計，往年1月份當?shù)卮笮蜕坛葺男枨罅繛?0箱、100箱、150箱、200箱的概率分別為，，，，根據(jù)回歸方程以及往年商超草莓的需求情況進行預測，求今年1月份農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時所獲得的利潤情況．（最后結果精確到個位）
附：，，在線性回歸直線方程中，．
5．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預測）五一小長假期間，文旅部門在某地區(qū)推出A，B，C，D，E，F(xiàn)六款不同價位的旅游套票，每款套票的價格（單位：元；）與購買該款套票的人數(shù)（單位：千人）的數(shù)據(jù)如下表：
（注：A，B，C，D，E，F(xiàn)對應i的值為1，2，3，4，5，6）為了分析數(shù)據(jù)，令，，發(fā)現(xiàn)點集中在一條直線附近．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立購買人數(shù)y關于套票價格x的回歸方程；
(2)規(guī)定：當購買某款套票的人數(shù)y與該款套票價格x的比值在區(qū)間上時，該套票為“熱門套票”．現(xiàn)有甲、乙、丙三人分別從以上六款旅游套票中購買一款．假設他們買到的套票的款式互不相同，且購買到“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望．
附：①參考數(shù)據(jù)：，，，．
②對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．
11．（2023·浙江嘉興·?？寄M預測）“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r尚，近幾年國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景.某公司對A充電樁進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并計算得.
(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與x的關系，求其經(jīng)驗回歸方程；
(2)若規(guī)定所獲利潤y與投資金額x的比值不低于，則稱對應的投入額為“優(yōu)秀投資額”.記2分，所獲利潤y與投資金額x的比值低于且大于，則稱對應的投入額為“良好投資額”，記1分，所獲利潤y與投資金額x的比值不超過，則稱對應的投入額為“不合格投資額”，記0分，現(xiàn)從表中6個投資金額中任意選2個，用X表示記分之和，求X的分布列及數(shù)學期望.
附：.
12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學校考三模）經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.
表中

(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型并求出關于回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，其中“死卵”有3個．現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
考點十三、列聯(lián)表與獨立性檢驗
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：
(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；
(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？
附：，
2．（2021·全國·高考真題）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?
（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?
附：
3．（·全國·統(tǒng)考高考真題）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：
（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？
附：，
4．（·海南·統(tǒng)考高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：
（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？
附：，
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值．
附，
6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)實驗結果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；
(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表
（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
1．（2023·湖北恩施·?？寄M預測）2015年7月31日，國際奧委會宣布北京獲得2022年冬奧會舉辦權，消息傳來，舉國一片歡騰．某投資公司聞到了商機，決定開發(fā)冰雪運動項目，經(jīng)過一年多的籌備，2017年該公司冰雪運動項目正式運營．下表是2017—2021年該公司第一季度冰雪運動項目消費人數(shù)的統(tǒng)計表：
(1)若年份代號與第一季度冰雪運動項目消費人數(shù)（百人）具有線性相關關系，求出它們間的回歸方程，并預估2022年第一季度冰雪運動項目消費的人數(shù)是多少？
(2)某記者為調(diào)查北京冬奧會對冰雪運動項目運動的影響，隨機調(diào)查了200人，其中80人是在冬奧會開幕前調(diào)查的，約有的人已參加過冰雪運動項目，冬奧會開幕后調(diào)查的人數(shù)中已參加過冰雪運動項目與未參加的人數(shù)比為，問有多大的把握認為參加冰雪運動項目與北京冬奧會的開幕有關？
參考公式：．
參考數(shù)據(jù)：，，
2．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯(lián)考模擬預測）為提高學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)造力，學校打算開設“數(shù)學建?！边x修課，為了解學生對“數(shù)學建?！钡呐d趣度是否與性別有關，學校隨機抽取該校30名高中學生進行問卷調(diào)查，其中認為感興趣的人數(shù)占70%.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，依據(jù)小概率值α=0.15的獨立性檢驗，分析學生對“數(shù)學建?！边x修課的興趣度與性別是否有關?
(2)若感興趣的女生中恰有4名是高三學生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機選出3名進行二次訪談，記選出高三女生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望
附：，其中.
3．（2023·湖南益陽·安化縣第二中學?？既＃?022年北京冬奧會圓滿落幕，隨后多所學校掀起了“雪上運動”的熱潮.為了解學生對“雪上運動”的喜愛程度，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行問卷調(diào)查，得到以下信息：
①抽取的學生中，男生占的比例為60%；
②抽取的學生中，不喜歡雪上運動的學生占的比例為45%.
③抽取的學生中，喜歡雪上運動的男生比喜歡雪上運動的女生多50人.
(1)完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗，能否認為是否喜歡雪上運動與性別有關聯(lián)?
(2)（i）從隨機抽取的這200名學生中采用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.記事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜歡雪上運動的男生”，事件C=“至多有1名喜歡雪上運運的女生”.試分別計算和的值.
（ii）根據(jù)第（i）問中的結果，分析與的大小關系.
參考公式及數(shù)據(jù)，.
4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）某工廠有甲、乙兩條流水線加工同種產(chǎn)品，加工出來的產(chǎn)品全部為合格品. 產(chǎn)品可分為一級品、二級品兩個級別. 產(chǎn)品貼上等級標識后，每件產(chǎn)品裝一箱. 根據(jù)以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，甲流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，每箱中含有件、件、件二級品的概率為，乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，每箱中含有件、件、件二級品的概率為.若箱中產(chǎn)品全部為一級品，則可稱該箱產(chǎn)品為“星級產(chǎn)品”.
(1)從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取箱，以產(chǎn)品是否為“星級產(chǎn)品”為標準，根據(jù)以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析產(chǎn)品為“星級產(chǎn)品”與生產(chǎn)線是否有關？
附：
(2)任取甲流水線生產(chǎn)的箱產(chǎn)品，設二級產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列及期望;
(3)從乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任選一箱.若箱中產(chǎn)品分成三層放置，層與層隔開，每層件. 首先打開第一層，求該層件產(chǎn)品都為一級品的概率.
5．（2023·福建寧德·福鼎市第一中學?？寄M預測）某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級成功，否則晉級失?。?

(1)求圖中的值；
(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為能否晉級成功與性別有關；
(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．
參考公式：，其中．
6．（2023·浙江·模擬預測）全民健身是全體人民增強體魄?健康生活的基礎和保障，為了研究杭州市民健身的情況，某調(diào)研小組在我市隨機抽取了100名市民進行調(diào)研，得到如下數(shù)據(jù)：
附：，
(1)如果認為每周健身4次及以上的用戶為“喜歡健身”；請完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷“喜歡健身”與“性別”是否有關？
(2)假設杭州市民小紅第一次去健身房健身的概率為，去健身房健身的概率為，從第二次起，若前一次去健身房，則此次不去的概率為；若前一次去健身房，則此次仍不去的概率為.記第次去健身房健身的概率為，則第10次去哪一個健身房健身的概率更大？
7．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWrldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關，隨機抽取了男?女同學各100名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如表所示：
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關？
(2)社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.已知男生進球的概率為，女生進球的概率為，每人射門一次，假設各人射門相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
附：.
8．（2023·河北·校聯(lián)考三模）郵件管理是一類非常常見的二元分類問題．如果將“非垃圾郵件”歸類為正類郵件，“垃圾郵件”歸類為負類郵件，試回答以下問題：
(1)若在郵件中正類郵件與負類郵件的占比分別為和，由于歸類模型的誤差，歸類判斷可能出錯的概率均為0.05．若某個郵件歸類為正類郵件，求它原本是正類郵件的概率；
(2)在機器學習中，利用算法進行歸類，常用分別表示將正類郵件歸類為正類郵件的個數(shù)，將負類郵件歸類為負類郵件的個數(shù)，將負類郵件歸類為正類郵件的個數(shù)，將正類郵件歸類為負類郵件的個數(shù)．統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，收到郵件的種類可能與是否在工作日有關．為了驗證此現(xiàn)象，在一段時間內(nèi)，從數(shù)據(jù)庫中隨機抽取若干郵件，包含有正類郵件和負類郵件，按照機器學習的方法進行分類后，得到以下數(shù)據(jù)：．并給出了下表，試回答以下問題：
（?。┣螅ǔ浞执螅┓忄]件歸類正確的概率；
（ⅱ）補充上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析收到郵件的種類與是否在工作日有關？
附：．
【基礎過關】
一、多選題
1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）下列關于概率統(tǒng)計說法中正確的是（ ）
A．兩個變量的相關系數(shù)為，則越小，與之間的相關性越弱
B．設隨機變量，若，則
C．在回歸分析中，為0.89的模型比為0.98的模型擬合得更好
D．某人解答10個問題，答對題數(shù)為，則
2．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考三模）《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認為：子時的睡眠對一天至關重要（子時是指23點到次日凌晨1點）．相關數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低．根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計如下圖，則下列說法錯誤的是（ ）

A．在睡眠指數(shù)的人群中，早睡人數(shù)多于晚睡人數(shù)
B．早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在
C．早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小
D．晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在
3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）下列結論中，正確的是（ ）
A．數(shù)據(jù)0，1，2，3的極差與中位數(shù)之積為3
B．數(shù)據(jù)20，20，21，22，22，23，24的第80百分位數(shù)為23
C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則
D．在回歸分析中，用決定系數(shù)來比較兩個模型擬合效果，越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好
4．（2023·河北滄州·?？既＃┽t(yī)學上判斷體重是否超標有一種簡易方法，就是用一個人身高的厘米數(shù)減去所得差值即為該人的標準體重.比如身高的人，其標準體重為公斤，一個人實際體重超過了標準體重，我們就說該人體重超標了，現(xiàn)分析某班學生的身高和體重的相關性時，隨機抽測了8人的身高和體重，數(shù)據(jù)如下表所示：
由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為，決定系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析確定有一個樣本點為離群點（對應殘差過大），把它去掉后，再用剩下的7組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為，決定系數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江蘇連云港·?？寄M預測）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率x（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫y（單位：℃）存在著較強的線性相關關系．某地觀測人員根據(jù)下表的觀測數(shù)據(jù)，建立了y關于x的經(jīng)驗回歸方程，則下列說法正確的是（ ）
A．k的值是20
B．變量x，y呈正相關關系
C．若x的值增加1，則y的值約增加0.25
D．當蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當時的氣溫預測值為33.5℃
6．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）下列說法正確的是（ ）
A．一組數(shù)1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位數(shù)為16
B．在經(jīng)驗回歸方程中，當解釋變量每增加1個單位時，相應變量增加個單位
C．數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為
D．一個樣本的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于100
二、解答題
7．（2023·四川南充·模擬預測）第三十一屆世界大學生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來自113個國家和地區(qū)的6500名運動員在此屆運動會上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團結、友誼的新篇章．外國運動員在返家時紛紛購買紀念品，尤其對中國的唐裝頗感興趣．現(xiàn)隨機對200名外國運動員（其中男性120名，女性80名）就是否有興趣購買唐裝進行了解，統(tǒng)計結果如下：
(1)是否有的把握認為“外國運動員對唐裝感興趣與性別有關”；
(2)按分層抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有名，求的分布列與數(shù)學期望．
參考公式：
臨界值表：
8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）某醫(yī)院對患者就診后的滿意度進行問卷調(diào)查，患者在問卷上對就診滿意度進行打分，分值為0~5分，其中滿意度打分不低于4分表示滿意.現(xiàn)隨機抽取了100位患者的調(diào)查問卷，其滿意度打分情況統(tǒng)計如下：
(1)估計患者對該醫(yī)院滿意度打分的平均值；
(2)若該醫(yī)院一周內(nèi)共有6000名患者就診，估計其中表示滿意的患者人數(shù)；
(3)醫(yī)院對抽取的調(diào)查問卷中1位滿意度打0分的患者和3位滿意度打1分的患者進行電話回訪，并將這四人隨機分成A，B兩組，每組各兩人，求A組的兩人滿意度打分均為1分的概率.
9．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┡芡确帐请S即時物流發(fā)展出現(xiàn)的非標準化服務，省時省力是消費者使用跑腿服務的主要原因，隨著消費者即時需求和節(jié)約時間需求提升，跑腿服務將迎來發(fā)展期．某機構隨機統(tǒng)計了800名消費者的年齡（單位：歲）以及每月使用跑腿服務的次數(shù)，得到每月使用跑腿服務低于5次的有550人，并將每月使用跑腿服務不低于5次的消費者按照年齡，，，進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計每月使用跑腿服務不低于5次的消費者中年齡不低于35歲的概率；
(2)估計每月使用跑腿服務不低于5次的消費者年齡的平均數(shù)與中位數(shù)（結果精確到0.1，每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(3)把年齡在的人稱為青年，年齡在的人稱為中年，把每月使用跑腿服務低于5次的消費者稱為“使用跑腿服務頻率低”，否則稱為“使用跑腿服務頻率高”，若800名消費者中有400名青年，補全列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為消費者使用跑腿服務頻率的高低與年齡有關?
參考公式：，其中
附：
10．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）某騎行愛好者近段時間在專業(yè)人士指導下對騎行情況進行了統(tǒng)計，各次騎行期間的身體綜合指標評分x與對應用時y（單位：小時）如下表：
(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以說明；
(2)建立關于的回歸方程.
參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關系數(shù)，，，
【能力提升】
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）網(wǎng)絡直播帶貨作為一種新型的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會各界的追捧.湖北某地盛產(chǎn)夏橙，為幫助當?shù)剞r(nóng)民銷售夏橙，當?shù)卣埩思住⒁覂擅W(wǎng)紅在某天通過直播帶貨銷售夏橙.現(xiàn)對某時間段100名觀看直播后選擇在甲、乙兩名網(wǎng)紅的直播間（以下簡稱甲直播間、乙直播間）購買夏橙的情況進行調(diào)查（假定每人只在一個直播間購買夏橙），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別有關聯(lián)？
(2)網(wǎng)民黃蓉上午、下午均從甲、乙兩個直播間中選擇其中一個購買夏橙，且上午在甲直播間購買夏橙的概率為.若上午選擇在甲直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為；若上午選擇在乙直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，求黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率；
(3)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若共有50008名網(wǎng)民在甲、乙直播間購買夏橙，且網(wǎng)民選擇在甲、乙哪個直播間購買夏橙互不影響，記其中在甲直播間購買夏橙的網(wǎng)民人數(shù)為X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.
附：，其中.
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）2022年11月20日，卡塔爾足球世界杯正式開幕，世界杯上的中國元素隨處可見．從體育場建設到電力保障，從賽場內(nèi)的裁判到賽場外的吉祥物都是中國制造，為卡塔爾世界杯提供了強有力的支持．國內(nèi)也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會組建球隊參加業(yè)余比賽，該足球隊教練組為了考查球員甲對球隊的貢獻，作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計（甲參加過的比賽均分出了輸贏）：
(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該球隊贏球與甲球員參賽有關聯(lián)；
(2)從該球隊中任選一人，A表示事件“選中的球員參賽”，B表示事件“球隊輸球”．與的比值是選中的球員參賽對球隊貢獻程度的一項度量指標，記該指標為R．
①證明：；
②利用球員甲數(shù)據(jù)統(tǒng)計，給出，的估計值，并求出R的估計值．
附：．
參考數(shù)據(jù)：
3．（2023·安徽滁州·?？级＃榱搜芯繉W生每天整理數(shù)學錯題情況，某課題組在某市中學生中隨機抽取了100名學生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學成績和平時整理數(shù)學錯題情況，并繪制了下列兩個統(tǒng)計圖表，圖1為學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖，圖2為學生一個星期內(nèi)整理數(shù)學錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個星期有4天及以上整理數(shù)學錯題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中，經(jīng)常整理錯題的學生占.
(1)求圖1中的值以及學生期中考試數(shù)學成績的上四分位數(shù)；
(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補全上方列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題是否有關?
(3)用頻率估計概率，在全市中學生中按“經(jīng)常整理錯題”與“不經(jīng)常整理錯題”進行分層抽樣，隨機抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談.求這2名同學中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.
附：
4．（2023·全國·模擬預測）某校20名學生的數(shù)學成績和知識競賽成績?nèi)缦卤恚?br>計算可得數(shù)學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．
(1)求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的樣本相關系數(shù)（精確到）．
(2)設，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數(shù)．
（i）記，．證明：．
（ii）用（i）的公式求這組學生的數(shù)學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數(shù)”（精確到）．
(3)比較（1）和（2）（ii）的計算結果，簡述“斯皮爾曼相關系數(shù)”在分析線性相關性時的優(yōu)勢．
注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．
5．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預測）為了解學生中午的用穊方式（在食堂就餐或點外賣）與最近食堂間的距離的關系，某大學于某日中午隨機調(diào)查了2000名學生，獲得了如下頻率分布表（不完整）：
并且由該頻率分布表，可估計學生與最近食堂間的平均距離為（同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作為代表）.
(1)補全頻率分布表，并判斷是否有99.9%的把握認為學生中午的用餐方式與學生距最近食堂的遠近有關（當學生與最近食堂間的距離不超過時，認為較近，否則認為較遠）：
(2)已知該校李明同學的附近有兩家學生食堂甲和乙，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.
（i）一般情況下，學生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明準備去食堂就餐.此時，記他選擇去甲食堂就餐為事件，他認為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件，且、均為隨機事件，證明：：
（ii）為迎接為期7天的校慶，甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動方案，顧客可任選其一.
①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間，顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得元優(yōu)惠；
②“饑餓型”優(yōu)惠方案：校慶期間，對于顧客去甲食堂就餐的若干天（不必連續(xù)）中午，第一天中午不優(yōu)惠（即“饑餓”一天），第二天中午獲得元優(yōu)惠，以后每天中午均獲得元優(yōu)惠（其中，為已知數(shù)且）.
校慶期間，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為（），且是否去甲食堂就餐相互獨立.又知李明是一名“激進型”消費者，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣，他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方案，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣，他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請你據(jù)此幫他作出選擇，并說明理由.
附：，其中.
6．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？级＃┙陙恚瑢W生職業(yè)生涯規(guī)劃課程逐漸進入課堂，考生選擇大學就讀專業(yè)時不再盲目扎堆熱門專業(yè)，報考專業(yè)分布更加廣泛，之前較冷門的數(shù)學、物理、化學等專業(yè)報考的人數(shù)也逐年上升.下表是某高校數(shù)學專業(yè)近五年的錄取平均分與當年該學校的最低提檔線對照表：
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，y與t之間存在線性相關關系，請用最小二乘法求y關于t的線性回歸方程；
(2)據(jù)以往數(shù)據(jù)可知，該大學每年數(shù)學專業(yè)的錄取分數(shù)X服從正態(tài)分布，其中為當年該大學的數(shù)學錄取平均分，假設2022年該校最低提檔分數(shù)線為540分.
①若該大學2022年數(shù)學專業(yè)錄取的學生成績在584分以上的有3人，本專業(yè)2022年錄取學生共多少人？進入本專業(yè)高考成績前46名的學生可以獲得一等獎學金，則一等獎學金分數(shù)線應該設定為多少分？
②在①的條件下，若從該專業(yè)獲得一等獎學金的學生中隨機抽取3人，用表示其中高考成績在584分以上的人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
參考公式：，.
參考數(shù)據(jù)：，，
7．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應用于生產(chǎn)制造、公共服務、個人消費等領域．截至2022年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟體中首個實現(xiàn)“物超人”的國家．右圖是2018-2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼t的散點圖，其中年份2018-2022對應的t分別為1~5．
(1)根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關．計算樣本相關系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關程度；
(2)(i)假設變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個變量滿足一元線性回歸模型 （隨機誤差）．請推導：當隨機誤差平方和Q＝取得最小值時，參數(shù)b的最小二乘估計．
(ii)令變量，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型利用(i)中結論求y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．
附：樣本相關系數(shù)，，，，
8．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預測）互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達，具有極高的繁殖系數(shù)，對近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．
(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；
(2)為營造“廣泛發(fā)動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：
每場比賽直至分出勝負為止，勝方得1分，負方得0分，下一場在負方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結束．
當比賽在甲鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為，當比賽在乙鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為．假設每場比賽結果相互獨立.甲鎮(zhèn)代表隊的最終得分記為X，求．
參考數(shù)據(jù)：．
9．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，直播帶貨成為網(wǎng)絡銷售的新梁道.某服裝品牌為了給所有帶貨網(wǎng)絡平臺分配合理的服裝量，隨機抽查了100個帶貨平臺的銷售情況，銷售每件服裝平均所需時間情況如下頻率分布直方圖.
(1)求的值，并估計出這100個帶貨平臺銷售每件服裝所用時間的平均數(shù)和中位數(shù)；
(2)假設該服裝品牌所有帶貨平臺銷售每件服裝平均所需時間服從正態(tài)分布，其中近似為，.若該服裝品牌所有帶貨平臺約有10000個，銷售每件服裝平均所需時間在范圍內(nèi)的平臺屬于“合格平臺”.為了提升平臺銷售業(yè)務，該服裝品牌總公司對平臺進行獎罰制度，在時間大于44.4分鐘的平臺中，每個平臺每賣一件扣除；在時間小于14.4分鐘的平臺中，每賣一件服裝進行獎勵元，以資鼓勵；對于“合格平臺”每賣一件服裝獎勵1元.求該服裝品牌總公司在所有平臺均銷售一件服裝時總共需要準備多少資金作為本次平臺銷售業(yè)務提升.（結果保留整數(shù)）
附：若服從正態(tài)分布，則，，.參考數(shù)據(jù)：.
10．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）在線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計中回歸分析，來確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法，運用十分廣泛．回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析．一般來說，線性回歸都可以通過最小二乘法求出其方程，可以計算出對于的直線．殘差是真實值和預測值間的差值，對于一組數(shù)據(jù)，其殘差可以表示為其中為真實值，為估計值對于我們數(shù)據(jù)中的每個點如此計算一遍，再將所有的相加，就能量化出擬合的直線和實際之間的誤差．其公式為：．這個公式是殘差平方和，對于回歸直線的確定，普通最小二乘法給出的判斷標準是：殘差平方和的值達到最?。跀?shù)學中，處理多個參數(shù)的函數(shù)的極值時，我們可以采用偏導法，即單獨對某個參數(shù)求導，將其他參數(shù)視為常數(shù)．根據(jù)以上信息，請推導公式：，，（其中，）
【真題感知】
一、單選題
1．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得個評分數(shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關系數(shù)，下列說法正確的是（ ）

A．花瓣長度和花萼長度沒有相關性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數(shù)一定是
5．（全國·統(tǒng)考高考真題）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（ ）
A．B．
C．D．
6．（天津·統(tǒng)考高考真題）從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（ ）
A．10B．18C．20D．36
7．（2021·全國·高考真題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%
C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（ ）
A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)
B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)
C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
9．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（ ）
A．8B．12C．16D．18
10．（全國·統(tǒng)考高考真題）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：
由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（ ）
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
12．（海南·高考真題）我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復工復產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是
A．這11天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;
B．這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;
C．第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%;
D．第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;
13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（ ）
A．樣本的標準差B．樣本的中位數(shù)
C．樣本的極差D．樣本的平均數(shù)
14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標準差不小于的標準差
D．的極差不大于的極差
三、填空題
15．（江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是 .
16．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）某創(chuàng)新企業(yè)為了解新研發(fā)的一種產(chǎn)品的銷售情況，從編號為001，002，…480的480個專賣店銷售數(shù)據(jù)中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，若樣本中的個體編號依次為005，021，…則樣本中的最后一個個體編號是 .
四、解答題
17．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：
舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求，，，；
（2）判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．
18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結果如下：
記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
(1)求，；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
19．（福建·高考真題）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（I）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；
（II）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”？
25周歲以上組 25周歲以下組
20．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
21．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．
(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
22．（全國·統(tǒng)考高考真題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.
（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)（精確到0.01）；
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：相關系數(shù)r=，≈1.414.
23．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得．
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關系數(shù)．
24．（全國·統(tǒng)考高考真題）某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務?
25．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
26．（全國·高考真題）某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：
（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；
（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？
附：．
y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
誤差范圍（）
頻數(shù)
10
25
35
20
10
環(huán)數(shù)
7
8
9
10
頻數(shù)
0
3
a
b
22
分數(shù)段
人數(shù)
1
3
6
6
2
1
1
分組
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
頻數(shù)
2
3
4
5
4
2
的分組
學生數(shù)
16
24
30
12
10
8
樣本號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工測雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遙測雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
第次
1
2
3
4
5
年份
1930
1936
1956
1960
1968
紀錄
10.30
10.20
10.10
10.00
9.95
地點1
地點2
地點3
地點4
地點5
甲型無人運輸機指標數(shù)x
2
4
5
6
8
乙型無人運輸機指標數(shù)y
3
4
4
4
5
第年
1
2
3
4
5
收入（單位：億元
3
8
10
14
15
時間x
1
2
3
4
5
銷售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
x（單位：次數(shù)/分鐘）
20
30
40
50
60
y（單位：℃）
25
27.5
29
32.5
36
營銷費用x/萬元
2
3
4
5
銷售額y/萬元
15
20
30
35
2
3
5
9
11
12
10
7
3
x
10
20
30
40
60
80
y
套票類別
A
B
C
D
E
F
套票價格（元）
40
50
60
65
72
88
購買人數(shù)（千人）
16.9
18.7
20.6
22.5
24.1
25.2
A充電樁投資金額x/萬元
3
4
6
7
9
10
所獲利潤y/百萬元
1.5
2
3
4.5
6
7
360
準點班次數(shù)
未準點班次數(shù)
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
準點班次數(shù)
未準點班次數(shù)
合計
A
240
20
260
B
210
30
240
合計
450
50
500
一級品
二級品
合計
甲機床
150
50
200
乙機床
120
80
200
合計
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
鍛煉人次
空氣質(zhì)量等級
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（優(yōu)）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（輕度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

32
18
4
6
8
12
3
7
10

0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
對照組
實驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
對照組
試驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代號
1
2
3
4
5
消費人數(shù)（單位：百人）
62
82
106
128
152
0.10
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
感興趣
不感興趣
合計
男生
12
女生
5
合計
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜歡雪上運動
不喜歡雪上運動
合計
男生
女生
合計
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
流水線
產(chǎn)品級別
合計
星級產(chǎn)品
非星級產(chǎn)品
甲流水線
乙流水線
合計
晉級情況性別
晉級成功
晉級失敗
總計
男
16
女
50
總計
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
每周健身次數(shù)
1次
2次
3次
4次
5次
6次及6次以上
男
4
6
5
3
4
28
女
7
5
8
7
6
17
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜歡足球
不喜歡足球
合計
男生
40
女生
30
合計
時間
郵件
工作日
休息日
合計
正類
70
負類
18
合計
0.10
0.05
0.001
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
165
168
170
172
173
174
175
177
體重
55
89
61
65
67
70
75
75
x（單位：次數(shù)/分鐘）
20
30
40
50
60
y（單位：℃）
25
27.5
29
32.5
36
有興趣
無興趣
合計
男性運動員
80
40
120
女性運動員
40
40
80
合計
120
80
200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
滿意度打分
0
1
2
3
4
5
人數(shù)
1
3
6
10
56
24
青年
中年
合計
使用跑腿服務頻率高
使用跑腿服務頻率低
合計
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
身體綜合指標評分
1
2
3
4
5
用時（/小時）
9.5
8.6
7.8
7
6.1
網(wǎng)民類型
在直播間購買夏橙的情況
合計
在甲直播間購買
在乙直播間購買
男網(wǎng)民
50
5
55
女網(wǎng)民
30
15
45
合計
80
20
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
球隊輸球
球隊贏球
總計
甲參加
2
30
32
甲未參加
8
10
18
總計
10
40
50
a
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
數(shù)學成績優(yōu)秀
數(shù)學成績不優(yōu)秀
合計
經(jīng)常整理
不經(jīng)常整理
合計
學生編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
數(shù)學成績
100
99
96
93
90
88
85
83
80
77
知識競賽成績
290
160
220
200
65
70
90
100
60
270
學生編號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數(shù)學成績
75
74
72
70
68
66
60
50
39
35
知識競賽成績
45
35
40
50
25
30
20
15
10
5
學生與最近食堂間的距離
合計
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
點外賣
0.20
0.00
0.50
合計
0.20
0.15
0.00
1.00
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼
1
2
3
4
5
該校最低提檔分數(shù)線
510
511
520
512
526
數(shù)學專業(yè)錄取平均分
522
527
540
536
554
提檔線與數(shù)學專業(yè)錄取平均分之差
12
16
20
24
28
舊設備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
試驗序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
樣本號ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20
等級
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21
滿意
不滿意
男顧客
40
10
女顧客
30
20
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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