第一部分：知識點精準記憶
第二部分：課前自我評估測試
第三部分：典型例題剖析
題型一：相互獨立事件的概率
題型二：條件概率
題型三：全概率公式的應用
第四部分：高考真題感悟
第一部分：知 識 點 精 準 記 憶
知識點一：相互獨立事件
對任意兩個事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 成立，則稱事件 SKIPIF 1 < 0 與事件 SKIPIF 1 < 0 相互獨立(mutually independent)，簡稱為獨立．
性質(zhì)1：必然事件 SKIPIF 1 < 0 、不可能事件 SKIPIF 1 < 0 與任意事件相互獨立
性質(zhì)2：如果事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相互獨立，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 也相互獨立
則： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
知識點二：條件概率
1、定義：一般地，設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩個隨機事件，且 SKIPIF 1 < 0 ，我們稱 SKIPIF 1 < 0 為在事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下，事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
2、乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．我們稱上式為概率的乘法公式．
3、條件概率的性質(zhì)
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設 SKIPIF 1 < 0 ，則
① SKIPIF 1 < 0 ；
②如果 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是兩個互斥事件，則 SKIPIF 1 < 0 ；
③設 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互為對立事件，則 SKIPIF 1 < 0 ．
④任何事件的條件概率都在0和1之間，即： SKIPIF 1 < 0 .
知識點三：全概率公式
1、定義：一般地,設 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是一組兩兩互斥的事件, SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,則對任意的事件 SKIPIF 1 < 0 ,有 SKIPIF 1 < 0 ,我們稱此公式為全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直觀意義：某事件 SKIPIF 1 < 0 的發(fā)生有各種可能的原因 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,并且這些原因兩兩互斥不能同時發(fā)生，如果事件 SKIPIF 1 < 0 是由原因 SKIPIF 1 < 0 所引起的，且事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生時， SKIPIF 1 < 0 必同時發(fā)生，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有關，且等于其總和 SKIPIF 1 < 0 .
“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個總和，需已知概率 SKIPIF 1 < 0 ,或已知各原因 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率 SKIPIF 1 < 0 及在 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率 SKIPIF 1 < 0 .通俗地說，事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的可能性，就是其原因 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的可能性與已知在 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的條件下事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的可能性的乘積之和.
第二部分：課 前 自 我 評 估 測 試
1．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·山東濟南·高二期末）已知事件A，B，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川眉山·高二期末（理））為積極應對人口老齡化，2021年8月20日，全國人大常委會會議表決通過了關于修改人口與計劃生育法的決定，提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女.若已知某個家庭有3個小孩，且其中至少有1個男孩的條件下，則第三個孩子是女孩的概率為___________.
4．（2022·北京通州·高二期末）有兩臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的次品率為5%，第二臺加工的次品率為4%，加工出來的零件混放在一起，已知第一?二臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的40%，60%，從中任取一件產(chǎn)品，則該產(chǎn)品是次品的概率是___________.
5．（2022·黑龍江·大慶市東風中學高二期末）在A，B，C三地爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別為6%，5%，4%的人患了流感.設這三個地區(qū)人口數(shù)的比為3∶1∶1，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任選一人，這個人患流感的概率是___________.
6．（2022·江蘇常州·高一期末）已知A，B是相互獨立事件，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________.
第三部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：相互獨立事件的概率
典型例題
例題1．如果A、B是獨立事件， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的對立事件，那么以下等式中不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題2．甲、乙二人做射擊游戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨立事件．規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，且第一次由甲開始射擊，則第4次由甲射擊的概率___________．
例題3．甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，兩人能否破譯密碼相互獨立，求兩人破譯時，以下事件發(fā)生的概率：
(1)兩人都能破譯；
(2)恰有一人能破譯.
例題4．設 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 為兩個隨機事件，給出以下命題：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 為互斥事件，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 為相互獨立事件；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 為相互獨立事件；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 為相互獨立事件；
（5）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 為相互獨立事件；
其中正確命題的個數(shù)為___________.
例題5．某市為傳播中華文化，舉辦中華文化知識選拔大賽．決賽階段進行線上答題．題型分為選擇題和填空題兩種，每次答題相互獨立.選擇題答對得5分，否則得0分．填空題答對得4分，否則得0分．將得分逐題累加．
(1)若小明直接做3道選擇題，他做對這3道選擇題的概率依次為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求他得分不低于10分的概率；
(2)規(guī)定每人最多答3題，若得分高于7分，則通過決賽，立即停止答題，否則繼續(xù)答題，直到答完3題為止．已知小紅做對每道選擇題的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，做對每道填空題的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ．
現(xiàn)有兩種方案
方案一：依次做一道選擇題兩道填空題；
方案二：做三道填空題．
請你推薦一種合理的方式給小紅．
同類題型歸類練
1．設兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知A，B是相互獨立事件，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0.9B．0.12C．0.18D．0.7
3．設M，N為兩個隨機事件，給出以下命題：①若M，N為互斥事件，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則M，N為相互獨立事件；③若 SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則M，N為相互獨立事件；④若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則M，N為相互獨立事件；⑤若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則M，N為相互獨立事件．其中正確命題的個數(shù)為______．
4．一只不透明的口袋內(nèi)裝有大小相同，顏色分別為紅、黃、藍的3個球．試分別判斷（1）（2）中的A，B是否為相互獨立事件．
(1)“從口袋內(nèi)有放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”記為事件A，“從口袋內(nèi)有放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”記為事件B.
(2)“從口袋內(nèi)無放回地抽取2個球，第一次抽到紅球”記為事件A，“從口袋內(nèi)無放回地抽取2個球，第二次抽到黃球”記為事件B.
5．本屆東京奧運會在8月6日結(jié)束了所有乒乓球比賽.我國選手發(fā)揮出色，繼續(xù)衛(wèi)冕男、女團體及單人比賽冠軍.為了在奧運賽場獲得佳績，賽前乒乓球隊舉辦了封閉的系列賽，以此選拔本次參賽隊員.現(xiàn)在共有 SKIPIF 1 < 0 名種子選手入選，為了提高選手們的抗壓能力，系列賽的規(guī)則如下：
根據(jù)前期積分，將選手分成 SKIPIF 1 < 0 組，每組 SKIPIF 1 < 0 人.每組進行一局比賽，在這一局比賽中，一方連續(xù)發(fā)球 SKIPIF 1 < 0 次后，對方再連續(xù)發(fā)球 SKIPIF 1 < 0 次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得 SKIPIF 1 < 0 分，負方得 SKIPIF 1 < 0 分.先獲得 SKIPIF 1 < 0 分者獲勝.
獲勝的 SKIPIF 1 < 0 人進行循環(huán)賽，累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰，當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另外一人最終獲勝，比賽結(jié)束.
(1)設甲、乙在第一小組的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得 SKIPIF 1 < 0 分的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.求前 SKIPIF 1 < 0 球結(jié)束時，甲、乙的比分為 SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(2)現(xiàn)在馬龍、許昕和樊振東進入循環(huán)賽.經(jīng)抽簽，馬龍、許昕首先比賽，樊振東輪空，設每場比賽雙方獲勝的概率都是二分之一，求需要進行第五場比賽的概率.
題型二：條件概率
典型例題
例題1．（2022·福建·莆田一中高二期末）設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為兩個事件，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0.24B．0.375C．0.4D．0.5
例題2．（2022·河南駐馬店·高二期末（理））端午節(jié)這天人們會懸菖蒲、吃粽子、賽龍舟、喝雄黃酒．現(xiàn)有9個粽子，其中2個為蜜棗餡，3個為臘肉餡，4個為豆沙餡，小明隨機取兩個，設事件 SKIPIF 1 < 0 為“取到的兩個為同一種餡”，事件 SKIPIF 1 < 0 為“取到的兩個均為豆沙餡”，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題3．（2022·廣東·石門高級中學高二階段練習）某地市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)， SKIPIF 1 < 0 的人喜歡在網(wǎng)上購買家用小電器，其余的人則喜歡在實體店購買家用小電器.經(jīng)該地市場監(jiān)管局抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在網(wǎng)上購買的家用小電器的合格率為 SKIPIF 1 < 0 ，而在實體店購買的家用小電器的合格率為 SKIPIF 1 < 0 .現(xiàn)該地市場監(jiān)管局接到一個關于家用小電器不合格的投訴電話，則這臺被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購買的概率是__________.
例題4．（2022·廣東云浮·高二期末）袋子中有7個大小相同的小球，其中4個紅球，3個黃球，每次從袋子中隨機摸出1個小球，摸出的球不再放回，則在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率是___________.
同類題型歸類練
1．（2022·重慶·高二階段練習）從5名男同學和4名女同學中任選2名同學，在選到的都是同性別同學的條件下，都是男同學的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·重慶南開中學高三階段練習）記 SKIPIF 1 < 0 為事件 SKIPIF 1 < 0 的對立事件，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期末）哈三中理學會組建甲、乙兩個數(shù)學解題小組，兩個小組獨立開展解題工作，已知某道競賽題甲小組解題成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙小組解題成功的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．在解題成功的條件下，乙小組解題失敗的概率為__________．
4．（2022·江蘇蘇州·高二期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是一個三位數(shù)，若 SKIPIF 1 < 0 的十位數(shù)字大于個位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱 SKIPIF 1 < 0 為遞增數(shù).已知 SKIPIF 1 < 0 ，設事件A為“由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 組成一個三位數(shù)”，事件 SKIPIF 1 < 0 為“由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 組成的三位數(shù)為遞增數(shù)”，則 SKIPIF 1 < 0 ___________.
5．（2022·福建·漳州市第一外國語學校高二期末）先后擲兩次骰子（骰子的六個面上的點數(shù)分別是1?2?3?4?5?6），落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x?y，記事件A為“ SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)”，事件B為“x?y中有偶數(shù)且 SKIPIF 1 < 0 ”，則概率 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 ___________.
題型三：全概率公式的應用
典型例題
例題1．（2022·全國·高二課時練習）深受廣大球迷喜愛的某支足球隊在對球員的安排上總是進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒和后衛(wèi)三個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.3，當乙球員擔當前鋒、中鋒以及后衛(wèi)時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.8．當乙球員參加比賽時．該球隊這場比賽不輸球的概率為（ ）
A．0.32B．0.68C．0.58D．0.64
例題2．（2022·河北石家莊·高二期末）某市場供應的電子產(chǎn)品中，來自甲廠的占 SKIPIF 1 < 0 ，來自乙廠的占 SKIPIF 1 < 0 .已知甲廠產(chǎn)品的合格率是 SKIPIF 1 < 0 ，乙廠產(chǎn)品的合格率是 SKIPIF 1 < 0 .若從該市場供應的電子產(chǎn)品中任意購買一件電子產(chǎn)品，則該產(chǎn)品是合格品的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題3．（2022·全國·高二課時練習）“送出一本書，共圓讀書夢”，某校組織為偏遠鄉(xiāng)村小學送書籍的志愿活動，運送的卡車共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學書、3箱語文書．到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱都是英語書的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例題4．（2022·全國·高二課時練習）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第 SKIPIF 1 < 0 次由甲擲的概率 SKIPIF 1 < 0 ______（用含n的式子表示）．
例題5．（2022·江蘇宿遷·高二期末）設甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球．
(1)從甲袋中取4個球，求這4個球中恰好有2個紅球的概率；
(2)先從乙袋中取2個球放入甲袋，再從甲袋中取2個球，求從甲袋中取出的是2個紅球的概率．
同類題型歸類練
1．（2022·福建省詔安縣橋東中學高二期末）已知甲袋中有6個紅球，4個白球；乙袋中有8個紅球，6個白球，隨機取一只袋子，再從該袋中隨機取一個球，則該球是紅球的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）袋中有5個紅球，4個白球，今隨機地從中取出一個球，記錄顏色后，將其放回袋中，并隨之放入2個與之顏色相同的球，再從袋中第二次取出一球，則第二次取出的是白球的概率為______.
3．（2022·湖南師大附中高一期末）甲?乙兩人組成“星隊”參加趣味知識競賽.比賽分兩輪進行，每輪比賽答一道趣味題.在第一輪比賽中，答對題者得2分，答錯題者得0分；在第二輪比賽中，答對題者得3分，答錯題者得0分.已知甲?乙兩人在第一輪比賽中答對題的概率都為p，在第二輪比賽中答對題的概率都為q.且在兩輪比賽中答對與否互不影響.設定甲?乙兩人先進行第一輪比賽，然后進行第二輪比賽，甲?乙兩人的得分之和為“星隊”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙得5分的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求p，q的值；
(2)求“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率.
4．（2022·全國·高二課時練習）甲箱中有5個紅球、2個白球、1個黃球和2個黑球，乙箱中有4個紅球、3個白球、2個黃球和2個黑球先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，設事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別表示從甲箱中取出的是紅球、白球、黃球和黑球，事件B表示從乙箱中取出的球是紅球，則 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______．
第四部分：高考真題感悟
1．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________
2．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為 SKIPIF 1 < 0 ，該地區(qū)年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?SKIPIF 1 < 0 .從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 ，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

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